细菌种群中一类迁移方程的谱研究

王胜华，凌军

(1.上饶师范学院，江西 上饶 334001;2.南昌大学 数学系，江西 南昌 330031)

1 问题提出

M.Boulanouar提出了一类具结构化的细菌种群的数学模型［1-2］:

其中h(v)表示速度权重因子，ψ(u，v，t)表示由细菌成熟度u∈(0，1)和细菌成熟速度v∈(a，b)(0≤a＜v＜b≤+σ)在时间t构成的细菌密度函数;u=0表示子体细菌在出生时的成熟度，u=1表示母体细菌在经有丝分解后的成熟度，r(u，v，v')表示细菌成熟速度从v'到v改变时的转变速率，σ(u，v)为总转变截面，且

在生物学上，每一有丝分裂时，子细菌被看成细菌种群的一部分，它们之间存在相互关系k(u'，v，v')，在数学上表示为下列一般边界条件:

这里常数α，β≥0表示每一有丝分裂子细菌的平均数。

近年来，关于这类具结构化的细菌种群模型的研究较少。文献［1-2］仅在L1空间和具总转换规则(即边界条件(3)中α=0)的边界条件下进行了研究，文献［1］得到了该模型相应的迁移算子生成正不可约C0半群，文献［2］在文献［1］的基础上进一步讨论了该模型的解在一致算子拓扑意义下的渐近行为等结果。文献［3-6］在一般边界条件下对这类具结构化的细菌种群模型进行了研究，文献［3］讨论了其相应的迁移算子产生不可约正C0半群;文献［4］讨论了该正C0半群的Dyson-Phillips展式的9阶余项在L1空间上是弱紧和在Lp(1＜p＜σ)空间上是紧的，从而获得了其迁移算子的谱在右半平面上仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组成等结果;文献［5］讨论了该相应的迁移算子的谱分析;文献［6］讨论了这类具结构化的细菌种群模型的解在一致算子拓扑意义下的渐近行为。本文在L1空间中对这类一般边界条件下具结构化的细菌种群模型进行了研究，去掉了文献［3-6］中关于扰动算子K的正则性和边界算子的紧性等假设条件，讨论了这类模型相应的迁移算子的谱分析等，同样得到了文献［3-6］中该迁移算子的谱在右半平面上仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组成以及这类模型解的渐近行为等结果。

设X=L1(Ω)(Ω =(0，1)×(a，b)=I×J，0≤a ＜ b≤σ)和索伯列夫空间

及迹空间为Y=L1(J，h(v)dv)，它们分别按范数

和

及

构成Banach空间。边界空间为:

其中h(v)为有界可测函数，假设(O):

定义Streaming算子T和碰撞算子K及迁移算子A如下:

则λ:Reλ ＞－σ0，方程(4)可形式的解为:

取u=1，则(5)式为:

根据(5)式和(6)式引入如下算子:

则 λ:Reλ ＞ － σ0，算子 Pλ，Qλ，Dλ和 Eλ都是有界正的［6］，且

从而(6)式和(5)式分别为:

令

则当Reλ ＞ λ0时，有

从而算子 ( I － PλHα，β)－1存在，所以

故有

2 主要结果

定理1 假设 (O) 成立，则边界算子 Hα，0，H0，β和 Hα，β都是 X 到 Y 上的正有界算子，H0，β为 X 上的弱紧算子。

证明 边界算子Hα，β的正有界性易知。因为

则

所以

由于

定理2 假设 (O)成立，则扰动算子K是X上的正有界算子，且为弱紧算子。

证明 由算子K的定义易知K是X上的正有界算子。所以当ψ∈X，ψ＞0，r＞0时，有

因此ψ∈X，ψ ＞0，有

定理3 假设 (O)成立，且存在λ1使得λ ＞λ1，有

则迁移算子A的谱σ(A)在右半平面上由至多可数个具有限代数重数的离散本征值组成。

证明 因为λ ＞λ1，由(7)式知:

其中 Fλ=(I － PλHα，0)－1PλH0，β，Lλ=(I － PλHα，0)－1Dλ。易知:

当 λ ＞ λ2＞ λ1时，有 (I － PλHα，0)－1≤ (I － Pλ2Hα，0)－1。所以

因为H0，β在X上是弱紧的，则Fλ在X上也是弱紧的，从而(Fλ)2在X上是紧的，所以可得

因此由Gohberg-Shmulyan定理知:(I－ (Fλ)N) 是有界可逆的( λ∈C，λS，S={λk:k=1，2，…};λk是 (I－ (Fλ)N)－1的极点。因为

所以

因此，若λ∈C，λS，则(18)式变为

(8)式变为

所以λ∈S是(I－T)－1的极点，从而算子T的谱σ(T)由至多可数个具有限代数重数的离散本征值组成，因为A=T+K，K是有界的，所以由Kato扰动定理知:迁移算子A的谱σ(A)在右半平面上由至多可数个具有限代数重数的离散本征值组成。

附注1 定理3中的 λ1是存在的。事实上，因为=0，所以存在 λ1＞ λ ，使得 λ ＞ λ1，有

附注2 由定理1知:算子H0，β是弱紧的，则存在一列有限秩算子按算子范数收敛到H0，β，不妨设H0，β为秩一算子，即有:

其中k1(·)∈ L1(I)，ki(·)∈ L1(J)，i=2，3。

引理1［5］条件同定理3，则

1)Pλ，Qλ，Dλ，Eλ，Fλ和 Lλ在 λ ∈ {λ ∈ C|Reλ ＞ λ1} 上都是有界正算子;

2)当Reλ ＞ λ1+ω0(ω0＞ 0)时，(λ －T)－1和(λ －A)－1都是有界正算子;

3)若σ(A)≠，则存在一个最大的实有限代数重数的离散本征值λ－。

令

其中s (A)是A的谱界。则类似于文献［5］可得:

定理4 条件同定理3，则

3)迁移算子A的谱σ(A)在右半平面上仅由有限个具有限代数重数的离散本征组成。

由本文的假设(O)和定理1及定理2可知:文献［4］中的假设(O1)－(O3)被满足，从而可知文献［4］的主要结果定理2，又由定理4即知:

定理5 条件同定理3，则迁移半群V(t)的Dyson-phillips展式的9阶余项R9(t)在X上是弱紧的，从而迁移算子A的谱σ(A)在右半平面上仅由有限个具有限代数重数的离散本征值组成。