一类具有记忆项的耦合方程组的全局吸引子

张利媛,任永华

( 太原理工大学数学学院,山西 榆次030600)

1.引言

本文研究了方程组

在边界条件

及初始条件

下,其全局吸引子的存在性.

关于方程的全局吸引子的相关研究有很多,早在19世纪,Kirchhoff[1]建立了如下模型方程

用来描述弹性杆横截面运动,之后许多学者研究了此方程的初边值问题,得到了整体解的存在性或不存在性.Park[2]研究了具有记忆项的Euler-Bernoulli梁方程

在满足一定条件下解的存在性和衰减性,之后许多学者考虑了此类方程的全局吸引子的存在性.在文献中,还有有很多关于热弹性梁、板方程的研究[4−6],本文在以上文献的基础上,讨论非线性问题(1.1)-(1.3)全局解的渐近行为,首先我们讨论全局解的存在性和唯一性,然后通过证明系统吸收集的存在性和半群S(t)的渐近紧性,证明方程组的全局吸引子的存在性.

2.定义及基本假设

Mµ=L2µ(R+;H20(Ω)),为实值函数空间,范数与内积为

假设2.1(函数N(z)=(ζ)dζ的假设)首先,我们假设

a) 若|ux|2

b) 若|ux|2< L,存在常数>0 使得其中

由于对一些L >0,有M(v)∈Cm+2(Ω),∃A=suptmax0≤α≤|ux|2M(α),根据a),b),我们有下列不等式

假设2.2(函数f,g的假设)f(u)和g(ut)的形式分别为

f,g: R→R,f,g ∈C1(R),f(0)=g(0)=0,且存在常数p,p1,p2,p3>0,L0,L1>0 使得∀u,v ∈R,|f′(u)|≤p(1+|u|ρ),g′(u)≥0 并且

假设2.3(记忆项µ的假设)∀s ∈R+使得µ(0)≥0,µ′(s)≤0,µ′(s)+δµ(s)≤0,δ >0.

3.适定性

显然,问题(1.1)-(1.3)的系统不是自治的,我们定义一个新的变量η=ηt(x,s)=θ(x,t)−θ(x,t −s),(x,s)∈Ω×R+,t ≥0 则有ηt+ηs=θt.

则我们可得到下面的新系统

边界条件

及初始条件

我们的分析基于以下的Sobolev空间ℑ=H20(Ω)×L2(Ω)×L2(Ω)×L2µ(R+;H20(Ω)),范数为|其中||·||p表示Lp范数.

定理3.1设假设2.1-2.3成立,若初始值(u0,u1,θ0,η0)∈ℑ1=H4(Ω)∩H20(Ω)×H20(Ω)×H20(Ω)×L2µ(R+;H4(Ω)∩H20(Ω)),系统(3.2)-(3.4)有唯一强解(u,ut,θ,η)满足

定理3.2在定理3.1的条件下,若初值(u0,u1,θ0,η0,)∈ℑ,系统(3.2)-(3.4)有唯一弱解(u,ut,θ,η)满足(u,ut,θ,η)∈C(R+;ℑ).

注3.1两种情况下都有其中C是一个常数,且C依赖于初始值。

注3.2运用Faedo-Galerkin方法,当h ∈L2(Ω)的模型在空间ℑ1上存在唯一强解.根据稠密性理论得到空间ℑ上的唯一弱解.事实上,初始值(u0,u1,θ0,η0)∈ℑ因ℑ1在ℑ中稠密.存在序列(un1,un1,θn0,ηn0)∈ℑ1,使得

注3.3在ℑ上定义一族非线性算子

是ℑ到ℑ的映射,根据解适定性定理可知S(t)是定义在ℑ上的非线性C0-半群.

4.全局吸引子的存在性

引理4.1[7]令φ(t)是定义在[0,T]上的一个非负函数,1

这里M0,M1,r都是正常数,可以得到

引理4.2[8]设H是一个巴拿赫空间,对于任何正不变有界集B ⊂H,∀ε >0,∃T=T(ε,B),使得d(S(T)x,S(T)y)≤ε+χT(x,y),∀x,y ∈B,这里χT:H ×H →R 满足对于任意zn⊂B,

那么半群S(t)是渐近紧的.

定理4.1[8]S(t)是距离空间H上的一个耗散的半群,S(t)存在紧吸引子当且仅当S(t)在H中渐近紧.

定理4.2在定理3.1 的假设下,系统(3.2)-(3.4)确定的半群S(t)在ℑ中有一个全局吸引子.

定理4.2的证明根据引理4.1,4.2,我们证明半群S(t)有一个吸收集,它满足在ℑ中渐近紧,为此,我们设系统(3.2)-(3.4)的解是正则的,它的摄动总能量方程为

步1 吸收集在ℑ中的存在性

设半群S(t)在ℑ有吸收集B,任意有界集B ⊂ℑ,考虑新系统的解(u(t),ut(t),θ(t),η)=S(t)(u0,u1,θ0,η0),且(u0,u1,θ0,η0)∈B,以下的分析基于矫正能量函数

其中λ1是Laplace算子在空间H20(Ω)的第一个特征值,根据可得

(3.2)-(3.4)系统的第一方程与ut在L2(Ω)上做内积,

第二个方程与θ在L2(Ω)上做内积,

第三个方程与ηt在Mµ上做内积,

三式相加并在[t,t+1]上积分

(3.2)-(3.4)系统的第一个方程与u相乘并在Ω×[t1,t2]上积分可得

由假设2.1,我们得到

代入(4.10)式,并结合假设2.2,得到

根据不等式|u+|≤|u|,得

由假设2.2,得

根据H20(Ω)2(Ω)和Young不等式,我们得到

由假设2.2,得

由假设2.3,有

再由(4.8)式可知

将(4.14)-(4.23)式代入(4.13) 式,得到

再根据积分中值定理,∃tξ∈[t1,t2]使得

由上式,再根据(4.8)式可得

将(4.26)式代入(4.24)式,得

由引理4.1,我们得到

当t →∞时,上式右边第一项趋向于0.因此由我们得到结论

是系统的一个吸收集.

步2 半群S(t)在ℑ中渐近紧

给定初值(u0,u1,θ0,η0,)和∈B,这里B ⊂ℑ是一个有界集,且正不变,令(u,θ,是系统的相关弱解,那么w=u −v,φ=θ −,ψt=ηt−是方程

其中∆f=f(u)−f(v),∆g=g(ut)−g(vt).

现在,我们估计(4.33)式,事实上,我们有M(|ux|2)−M(|vx|2≤M′(sup{||ux||22,||vx||22})· ||wx||(||ux||+||vx||),运用M′的连续性可以得出

其中0≤o ≤T.

由假设2.2,我们得到以下式子

另一方面我们有

根据Young不等式

将上式在[t,t+1]上积分,得

系统(4.32)第一个方程与w相乘在Ω×[t1,t2]上积分

类似第一步部分计算过程,有

则存在t∗∈[t1,t2]使得

由Ew(t)≤Ew(t+1)+2Q(t)2令ν ∈[t,t+1],使得Ew(ν)=supt≤τ≤t+1Ew(τ),将(4.38)式分别在[t,ν],[t∗,t+1]上积分可得

由(4.42)-(4.43)式,得

因此

应用引理4.1,存在D1,D2>0,使得

即

对于给定ξ >0,满足当T足够大时,定义χT:ℑ×ℑ →R 为

根据(4.47)-(4.48)式可得

根据嵌入定理H20(Ω)10(Ω)是紧的,则∀T′>0,C([0,∞),H20(Ω))∩C1([0,∞),L2(Ω))([0,T′),H10(Ω))也是紧的.因此存在子序列{unk}在C([0,T′),H10(Ω))中一致强收敛.

因此,半群S(t)在空间ℑ中渐近紧.

步3 步1,2证明了(ℑ,S(t))是一个耗散系统,半群S(t)在空间ℑ中渐近紧,根据定理4.1可知,系统存在整体吸引子.