初探高中数学圆锥曲线问题中的等价转化思想

李嘉豪

圆锥曲线属于解析几何部分内容，而解析几何的中心思想是借助笛卡儿直角坐标系，用代数的方法研究几何问题。因此，圆锥曲线问题看似是几何问题，本质上却是代数问题。经过大量的实践演练，笔者发现数学问题的解决就好比语言等价翻译的过程，将用文字语言描述的数学问题翻译为用数学语言表达的过程，再辅助结合我们的运算能力，便能将问题快速解決。在两种语言的翻译过程中，充分体现了等价转化的数学思想，而圆锥曲线问题则是考查我们数学等价转化能力的典型题目。下面笔者将结合典型例题进行说明。

例1（2018·全国卷I）设椭圆的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）。

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程;

（2）设0为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB。

思路分析：根据题设条件可以直接得到右焦点F的坐标。由于直线l为过点F的直线，首先需要考虑直线斜率存在还是不存在的问题。若直线l的斜率不存在，则直接得到直线方程，进而求出点A、B两点的坐标。若直线l的斜率存在，由于已知直线上一点F的坐标，便可设直线的点斜式方程，引人参数k，然后用参数k表示点A、B的坐标。至此，所有的未知量都最终归结为含有参数k的表达式，文字语言的翻译工作基本完成，接下来便是纯粹的计算问题。

（1）要求直线AM的方程，题目中已知点M的坐标，只需求出点A的坐标即可。此时直线l与x轴是垂直的关系，且已知点F的坐标，根据上面的分析，很容易得到点A坐标，求出直线AM的方程。

（2）要证明两个角相等，将这个几何问题转化为代数问题的衔接知识是三角函数。在圆锥曲线中，与角紧密相关的是直线的斜率，此时便很容易想到两个角的正切值。在直线倾斜角范围内，若两个角的正切值相等，则两个角相等，反之也成立。这样证明两角相等的问题便等价转化为证明两个角的正切值相等，也就是对应直线的斜率相等。要表示斜率离不开点的坐标。根据上面的分析可知，直线斜率不存在时，可以求出点的坐标，斜率存在时，可以用参数k表示点的坐标，于是可采用“设而不求”的方法证明等式成立。

解：（1）由已知得F（1，0），l的方程为x=1。

综上，∠OMA=∠OMB。

例2（2017·全国卷I）已知椭圆（a>b>0），四点P1（1，1），P2（0，1），

P3（）、P4（）中恰有三点在椭圆上。

（1）求C的方程。

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1，证明：l过定点。

思路分析：（1）根据题设条件三个点在椭圆C上，那么是哪三个点在椭圆上就显得非常重要。根据椭圆图形的特征，结合判断点是否在椭圆上的方法，很容易得到点P2，P3，P。三个点在椭圆上。这样就很容易求出椭圆的方程。

（2）第二问涉及直线和椭圆的位置关系，离不开直线方程，此时首先要考虑的是直线斜率不存在的情况是否符合题设条件。当直线l斜率存在时，由于直线的已知信息较少，可以根据常规方法设直线的斜截式方程y=kx+m（m≠1），引入参数k，m，设点A、B坐标（尽管此时参数较多，但可以由题目中的条件寻找参数之间关系，消参，将问题转化到某一个参数上）。根据题设条件将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理寻找两点坐标之间的关系，同时也找到了两点坐标与参数之间的关系，这样本来多个参数问题便归为两个参数k、m的问题。又直线P2A与直线P2B的斜率之和为-1，利用各点的坐标得到等式，进一步消参，最终只剩下一个参数问题。至此，题目条件已经用完，此时回归问题，将参数之间关系代入直线方程便可得证。

解：（1）由于P3，P。两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过Pg，P4两点。

圆锥曲线问题是高中阶段学习的重中之重，尽管近些年难度有所降低，但所涉及的知识点繁多，覆盖范围广，对大部分同学来说还是一道坎。这就需要大家在掌握基本知识的基础上，能够对所学知识活学活用，能够将知识之间的关系进行等价转化，从而做到以不变应万变。