多尺度结构拓扑优化

(华南理工大学土木与交通学院 广东 广州 510000)

一、介绍

(一)复合材料

复合材料在古代就已经被人们所使用。古代人建造房屋使用的稻草或麦秸增强粘土，近一百来，人类使用的钢筋混凝土就是用多种材料复合而成的。在20世纪40年代，由于航空工业的发展需要，玻璃纤维增强塑料(俗称玻璃钢)得到了发展，从此复合材料这一名称得以出现。在结构形式方面，周期性复合材料具有周期性排布的特点，并且通常具有多孔的结构形式；在力学性能方面，周期性复合材料结构具有优异的高比刚度、高比强度和优良的减震性等力学性能。

(二)结构拓扑优化

结构优化可分为三种：尺寸优化、形状优化和拓扑优化[1]。与尺寸优化和形状优化相比，拓扑优化被认为是一种更高层次的优化设计方法，是在结构减重和性能设计中最为有效的工具之一[2]。

结构拓扑优化最早应用于桁架等离散体结构的研究[3]，之后越来越多的学者开始进行连续体结构的拓扑优化。变密度法、均匀化方法、水平集方法和BESO方法是常用的连续体结构拓扑优化方法。

(三)多尺度结构拓扑优化

目前的拓扑优化研究大多集中在单尺度结构的设计上，即在优化设计中认为结构是由均匀的材料制成的。在传统的结构设计中，认为复合材料也是均匀的，但不可否认的是，复合材料各微观组成相的力学性能、几何形状以及各成分之间的装配方式等同样也会对结构性能产生较大影响。

材料微结构可以被看作是由实体材料和孔隙组成的复合材料，而它的性质也取决于材料在空间中的分布方式。近年来，随着多尺度渐进展开均匀化理论的发展，人们可以通过拓扑优化的方式获得具有特殊功能特性的材料微结构。

二、基于能量的均匀化方法

在拓扑优化设计中，考虑复合材料是具有规则的或近似规则的结构，因此假定其是由代表性微结构周期排列而成的。均匀化方法是常见的用来研究周期性复合材料结构等效力学性能的方法。近年来，研究人员结合均匀化理论采用多尺度有限元方法对周期性、拟周期性复合材料以及周期性孔洞结构的弹性性能[4-5]进行了研究。

假定将宏观非均质的结构模型看作是细观尺度上微结构的周期性重复组合，设x表示复合材料宏观全局变量，y为细观局部变量，y=x/，根据渐进展开均匀化理论，宏观位移场u(x)按参数渐进展开[2]：

u(x)=u0(x,y)+u0(x,y)+2u0(x,y)…,y=x/

(1)

如果只考虑(1)中渐进展开第一项，通过对基础单胞Y上的积分取平均，得到均匀化刚度张量：

(2)

ε0={ε0(11)ε0(22)ε0(12)}=I(3×3)

(3)

一般三维问题：

ε0={ε0(11)ε0(22)ε0(33)ε0(23)ε0(31)ε0(12)}=I(6×6)

(4)

(5)

(6)

将单胞离散为N个单元，上式可以被近似表达为：

(7)

三、材料宏微观多尺度优化设计

优化问题描述及建模：设在宏观尺度，将结构离散为m个单元，并且假设每一个单元包含一个微结构单胞，在微观结构尺度，单胞又被划分为n个单元，如果以材料微结构单元密度y作为设计变量，那么整个模型一共有m×n个设计变量，如果把宏观结构刚度最大设置为优化目标，那么宏观结构性能与微结构构型之间的表征关系对应在两个尺度上关联的优化模型可以表示为：

min:c(y)=fTu

材料宏微观分布多尺度优化设计整体优化流程如下：

(1)求解微结构优化子问题。

(2)经优化后得到的微结构密度变量带入均匀化方程中计算该单元的等效弹性张量。

(3)将等效弹性张量带入宏观结构中计算宏观结构位移响应。

(4)将(3)求解得到的新宏观位移场带入子问题，优化微结构构型。

(5)判断是否收敛，如果不收敛，重复(1)-(4)，以此类推。