发展元认知能力深化数学理解培育核心素养

吕同林

摘    要：学习者的元认知水平和能力是影响其深度理解数学知识结构、领悟数学思想方法、探究问题解决策略以及发展数学思维的重要因素.从教学过程来看，元认知能力的培养经历从“扶”到“放”、从“他控”到“自控”、从“外化”到“内化”的过程;从育人目标来看，教学活动关注元认知能力的培养，有利于学习者提升思维品质、深化数学理解、形成数学核心素养;从教学实践来看，元认知的能力培养可侧重以下几个方面：突出关联策略，优化学习品质;强化反思行为，促进深度思考;关注主体意识，培育核心素养.

关键词：元认知;数学理解;核心素养

培养学生的核心素养是当前教育的重要目标.笔者在教学实践中体会到，数学核心素养的形成，离不开学习者的认知水平和认知能力.而学习者的元认知水平和能力是影响其深度理解数学知识结构、领悟数学思想方法、有效探究问题解决策略以及发展数学思维的重要因素.

一、元认知内涵

元认知是由美国儿童心理学家弗拉威尔（J. H. Flavell）首先提出的.他把元认知界定为反映或调节认知活动的任一方面的知识或认知活动.具体地说，就是关于个人自己认知过程的知识和调节这些过程的能力，即是对思维和学习活动的知识和控制，是对思维活动的自我体验、自我观察、自我监控和自我调节.元认知（也称自我认知）就是对认知的认知，是学习者认知心理和认知策略进一步完善的过程，是完成有效认知活动的关键.从认知的对象看，认知的主体是知识，而元认知的主体是认知行为本身.从认知的形式看，元认知是一种高級的认知活动，是对学习活动的控制和调节.主要包括三个层面：一是元认知知识（通过学习和体验积累起来的，关于认知的陈述性知识和程序性知识）;二是元认知监控（认知活动中，目标、计划、实施步骤的明确，应用策略选择，结果预测;评价活动及时反馈，方法、策略和目标及时修正调整;评价策略的使用效果以及完成任务的程度;活动结束后对结果的检验，后续行动方案或措施的改进）;三是元认知体验（认知活动中产生的认知体验和情感体验）.研究表明：元认知也指反思自己表现的能力……如果儿童对自己的学习能力缺乏洞察，几乎不能期望他们制定计划或做出有效的自我调节.

因此，在数学教学过程中，教师要引领学习者基于自身认知特点，结合具体学习内容和目标，及时思考并预见学习途径，改进并优化学习的方法和策略，反思学习过程，自我监控、调节学习进程和方法，在观察、实验、分析、比较、猜想、论证、反思等环节，经历数学概念、法则、公式、性质等知识的形成过程，建构认知、思考策略，领悟知识的本质内涵，掌握数学思想方法，完善学习方略，提升思维品质.此种做法其实就是发展元认知能力的有效途径.

二、元认知实践

（一）教学内容：《圆周角》（九年级）

内容解析：从知识角度来看，本节课有三方面学习内容.一是圆周角的概念;二是圆周角定理及其证明;三是定理的应用.它是继圆及其相关概念、圆心角定理、垂径定理后的又一重要内容.深入理解圆周角概念、定理和推论为后续学习圆内接三角形、四边形以及圆内相关量的计算、关系的论证等奠定坚实的基础.从数学思想方法来看，定理内容探索体现了“特殊到一般”思考路径，定理的证明突出了分类讨论的数学方法，体现“特殊到一般”“一般到特殊”以及“化未知为已知”的化归策略.从学习策略来看，圆周角概念的形成过程，由顶点位置、弧的大小变化感受运动变化的意义和价值;圆周角定理的探索与圆心角、弧等元素进行关联，这种基于联系的探索活动让学生的思考深刻而灵动，并指向知识的内核;定理证明的多样化转化策略有助于学习者自我控制、自我调节能力的发展，并促进元认知水平的攀升.

（二）教学目标

（1）经历圆周角概念的形成过程，体验抽象、概括、精练的数学过程.

（2）与圆心角的性质联系，探索圆周角的性质，感受类比迁移的数学方法，提升认知水平.

（3）探索圆周角定理的证明，感悟特殊到一般、一般到特殊、未知到已知的思考、说理策略，深化思维品质，完善思维结构.

（4）参与交流互动、语言表征、作图呈现、反思调控等活动，促进元认知水平的发展.

目标解析：基于元认知发展的课堂教学目标，不仅关注“四基”，还要聚焦元认知能力的发展.在教学活动中，既关注知识理解程度，又关注知识理解的方式和策略，不断强化元认知的训练，调节和修正认知的策略，逐步深化数学理解，不断提升思维品质.

（三）教学过程

1.关注联系，学习新知

板块1 圆周角概念探讨

问题一   ①前面学习了与圆有关的哪种角？它是如何定义的？圆心角的关联要素是什么？

②如图1，B，C是⊙O上的两点，画出[BC]所对的圆心角.思考：[BC]所对角的顶点还可以在哪些位置？画图说明.

③能否选择适当标准，对所画的角进行分类？试着给这几类角起个合适的名称.试着给这几类角下个定义.

评析   问题①回顾已有知识，关注圆心角的定义方式以及其所关联的量.问题②关注作图，形成图形表征意识，并对所画图形相互补充完善.问题③学生的初始表征不一定标准、规范和完美，但在思维的碰撞中，呈现思考过程，说明道理和缘由，对思考和策略调控具有积极的意义和价值.这里从已有认知出发，通过角的顶点位置变化，感受角与圆的关联性.通过概念辨析深化圆周角认识，形成合理的认知.在概念的形成过程中，通过直观感知、合情表达、优化和调控认知的过程，进一步发展元认知能力.

生5：从刚才的研讨活动得出，[BC]占圆周的四分之一，其所对的圆周角等于45°（圆心角的一半）.

……

師：刚才，几位同学用不同的方式，从不同的角度，探索问题解决的策略，值得我们学习.探索问题的解决方案，要紧扣已知条件和结论，分析它们之间的联系，选择适当方法，架设桥梁，实现从已知到未知之间的转化.

评析   经历具体到抽象、特殊到一般的数学规律的探索过程;运用观察、实验、分类、归纳、猜想、计算、验证等方法揭示数学联系和规律，把握数学本质属性;在自我判断、自我选择、自我调控等活动中，提升认知水平，发展元认知能力，提升数学思辨能力，形成数学素养.

3.反思研讨，优化策略

板块3  圆周角定理证明（略）

圆周角定理的证明过程中有三个重要环节：一是分类别画图;二是分类别证明;三是圆周角所对的弧类别的研讨.定理中的图形为什么分三类？每一类画怎样的图形？证明过程是各自独立，还是相互联系？转化过程中，哪种先证？其他情况向哪个方向转化？如何转化？圆周角所对的弧又有哪些类别？其他情形，结论是否成立？如何证明？三类弧之间以哪一类为代表较为适当？等等，无不包含丰富的元认知能力.教学活动聚焦监察、预见、控制、调节、评价等元认知要素，适当引导，及时体验，逐步实现“他控”到“自控”、“外化”向“内化”的转变，让元认知发展贯穿于学习的过程，完善思维品质，提升数学素养.

三、实践感悟

心理学认为，人的认知水平决定了思维层次，元认知的能力决定了思维的高度.我们倡导：数学教学活动，关注认知途径、优化学习策略、调控学习过程、发展元认知能力，以此完善思考路径、提升思维品质、深化数学理解.从实践来看，元认知能力的培养要着力关注以下几个方面.

（一）突出关联策略，优化学习品质

元认知的核心是对自己的认知行为实施监控和调整.如何监控、向什么方向调整都需要学习者储藏一定的知识、方法以及多维度、多层次分析问题、解决问题的策略.数学具有较强的整体性、联系性、层次性、逻辑性、抽象性等特征.知识之间、结构之间、方法之间、表征形式等方面都存在一定的关联性.在教学活动中，适时引导学生开展关联活动，丰富思考策略，积累思维经验，建构调控所需的资源库.

与生活现象关联，经历观察、分析、抽象、类比、猜想、归纳、验证等活动，生成数学概念，发现数学规律，建构数学模型，形成数学原理;与前置关联，逐步推演，厘清数学生长脉络，形成数学思考链条;与相似结构关联，明晰异同，形成新的结构图式;关注多元表征，形成多维理解，让思考灵动自然.“这个内容，让我想起什么？”“此特点与哪个规律相像？”“这一内容还可以通过什么形式表达？”“回到基本概念（原点）去思考有什么发现？”……经历这些思考，不断监察、体验、调控认知行为，逐步从“他控”走向“自控”，改进学习行为，丰富学习策略，完善学习品质.

（二）经历反思活动，促进深度思考

波利亚注重解题后的“回顾”——反思环节.“你能否检验这个结论？”“你能否用别的方法导出这个结果？”“你能不能将这个结果或方法用于其他问题？”这是策略优化调控重要一环;“你能不能一下子看出问题的解？”这是培养解题者的“题感”，实际是对问题的敏感，是一种解题元认知的体验.心理学的基本研究方法：“内省”即自我观察法，它是元认知能力培养的重要策略.

学习活动中的反思行为，不能仅仅局限于解题活动.数学概念的形成、公式规律的归纳、问题的分析和解决、转化类比策略思考等一切数学活动，凡涉及元认知活动的方面都应自觉地进行“内省”.“这样的过程合理吗？”“有无其他策略？”“哪种方法简便易行？”“能否换一种方式表述？”“这样的探索路径是否可以用于其他问题的探索？”“其与相似内容有哪些不同之处？”“应用环节要注意什么？”“运用它可以解决哪些问题？”……教学活动不断引领反思行为，从内容到方法、从如何思到思的全面性、从方法的合理性到结论的完备性等方面逐步发展批判性思维能力.由“他化”逐步走向“内化”，促进探索活动的深入，深化数学思考，持续提升元认知的发展水平.

（三）关注主体意识，培植核心素养

元认知水平是学习者对自身认知的反思和调整能力.初中学生元认知能力的培养需要坚持不懈地进行训练，尤其要突出学习者主体参与意识的培养.由“扶”到“放”，通过教者的“外化提示”、学生的“出声思维”“自我提示”等训练活动，逐步走向行动的自觉.多关注“为什么？”“怎么办？”“为什么这样办？”“怎样办最佳？”等思维活动，逐步引领学习者独立分析、探索、实践、质疑、创造，适时监察、调控认知行为，深化数学理解.营造交流互动氛围，相互学习，相互促进，自我纠错，自我改进;积极鼓励策略的多样化、个性化，激活创新潜质.

苏霍姆林斯基说过：“我要关注的是，让我所培育的每一个孩子都成长为会思考、会探索的有智慧的人，让认识过程的每一步都使心灵变得更高尚，使意志炼得更坚强.”“立德树人”是教育的根本任务.数学教师应在整个数学学习过程中，引导学习者关注学习状态，突出活动策略，调控认知过程，经历元认知体验，以此促进学习者“用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界”良好品质的形成.