基于SVM的套管最大von Mises应力预测方法

2019-06-28狄勤丰吴志浩王文昌覃光煦

石油钻探技术 2019年3期

狄勤丰，吴志浩，王文昌，覃光煦，陈锋

（上海大学应用数学和力学研究所，上海 200072）

随着超深井、定向井、水平井的逐渐增多，复杂载荷作用下套管的应力计算问题越来越受到关注。目前的研究主要针对居中套管（包括偏磨）在均匀和非均匀地应力条件下的强度计算[1-9]，但在非均匀地应力条件下无法求得不居中套管应力的解析解，W.J.Rodriguez[10]，P.D.Pattillo[11]和A.Nabipour[12]等人利用有限元方法进行了研究，只有窦益华[13]讨论了解析求解方法，提出了解决此类问题的新思路。在实际工程中，由于所遇情况复杂多变，常常需要针对不同对象进行有限元建模和分析，所需周期长，很难满足快速、实时解决问题的要求。为此，笔者提出了一种基于支持向量机（support vector machine，SVM）的非均匀地应力条件下不居中套管最大von Mises应力的快速预测方法，并对φ311.1 mm垂直井眼中的套管进行了分析研究。

1 SVM原理及其Matlab实现

SVM是一种基于统计学习理论的机器学习算法，通过寻求结构风险最小化来实现实际风险的最小化，在有限信息条件下得到最优结果[14]，在解决小样本、非线性和高维模式识别问题中表现出许多特有的优势。SVM可以作为一种广义的线性分类器，它的原理是利用非线性变换将输入空间变换到一个高维的特征空间，并在新的空间寻找最优线性分界面。线性可分的情况下，为确保经验风险最小，选取最优分界线H时不仅需要分类准确，还要使分类间隔M（H1和H2之间的距离）最大[14]，如图1所示。

线性不可分情况下，SVM的主要思想是将输入向量x映射到一个高维的特征向量空间，用特征向量φ(x)来代替，从而得到最优分类函数。由于在运算过程中，无论是目标函数还是决策函数都只涉及到训练样本之间的内积运算，而原空间的核函数可以取代该内积运算，因此可通过选择合适的核函数完成从线性问题到非线性问题的推广[14]。

支持向量机回归算法（support vector regression，SVR）是SVM的衍生算法，其本质是需要寻求一个最优超平面，使所有样本点与该超平面的总体偏差最小[15]。也就是说，对于一个容量为n的样本集：

图1 线性可分情况下的最优分类线[14]Fig.1 Optimal classification line in the case of linear separability[14]

式中：i 为样本序号；d为xi的维数。

需要寻找一个最优回归函数f，使f(xi)尽可能接近对应的样本值yi。

通过构造Lagrange函数，将支持向量机回归问题转化为凸二次规划寻优的对偶问题[15]：

其中

式中：bo为回归参数值。

式（4）即为基于径向基核函数的ε-SVR 模型。

ε-SVR模型的回归效果主要受核函数参数σ、不敏感系数ε及惩罚因子C等参数的影响[16-17]。通过比较各种参数优选的方法，选用网络搜索法进行参数寻优[18]，以训练样本均方根误差（root mean squared error，RMSE）最小作为寻优标准，即：

式中：f(xi)为预测值。

基于Matlab软件，可以实现程序运算，具体运算框图见图2。

2 SVM实验样本构建

为了利用SVM方法实现非均匀地应力和套管不居中情况下套管最大应力的预测，必须建立实验样本。由于实际的“套管-水泥环-地层”系统及其受载十分复杂，这些样本无法用真正的实验方法构建，为此利用ANSYS有限元方法进行“实验样本”的构建。关于“套管-水泥环-地层”系统的有限元分析已十分成熟，也已经过实际数据的验证。这种有限元分析的一个特点是在弹性条件下计算套管的应力，最后根据应力大小和套管的强度来确定套管是否失效[19]。本文的“实验样本”也基于弹性条件进行构建。

图2 ε-SVR模型的MATLAB程序实现Fig.2 MATLAB program implementation of the ε-SVR Model

影响“套管-水泥环-地层”系统套管应力的因素很多，包括套管的类型和尺寸、最大及最小水平地应力、钻井液密度、水泥环的弹性模量及泊松比、地层的弹性模量及泊松比、套管偏心距和偏心角。关于地应力的影响，有不同的观点，但对于刚钻穿盐膏层的井筒来说，由于应力释放需要较长的时间，因此在一定时间段内，套管将会承受非均匀地应力的作用。同时，研究表明，最大应力一般出现在偏心角为90°或270°的方向[20]。为了减少模型变量，提高预测效率，在构建“实验样本”时，将偏心角固定为90°。同时，当套管给定时，其类型和尺寸都将确定。因此，针对给定套管进行应力预测时，将主要包含最大地应力、最小地应力和水泥环特性等8个关键影响因素。由于实际情况非常复杂，很难确定上述影响因素的合理范围，因此采用了文献调研和实际调查的方法，确定了影响因素的近似取值范围，见表1[21-22]。

表1 主要影响因素及取值范围Table 1 Main influencing factors and range of values

某典型的“套管-水泥环-地层”系统如图3所示，井眼直径为311.1 mm，套管内径为219.0 mm，套管外径为250.8 mm。假设套管在井眼中的偏心距为δ，偏心方位角为φ，最大水平主应力σH沿x方向，最小水平主应力σh沿y方向。对几何模型进行单元划分，单元类型选择二维四边形PLANE183单元，按内密外疏的方式划分网格。划分后的网格如图4所示，共计6 215单元，18 953节点。对其施加载荷及约束，偏心方位角固定为90°，分别计算不同偏心距时的套管von Mises应力分布及其最大值。

图3 套管-水泥环-地层系统几何模型Fig.3 Geometry model for casing, cement sheath and formation

图4 套管-水泥环-地层系统有限元模型Fig.4 Finite element model for casing, cement sheath and formation

某一工况下对应的计算参数：偏心距为1.5 mm，σH为92.0 MPa，σh为59.0 MPa，地层弹性模量和泊松比分别为30 GPa和0.27，水泥环的弹性模量和泊松比分别为35 GPa和0.17，套管的弹性模量和泊松比分别为210 GPa和0.30，钻井液密度为1.64 kg/L，对应井深为4 995.00 m，钻井液静液柱产生的内压约8.03 MPa。地层用以井筒为中心、边长为3.00 m的正方形代替，该工况下的套管内壁von Mises应力云图见图5。从图5可以看出，套管内壁沿y方向（即最小水平主应力方向）的von Mises应力最大达321 MPa。

图5 套管内壁von Mises应力云图Fig.5 von Mises stress cloud diagram on the casing inner wall

类似地，可计算得到其他99个“实验样本”数据的最大von Mises应力，因样本数量较大，只给出了1～10号和91～100号样本计算结果（见表2），并将1～95号样本作为训练样本，96～100号样本作为测试样本。为了避免人为干扰，计算过程中，每一个因素的取值都采用随机方法。

3 套管最大von Mises应力预测及精度分析

基于SVM的非均匀地应力条件下不居中套管最大应力预测，关键在于确定ε-SVR模型的3个核心参数，即σ、ε和C的寻优，这需要在一定范围内对3个参数进行搜索。笔者选择σ的范围为[0.1，3.0]，搜索步长为0.01；ε的范围为[0.01，3.05]，搜索步长为0.05；C的范围为[1，10]，搜索步长为0.1。经参数寻优，最佳的σ、ε和C值分别为2.01、0.01和3.00。基于这3个模型参数，预测得到表2中96～100号参数对应的最大应力值（见表3和图6）。为了比较，同时列出了对应的样本值。