基于Mathematica的驻波可视化交互式动态模拟

魏丽梅

(山东省日照实验高级中学 山东 日照 276826)

1 引言

Mathematica是一款以函数驱动的数学计算软件，具有数值处理、符号操作、图形绘制、动画制作等多项功能，将其应用于计算机辅助教学中，可以用交互式的图像、动画以及声音对一些抽象的物理模型进行直观形象的模拟与展示，近些年来广泛地应用于从高中到研究生的教学或科研工作中[1～4]．

如何在课堂上生动形象地向学生描述波的叠加与驻波的形成，是一个难题．本文利用Mathematica软件的动画绘制功能，对简谐波的叠加与驻波的形成进行了演示，绘制参数的可调节性使动画具备交互式的功能，该演示操作命令程序简单，形象直观，有助于激发学生学习的积极性．

2 驻波的模拟演示

振动方向在同一平面、相向传播的两列简谐波的数学描述形式如下

这里假设振动u2的振幅为单位振幅1，坐标原点处t=0时刻的初位相为零，振动u1相对振动u2的振幅比为A，坐标原点处t=0时刻的初位相为δ．第一列简谐波沿x轴正方向传播，第二列简谐波沿x轴负方向传播，两列波的叠加振动为

u(x,t)=u1(x,t)+u2(x,t)=

我们先分析合振动在某一时刻，如时间t=1时的振动情况：

u(x,t=1)=

在Mathematica中可以利用Plot(绘图)命令绘制函数的曲线，其命令编辑形式为：

Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}]

该命令绘制函数f1，f2，…在自变量x处于最小值xmin至最大值xmax区间的函数曲线．因为在波的叠加振动函数中，除自变量x外，还有A，ω1，ω2，λ1，λ2，δ多个参量，参量数值的大小均需要可交互式的调节，我们采用Manipulate(参数操纵)命令实现函数中参量数值大小的交互式调节操作．此处需要用到的Manipulate命令，编辑形式为：

Manipulate[expr,{v,vmin,vmax}]

该命令给出带有参量v大小控制条的expr(描述内容)所描述的内容，参量v的可调节区间为最小值vmin至最大值vmax．将绘图命令Plot[{f1,f2,…},{x,xmin,xmax}]作为expr所描述的内容，则可以形成带参量v大小控制条的函数f1，f2，…曲线绘制命令．将A，ω1，ω2，λ1，λ2，δ作为可调参量，绘制参量可调的两简谐波分振动与合振动曲线，命令编辑如下：

Manipulate[

{A,1,2},{ω1,1,10},{ω2,1,10},{λ1,1,16},{λ2,1,16},{δ,0,2π}]

其中x坐标轴上设置区间为0～8，可操作参量的设定为：振幅比A设置为1～2之间可调，圆频率ω均设置为1～10之间可调，波长λ均设置为1～16之间可调，初位相差δ设置为0～2π之间可调．在该命令中，可调参量数目、数值范围均可按照自己的实际需要设置．运行该命令，得到图1所示3条振动曲线，分别为两分振动与合振动在t=1时刻的振动曲线．

图1 两简谐分振动及其合振动的静态曲线

通过图中的可调参量控制条中的加减号，可以调节对应参量数值的大小，也可以直接在参量当前数值显示区域直接输入数值．点击三角形的播放按钮，可以使参量数值自动匀速增加或减小，变化速率可通过向上或向下的双箭头符号调节，最右侧的水平箭头控制参量的变化方向是增加还是减小．

图1中我们得到的是在坐标轴上一段区间x∈[0～8]、时间轴上静止(t=1时刻)、带参量调节控制条的振动曲线，要得到随时间动态变化的振动曲线还需要利用Mathematica的Animate(动画)命令．此处需要用到Animate命令，其编辑形式为：

Animate[expr,{v,vmin,vmax}]

该命令给出expr所描述的内容随参量v从最小值vmin至最大值vmax连续变化的动画．将时间t作为上述Animate动画命令中的动画参量v，前面所述的Manipulate命令内容作为expr描述内容，可以得到随时间变化的振动曲线动画．命令编辑如下：

Animate[

Manipulate[

{A,1,2},{ω1,1,10},{ω2,1,10},{λ1,1,16},{λ2,1,16},{δ,0,2π}],

{t,0,15}]

在Mathematica中编辑和运行所述命令后，得到两简谐波叠加前后的波动动画，图2为该动画中的一幅截图，其中可调参量的数值设置如图中所示．图2中最上面时间t运动轴的播放按钮可以控制动画在暂停与运动间切换．

图2 两简谐分振动及其合振动动画截图

在Mathematica的运行结果图2中，通过调整两简谐分振动的振幅比、圆频率、波长、初位相差，可以直观地得到各个参量的改变对于分振动及合成振动情况的影响．将两分振动的圆频率、波长、振幅均设为一致，我们就得到了驻波合振动，图3为驻波振动动画中的一幅截图，可以直观地验证驻波形成条件中关于振幅比为1，波长与频率相同的描述．

图3 两简谐分振动及其合成驻波振动动画截图

进一步的，如图4中所示，调节坐标原点处的初位相差δ为π，我们就得到左端为波节的驻波动画．为了进一步实现两端均为波节的弦上的驻波振动，我们需要调节波长，这个过程可以直观地演示驻波在弦上的形成，并得到弦长为半波长整数倍的数值关系，图5显示了弦长为半波长的情况．

图4 两简谐分振动及其合成的左端点为波节的驻波振动动画截图

图5 弦长为半波长的驻波振动动画截图

至此我们通过组合Mathematica中的Plot绘图、Manipulate参数操纵、Animate动画命令，实现了多个参数的交互式操纵和动画，形象、直观地展示了驻波振动以及弦上驻波的形成，相对于传统的沙漏简谐振动演示、弓弦驻波演示，具有准确、易用、效率高和演示内容更全面的特点，适合于课堂教学演示．

3 总结

本文介绍了数学软件Mathematica的Plot，Manipulate，Animate命令，用它们的组合命令将简谐振动及其合振动进行了直观的静态、动态演示，通过交互式的参数操纵，对驻波以及弦上驻波形成和振动的物理图景进行了展示．演示过程操作简洁、效率高，适用于课堂教学，有助于加深学生对物理图景的理解，激发学习兴趣，培养学生使用计算机软件解决抽象、复杂问题的能力．