由集束效应到磁通量的感性认识

伍秀峰

(上海市位育中学 上海 200231)

1 引言

磁通量的含义是描述穿过某截面的磁感线条数，定义是磁感应强度和垂直其方向的面积的乘积(或者是垂直于面积的磁感应强度与该面积的乘积)．在教学过程中，作为一个从磁场到电磁感应的纽带型参量，我们对其概念多数情况下是一带而过，从而学生除了会算，对磁通量是什么,为什么要学习磁通量不甚了了，相当于只解决了怎么用的问题，这与科学的认知规律是相违背的，现在我们的课堂可能需要某些改变.

这里仅从狭隘的辩证角度尝试设计一些课堂环节，使学生对磁通量从感性认识上升到理性认识，从而对磁通量有更深刻的理解，同时也锻炼了学生对问题的分析和论证能力.

2 流程

2.1 引入观念

直接将磁通量和盘托出就没什么可讲的了，此阶段学生刚学习过磁感线和磁感应强度，且二者可以结合——磁感线密集的地方磁感应强度也大，如何去深化这个观念呢？课堂标题定为“集束效应”，如图1所示，观察和思考各种情景：秦军箭阵、草地和草垛、纱布和牛仔布、密集的电线和锥子．

秦箭密集而强、草垛可以站人、牛仔布非常结实都是看得见可以感觉到的，而假想中密集的电磁辐射(其实没多少电磁辐射)以及锥子比螺丝刀更容易钻孔，则是肉眼看不到的电磁和力学效果，由此从可见的到不可见的，让学生建立普适观念：通常密集的地方强度大．

图1 体现集束效应的生活情景

那么在物理模型上，就很容易理解电场线、磁感线在此方面具有的相同规律．图2是太阳磁场照片(光谱图)，那么为什么太阳黑子附近的磁场强？因为看得出这个地方的磁感线比较密集，即单位面积上穿过的磁感线条数众多．

图2 太阳磁场照片

辩证思想：单位面积上穿过的磁感线条数少，磁感应强度就一定小吗？没有磁感线穿过，磁感应强度就一定是零吗？如图3所示，在一个匀强磁场中，将一块面积为S的板垂直于磁场放置(左)和有一定角度地放置(右)，显然后者穿过的磁感线总量会少，单位面积上的条数就少，但是磁感应强度却是相同的，那么怎么去表达这种“相同”？

图3 磁感线条数与磁感应强度关系分析图

2.2 转移焦点

用磁感线条数这个量去计算磁感应强度是否可行呢？第一，磁感线是不存在的，仅是想象中的模型；第二，画出的磁感线密集程度也因人而异．所以，“数”出确切的条数只是个美好的想法，用安培力或类似的手段(霍尔效应)测量磁感应强度更加现实．至此我们“集束”的观念问题已经结束了，但焦点已经悄然转移，学生会非常想知道，这磁感线的量不能被分辨为条数，那么能否定量呢？学生自然给出B乘以S⊥的算法，但是这个量不能精确地说成条数的话又叫什么呢？

辩证论：回想各种磁感线的模型，它们都有一个共同的特性是越密集的地方磁感应强度越大，即磁场越强，磁感线不均匀时说明磁场也是不均匀分布的，没有磁场的地方就不能画磁感线，由此磁感线的存在代表磁场的存在，磁感线通过的量即代表磁场通过的量，因此将B乘以S⊥定义为“磁通量”是非常合理且形象化的．

2.3 量的特征

为什么是标量：图4是铁钉朝各个方向钉入木板，但是每根钉不管是垂直于板，还是斜着钉入，通过这个面的根数都是1根，说明我们在数“根数”时不会因为方向的不同而记为半根或其他的值，因此记“根数”时不会包含确切的方向信息，同理，描述磁感线“条数”的磁通量也不会标记磁感线的具体方向，不同的方向可以是同一个值，所以是个标量．只有定量计算时才用到垂直的分量．

图4 用铁钉钉木板说明磁通量是标量

为什么有正负：在大学教材中，磁通量有严格的量化定义，是磁感应强度和面元的点积，为dΦ=B·dScosθ，式中θ是面元dS的法线方向与磁感应强度B的夹角，从而可以具备正负号．然而高中学生无此知识基础，那么除了说人为规定外，我们还能做什么呢？这里设置一个探讨环节，在图5如此对称的磁场中对称地放置一个闭合的曲面，则通过该曲面的磁通量应该是一个怎样的值？根据磁场分布的对称性，由N极出来穿出曲面的磁感线的量与穿入曲面回到S极的量大小应相等，则总的磁通量要么是单独N极穿出量的2倍，要么就是零，学生会如何选择呢？

图5 理想实验

理想实验：如果再有一个相同的磁铁，只是把其中的N和S极对调，然后完全覆盖在图5的磁铁上，则这时相加后的总磁通量又是多少？假如前面选择2倍，现在就应变成4倍；假如前面选零，则现在还是零，哪个对呢？我们把磁铁理想化成粗细可以忽略不计、完全重合且磁性互不影响的情况，根据磁场的叠加原理不难发现此时空间中各点的合磁场将为零，则根据计算方式，合磁场的磁通量也为零，这种磁感应强度的合成是等效替代，所以前面应当选择0+0=0的效果，即单根磁铁产生的总磁通量也是零．

辩证观：由此终于可以提出观点，零这个值毕竟是各个位置的磁通量之和，那么怎样的代数和可以为零呢？所以磁通量可以规定正负值，高中阶段只是随机规定，代表模糊的方向感，比如图4中从这个面穿入的定为负值的话，从这个面穿出的即为正值；但并不是说“穿出”就一定是正值，比如将图4的板子端起来，从下往上看到的也是一个穿出的情景，但磁通量正负是不变的，所以要注意在同一问题中“这个面”是不能更换的．

3 应用

磁通量在某种意义上代表了通过的磁场的量，如何在现实情境中体现呢？

图6是某厂家的钕磁铁参数页面的截图，里面有一条很有趣：“表磁大小与表面积成反比，与厚度成正比”，这里的表磁即指紧贴磁铁圆形的N极或S极面的磁感应强度，与厚度成正比可以理解为这样：每一小块磁性物质相当于一个士兵，他们紧挨站满构成磁铁，每位士兵产生的磁场想象为向前(N极)射出一支箭；假定最薄的磁铁只有一层士兵，则若有一个厚度为其n倍的磁铁，就相当于站了n层士兵，不难理解单位面积上发出箭的数量是1层士兵的n倍，即单位面积穿过的磁场(磁通密度)为前者的n倍，进而可以说明磁感应强度与厚度成正比．

图6 钕磁铁参数

反过来说，一块确定的磁铁包含的磁性物质是定量的，即它能制造的磁场是定值，则从N极穿出的磁通量也会是个定量，当然磁通密度会反比于表面积(注：N极附近的侧面也有磁感线穿出，所以是表面积而不仅是N极那一个圆的面积，同时对封闭的总表面而言，磁通量为零，所以这里只研究磁感线穿出的那一半磁体表面，即磁感应强度与总表面积的一半成反比，也就与总表面积成反比)．

4 后记

其实根据所有磁感线都是闭合的，所以大学物理中有“穿过任何封闭曲面的磁通量为零”的理论，也符合“不存在磁单极子”的观点．在此设计过程中笔者想到了以前的一个现象，在电磁感应实验中，拿条形磁铁插入、拔出副线圈时会产生感应电流并显示在检流计上，然而用磁感应强度很强但很细的钕磁铁去代替条形磁铁时，效果却还不如吸力不强的学生用条形磁铁，或许这个实验能让学生感受磁感应强度和磁通量的区别，理解后者是代表通过磁场的量而非其强弱．

5 总结

没有大学中“点积”的数学基础，没有任何电磁感应的知识储备，在学习磁感应强度之后，通常只能让学生了解磁通量的算法．本节设计基于各种现实的观点，从辩证角度给学生展现一个陌生而抽象的物理量，并努力将其形象化．虽然手段可能不是特别科学严谨，但是可以让学生对磁通量有一个相对合理的感性认识，同时也锻炼了他们分析和论证的能力．