突破集合与函数的学习重难点

丁小飞 蓝云波

集合与函数是高中数学的基础，同时也是重难点，大家在学习时一定要夯实基础，把握重点，突破难点。

一、集合

从对近五年来的高考数学试卷分析来看，集合的考查题设稳定，难度较低，均以集合的运算为主，其中有两次结合一元二次不等式进行考查，所以集合的运算是大家要重点掌握的内容。在解答集合运算的问题时，要做到“一看、二化、三画”：一看，即看元素构成，比如是点集还是数集，是连续的还是离散的;二化，即对集合进行化简（有时注意定义域的限制），使得元素更具体、更清晰，以方便解题;三画，即利用数形结合思想画出数轴或韦恩（ Venn）图。

例1 （201 6年全国卷工）设集合人一{x|x2-4x+30），则A∩B=（ ）。

A.（-3，-3/2）

B.（-3，3/2）

c.（1，3/2）

D.（3/2，3）

解析 一看：集合中的元素是实数集，是连续的。二化：元素没有直接具体体现，需要进行化简，A={x2-4x+3<0}一{x|l

二、函数

根据对近五年来的高考数学试卷的分析统计，我们发现：函数知识中函数的奇偶性每年必考;函数与方程考查了四次，主要考查函数的零点;函数图像考查了四次;指数、对数函数考查了三次;分段函数考查了三次，主要以分段函数考查函数的性质;二次函数考查了三次;函数的单调性考查了两次;函数模型及综合应用考查了两次;函数概念（定义域）考查了一次;幂函数考查了一次。由此可见，函数在高中数学中具有举足轻重的作用，也反映出函数的重难点，即函数性质、函数图像、函数与方程。

1.函数性质：函数的单调性、奇偶性是必考内容，通常与函数的图像、零点等结合在一起进行考查，考查了数形结合思想，既是难点也是重点，同学们必须熟练掌握。

例2 （2017年全国卷Ⅰ）函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，且为奇函数。若f（1）=-1，则满足-l≤f（x-2）≤1的x的取值范围是（ ）。

A.[-2，2]

B.[ -1，1]

C.[o，4]

D.[1，3]

解法1：根据题目的条件，容易联系到函数f（x）=-x，且此函数满足题目给出的所有条件。因为是选择题，所以可以用特值法进行解答。令f（x）=-x，则f（x-2）=2-x，故-1≤f（x-2）≤1的解可转化为 1≤2 、r≤1的解，由此解得1≤x≤3。故选D。

解法2：利用所给函数的单调性求解。因为f（x）为奇函数，所以f（-1）=-f（1）=1。于是-l≤f（x-2）≤1等价于f（1）≤f（x-2）≤f（-1）。又因为f（x）在（-∞，+∞）上单调递减，所以 1≤x-2≤1，解得l≤x≤3。故选D。

解法3：根据数形结合的思想，画出符合条件的图像，如图2所示，即可得出答案为D。

解析 本题的解题思路比较多，题目条件可以灵活转变，例如，“函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递减”可以用“函数.f（x）在其定义域中任取x1”﹤0代替，“函数f（x）为奇函数”用“函数f（x）在其定义域中任取x都有f（x）+f（-x） =o”代替等。对不熟悉函数奇偶性和单调性的考生来说，这道题就成为一道难题了。

2.函数图像：从对近五年来的高考数学试卷的分析统计，我们发现函数图像是高考的热点，主要考查对函数图像的识别，本来是易、中难度的试题，但很多同学却拿不到分数。实际上，函数图像是函数的一种表示，所以图像的差别就是函数的差别，函数的差别就是函数性质的差别，只需从函数的差别人手进行解答，就会使问题得到解决。而函数的差别在哪里呢？就在于定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性上的差别，当然还有“特殊点”对应的函数值的差别。所以解答这类问题的策略是一点（特殊点）、两域（定义域、值域）、三性（单调性、奇偶性、周期性）。

例3 （2018年新课标卷Ⅱ）函数的图像大致为（）。

解析

这是一道典型的函数图像识别题，所给函数，f（x）对大家来说是复杂陌生的函数，如果没有方向是很难解答出来的。用定义域不能排除错误的选项，但可以证明函数的奇偶性，因为x≠0，f（-x）=

=-f（x），所以f（x）为奇函数，排除A项。通过特殊值进行排除，由f（1）=e- e-1>0，排除D项。根据指数增值率与二次函数增值率的快慢和极限思想，排除C项。故选B。

3.函数与方程：由对近五年来的高考数学试卷分析统计，我们发现函数与方程是一个考查热点，尤其在考查函数的零点、方程的根时，一般会与函数的图像、性质结合在一起考查，综合性较强，一般以选择题、填空题的形式出现。从理论上来说可以结合函数与方程的关系，解方程來求解，若不易求解，可以用数形结合的方法进行解答。解答函数零点问题的策略：利用函数与方程的关系，求出零点个数;直接画出函数的图像，找成零点个数;转化为熟悉的函数，运用数形结合法求出交点个数。

例4 已知函数f（x）=6/x-log2x，则f（x）的零点个数是_____。

解法1：利用零点存在性定理和函数的单渊性即可解答。因为f（2）=3log22=2>0，f（4）=6/4-log24=3/2-2<0，可知函数f（x）存在零点。又易知函数f（x）是单调递减函数，所以函数f（x）有一个零点。

解法2：不易直接画出函数f（x）的图像，但是可以转化成熟悉的，h（x）=6/x与g（x）=log2x两个函数的交点个数问题，根据两个函数的图像（图略）容易得出交点个数为l。

点评 在解答函数与方程的问题时，尤其是涉及函数零点、方程根的问题，要根据题目的特点选择适当的解法，这样有利于提高解题效率。