优化小学数学问题解决教学“三要”

巢洪政

导   读：

数学应用题是课改前小学数学教学的重要内容。新课改以来的小学数学教材和教学中，已经将“应用题”归入“问题解决”之中。如果我们能从学习心理学的高度全面把握影响解决问题教学的要素，采用科学的方法组织问题解决的教学，并进行恰当的评价活动，就能够取得小学数学问题解决教学的成功，为不断提升学生的数学素养做出应有的贡献。

数学应用题是课改前小学数学教学的重要内容。新课改以来的小学数学教学和教材中，已经不再出现“应用题”的说法，而是将之归入数学课程目标之一的“问题解决”（也可称“解决问题”）之中。这样的变化和改革，给当今的小学数学教学带来了新的研究领域，广大教师很有必要对此问题进行深入具体的研究。因此，把握数学问题解决过程的要素，优化小学数学问题解决的教学，我们要关注以下三个方面：

一、 要把握数学问题解决的要素

小学数学问题解决也是属于问题解决范畴的，故学习心理学中有关问题解决的过程模型也适合小学数学问题解决的教学。美国认知心理学家吉克在1986年提出了一个问题解决过程的模型：

该模型突出了问题解决方法的形成有两条途径。第一条途径是在建构了问题的表征、激活了正确的图式后，就不必探索尝试多种方法而能够明显地解决问题了。第二条途径是问题解决者没有可以利用的图式，必须通过对各种方法的搜索检验才能找到合适的解决方法。联系美国教育心理学家加涅有关问题解决的观点看，第一条途径指的是规则学习后对规则的应用，即解决常规问题;第二条途径才是加涅认为的创造即解决问题。该模型强调了对解决问题的理解与表征、学生已有认知结构或已有知识经验对问题解决的重要作用，也进一步说明解决问题过程不是线性关系。因此，全面重视两条解决问题途径的教学对提高学生解决问题能力都是至关重要的。依据吉克关于问题解决模型，我们可以确定影响数学问题解决的主要因素有如下几方面。

1.知识。主要包括事实性知识、概念性知识和语言方面的知识。

事实性知识是学习者通晓某门学科或解决其中的问题所必须知道的基本要素，一般较为具体零碎;概念性知识是一种较为抽象概括的、有组织的知识类型。对于学生顺利解决问题而言，事实性知识和概念性知识都是必不可少的。如在解决“相遇问题”时，“相向”“相背”“相遇”“相距”等都是学生必须理解的概念性知识。

语言方面的知识是指对数学问题中有关词语的理解，例如，学生不能正确理解“增加了”“增加到”的意思就会造成解题错误。语言知识的掌握大多与学生的日常生活经验积累和语文知识学习相关联。

2.图式。心理学界对图式有许多相似的认识，认为图式即知识的结构，它是用来描述一类人、一类客体、一类事件的共同特征的，是我们头脑中关于一类客体、事件或情境的一般知识结构。图式在问题解决的过程中是有利有弊的，应该在教学中正确把握并恰当使用。例如，有些学生在解决有关到邮局汇款和汇费的问题有困难，原因就是大部分学生头脑中缺乏去邮局汇款的图式。

在小学数学问题解决的教学中，图式集中体现为学生掌握不同类型数学问题的结构，并在教学中常常把这种含有数量的结构之间各个部分的关系概括为数量关系，其文字表达就是数量关系式，数量关系在解决数学常规问题中具有重要作用，它能够帮助学生实现对面临问题的深度表征。如解决“求一个数的几倍是多少”的问题：“学校举行运动会。三年级有56人参赛，五年级的参赛人数是三年级的4倍。五年级有多少人参赛？”这样的问题中有两个变量：一个数和倍数。通常的数量关系式是：一个数×倍数=几倍数，或一倍数×倍数=几倍数。学生掌握了这样的数量关系，解答此类问题就十分快捷。而且，这两个变量是可以不断变化的，这样的数量关系也就能够适合解决同类的多个问题。在新课改的初期，问题解决教学中曾经一度出现由于忽视数量关系教学，导致部分学生问题解决学习水平下降的现象，在《数学课程标准（2011版）》中，此问题已经得到了纠正，又重新指出数学问题解决的教学要重视基本数量关系的分析与教学，其理论依据就在于此。

3.策略。问题解决的策略是学习策略的重要组成部分，它是指在问题解决的过程中，在元认知活动的作用下，调用（或发现）问题解决的方法，有效地组织问题解决的认知操作活动，使认知操作活动实际起到消除问题的“障碍”，达到问题解决目的的一种内部心理机制。

现代认知心理学按思维的搜索方式把思维策略分为算法式策略和启发式策略。启发式策略是一种凭借经验的解决问题的方法，它是问题解决的弱方法，也可以称为解决问题的经验规则。常见的类型有：尝试、综合、分析、整理、画图、枚举（列举）、简化、倒推（还原）、假设（包括替换）、转化（化归）等，其中尝试、整理、画图、综合、分析、转化等策略是基本的且适用性较广的策略，倒推（还原）、假设（包括替换）等策略是特殊的策略。

二、要科学完整地设计问题解决教学的过程

就“数与代数”领域的小学数学解决问题的教学而言，依据吉克提出的关于问题解决过程的模型我们可以看出，知识、图式和策略是影响问题解决的3个最关键要素，而问题解决存在着两条基本的途径，所以，考察小学数学解决问题教学的一般过程，我们可以在合理划分所学解决问题内容的教学目的不同指向的基础上，科学完整地重点确定4种课堂教学模式设计。

1.建构概念性知识的问题教学模式。主要是指一步计算基本问题的教学和一些涉及知识点较多的数学问题的教學。这些问题解决教学的基本目的是让学生建立基本问题正确的概念性知识，为以后解决问题的教学打下良好基础。主要的教学步骤有：进行与基本问题有关的操作活动，利用几个实物图直观说明有关问题的概念，揭示有关问题的概念性知识，练习与应用。

例如：二年级“倍的认识”简单问题的教学可以这样进行：先让学生摆上下两行同样多的小棒，说明“同样多”;然后在第二行添加几组与第一行同样多的小棒，说说下一行小棒里有几个上一行的小棒。再利用几个实物图说明第二行物体中有几个第一行的物体，归纳有“几个几”就是“谁是谁的几倍”，建立“倍”的概念性知识。最后进行相关练习与作业，不断深化学生对“倍”的有关知识的理解。

2.利用图式解决常规性问题的教学模式。主要表现为数量关系的教学，一般可以从以下几个步骤展开教学：复习与新知学习有关的数量关系或铺垫性问题;揭示新问题，理解新问题情景中图式的结构;分析新问题中的数量关系，得出解题思路;列式解答后进行检验并与旧问题进行比较;最后进行变化练习。

3.利用策略创造性解决问题的教学模式。主要是指苏教版小学数学教材中有关“解决问题的策略”部分例题的教学，其他版本的小学数学教材中的同类例题可以参考这个模式进行教学。根据相关的问题解决知识，我们可以简单地归纳为五步：引入、体验（或示范）、归纳、练习、作业（或拓展）。在整个教学过程中，我们应让学生广泛参与解决问题的过程，通过观察、猜测、实验、验证、推理与交流等多种数学活动，提高学生对应用题的理解与分析水平，除了采用传统的讲授分析的学习方式为学生示范策略的操作步骤外，还应大力提倡采用动手实践、自主探索与合作交流的数学学习方式解决问题，使学生逐步掌握解决数学问题的思想方法、知识策略，不断提高学生思维能力、创新能力和解决实际问题的能力。由于策略的本质是一套系统编码的程序性知识，因此教学的关键要在“体验”和“归纳”阶段，让学生得出某种策略执行的步骤，并能将这样的步骤在类似的问题中逐步熟练运用，经过一段时间后逐步达到在变化的情景中自如运用，学生就基本形成了问题解决策略。如苏教版小学数学四年级上册“整理”的策略例1可以这样教学：首先，让学生对信息比较多或乱的问题进行整理，产生策略学习的心向;其次，结合例题中的两个例子，让学生体会整理的好处和整理的步骤;然后，师生共同归纳整理，将总结的步骤恰当地在“想想做做”的练习中运用;最后完成相应的作业。应该指出，在教学中，教师主要是让学生把握在方法层面的操作步骤，当一段时间后学生能够将这样的步骤在不同情景的数学问题中自如地运用，就说明学生头脑中形成了此种解决问题的策略。

4.解决问题中练习课的教学模式。主要是在问题解决的练习阶段采用的课堂教学模式，可以适当加强数学问题的结构比较练习、图式（重点是数量关系）的练习和问题类型的归纳拓展，帮助学生掌握有联系数学问题的解答规律，这对提高学生解决常规问题的能力是大有帮助的。主要的操作步骤有：基本数量关系的练习，某类数学问题的再现练习，某类数学问题的变化和比较练习，适当的拓展练习，课后作业。

三、要准确掌握问题解决评价的要求

科学进行问题解决的教学，准确把握问题解决的评价要求也很重要。在当今小学数学问题解决的教学现状中，目前的问题解决内容已经比较完备全面，有的已经将课改前只在“奥数”中出现的内容，也已经引进了小学数学教学中，特别是苏教版小学数学教材，还专门编写了“解决问題的策略”单元，成为教材的特色和亮点。这样的情况，有时会引起一些不明白教材编写意图的教师的误解，他们往往错误地认为：现在的小学数学要教奥数了。真正的理由是：出现一些原来认为是奥数中的内容，是能够适合一定年级学生的理解水平的，或者是为了说明某个“策略”的典型例子而已，许多并不需要进行考查考试，更不是需要教学奥数的题目。因为，有关问题解决的教学评价问题，原来的小学数学教学大纲和现在的数学课程标准都有明确的规定，如2000年3月教育部修订的小学数学教学大纲就明确规定“整数、小数应用题不超过三步，分数应用题不超过两步”。而且，对于分数实际问题，数学课程标准（2011版）中只要求学生“能解决小数、分数和百分数的简单实际问题”。由于新课程已经删除了繁、难、旧的教学内容，故这里的“简单实际问题”显然只能是指日常生活中简单的一、两步的实际问题，不应该超过以前大纲规定的步数和难度要求。所以，在进行考试评价时，我们一定要把握好评价的要求，切不要超标考试。例如，过去我们常常让学生解答这样的问题：某工程队要行走210千米，开始每天走25千米，走了3天后，余下的路程每天多走10千米，需要几天走完？还有这样的问题：某段工程，甲、乙一起做要4[45]天完成，若此项工程由甲队单独做2天后，乙队接着做3天，能完成工程的[1324]，求甲、乙两队独做各要几天？这两个数学问题，显然都是超标的数学问题，无须教学和考试，仅是少部分学生的思考题而已。当然，我们还应该注意，并不是小学数学教材中的所有内容都是需要考试的，“思考题”就不列入考试范围，仅供学有余力的学生解答;就苏教版教材来说，教材中的探索规律、实践活动和“你知道吗？”等许多内容，都可以不列入考试命题的范围，如果确实需要考查这些内容，命题者还是需要考虑大纲和课标规定的数学问题的步数限制的。因此，广大数学教师一定要把握好大纲和新课标中的教学要求，恰当做好问题解决内容的教学与评价工作。

综上所述，如果我们能从学习心理学的高度分析清楚影响解决问题教学的主要因素，采用科学的方法组织问题解决的教学，并进行恰当的评价活动，就能够取得问题解决教学的成功，为不断提升小学生的数学素养做出应有的贡献。

（作者单位：江苏省江阴市英桥国际学校）

责任编辑 周瑜芽

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