例谈“直线与圆”高考题中的距离问题

齐斌德

解析几何是用代数方法研究几何问题的学科，解析法是沟通数与形的重要方法。直线方程和圆的方程是解析几何的基础知识，是高考考查的重点内容，试题难度为中等或偏易，主要以选择题、填空题的形式…现。从近几年的高考试题来看，以距离的求解为考查热点，现将近几年高考中和“直线与圆”有关的距离问题梳理总结如下。

题型一：求圆心到某一点的距離

例1 （201 5年全国卷Ⅱ）已知三点A（1，0），B（O，3），C（2，3），则三角形ABC的外接圆的圆心到原点的距离为（ ）。

解法1：根据题意画出图形，如图1所示，可知三角形ABC为正三角形，其外接圆的圆心坐标为（）。

所以圆心到原点的距离d=。故选B。

解法2：直线BC的斜率为o，可知其垂直平分线的方程为x=l。直线AB的斜率为

，线段AB的中点坐标为（）。因此线段AB的垂直平分线方程为。由，可得因此△ABC的外接圆的圆心坐标为（）。所以圆心到原点的距离。故选B。

解法3：设三角形ABC外接圆的方程为（x-a）2+（y-b）2=r2（r >O），则由A（1，o），B （O， ），C（2， ）三点在圆上，可知

因此外接圆的圆心坐标为（1， ）。

所以圆心到原点的距离d=。故选B。

方法总结：与圆有关的问题大多数与圆心坐标及半径有关，因此在求解的过程中，要重视圆心及半径的求法。如果直接给出了圆的方程，可以根据方程的特征及相关公式求解圆心坐标和半径;如果给定了一些几何特征，应根据几何特征求出圆心坐标及半径，也可以先求出圆的方程，然后根据方程求得圆心坐标和半径，必要的时候画出图形会起到事半功倍的效果。

题型二：求圆心到直线的距离

例2 （2018年全国卷Ⅲ）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x-2）2+y2=2上，则三角形ABP面积的取值范围是（）。

A.[2，6]

B.[4，8]

c.[， ]

D.[ ， ]

解析

由题意知A为（-2，o），B为（o，-2），|AB= 。将线段AB看成三角形ABP的底边，则点P到直线x+y+ 2=0的距离为三角形ABP的高，如图2，可知当点P在E处时，三角形的面积最大，当点P在F处时，三角形的面积最小。

圆C：（x-2）2+y2—2的圆心坐标为C（2，O），半径为/2，圆心C到直线x+y+2=0的距离CD=，从而ED=2/2+/2=3/2，FD=2/2-/2=/2。因此三角形ABP面积的最大值为1/2AB.

1ED=，最小值为1/2AB.

1FD==2，所以三角形ABP面积的取值范围是[2，6]。故选A。

方法总结：方程（、z、 “）2+（y/））2一r 2（r>0）表示以（a，b）为圆心，r为半径的圆;方程x2+y2+Dx+Ey+F=O（D2+E2-4F>O）表示以（）为圆心，半径r=的圆。在求解与圆心和半径有关的问题时，应先根据所给圆的方程特征求出圆心和半径，再根据题目条件解决相应的问题。在求解圆上的点到直线的距离时，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则圆上的点到直线的距离的最大值为d+r，最小值为d-r。

题型三：求弦长

例3 （2018年全国卷Ⅰ）直线y =x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A，B两点，则 AB=_____。

解法1：（代数法）由方程组可得 ，或因此直线与圆的两个交点的坐标分别为（0，1），（-2，-1），根据两点之间的距离公式可得AB=/（0+2）2+（1+1）2=。

解法2：（几何法）根据圆的方程x2+y2+2y-3=0，可知圆心坐标为（0，-1），半径r =2，圆心到直线y=x+l的距离为 ，所以AB =。

方法总结：在求解圆的弦长问题时，通常有两种方法，一种是先用代数法通过建立方程组，解出直线与圆的交点坐标，再利用两点之间的距离公式求解;另一种是通过几何法求解，即先求出圆的圆心坐标和半径，再求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理求出半弦长，进而求出弦长。两种方法各有利弊，在解决具体问题的过程中，要根据题意灵活选择恰当的方法，必要时可以画出图形帮助理解。

题型四：判断两圆的位置关系‘例4 （2014年湖南卷）若圆Cl：x2+y2 =1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则m的值为（）。

A.2l

B.19

C.9

D. -1l

解析 由题意知，圆Cl的圆心坐标为（0，0），半径r1=1，圆C2的圆心坐标为（3，4），半径r2=/25-m。由于两圆外切，所以 CiC2=|ri +r2，从而，解得，m=9。故选C。

方法总结：在判断两圆的位置关系时，主要通过对比圆心距和半径之和（差）的绝对值大小来确定。因此在求解时，应先求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，然后与半径之和（差）的绝对值进行比较，从而确定两圆的位置关系。