章起始课如何教得深刻——以“变量与函数”（第1课时）为例

王万丰

（浙江省台州市路桥实验中学）

一、背景

章起始课往往内容少、概念简单，考试对这部分内容的要求也低，在实际教学中，许多教师对这部分内容的教学都不够重视.原因有很多，有的教师觉得内容太简单，学生都知道了，考试也都会，所以匆匆带过；也有些教师是因为没有认识到章起始课的价值，相应的考试也无法考查，所以不重视.这样教学，严重影响了章起始课应有的价值，没有体现其引导及统领作用，没有发挥章起始课应该承担的教育价值，从而导致学生的学习碎片化，缺乏整体性及思想性，不利于学生核心素养的提高.

二、教学设计

1.内容及内容解析

内容：人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十九章第1节“变量与函数”（第1课时）.

内容解析：函数是代数部分的重要内容，也是中学数学的核心内容，函数的研究贯穿整个学段，从用字母表示数，到用字母表示未知数，再到用字母表示变量，可以为学生感受单值对应思想、理解函数的概念打下基础.变量的概念比较简单，即在一个运动的过程中，可以变化的量.理解变量，应该针对某一特定变化的过程，在不同的变化过程中，同一个量可以做变量，也可以做常量.另外，在某一变化的过程中，可能变化的量无法确定，此时可以创造某个量，以便更好地研究这一变化过程.

基于以上分析，确定本节课的教学重点为理解变量的概念.

2.目标及目标解析

目标：（1）理解变量的意义；

（2）体会从定性分析到定量研究的数学研究方法；

（3）通过回顾用字母表示数的发展历程，学生能初步感悟从常量数学到变量数学的发展过程.

目标解析：达成目标（1）的标志是通过具体实例概括出变量与常量的概念，能指出具体变化过程中的变量和常量，理解不同的量在不同的变化过程中可以做变量，也可以做常量，还可以创造新的量，以便于研究.

达成目标（2）的标志是初步认识到生活中存在着大量的运动变化现象，认识要精细研究这些变化过程需要具体到用量表述，关注量的变化，体会从定性分析到定量研究的研究思路.

达成目标（3）的标志是通过回顾用字母表示数、用字母表示未知数到用字母表示变量的过程，体会代数的发展历程.

3.教学问题诊断分析

变量的概念学生理解起来比较简单，但学生是第一次系统的用变量的观点来研究变化的过程，感受从定性分析到定量研究的思想，特别是在某个变化的过程中.例如，在“小杰越来越帅了”这一变化过程中，不能明确指出是什么量随时间的变化而变化，即无法用现成的量来表达这一变化过程，若需要精确的研究这一变化过程，需要创造出新的量来研究.因此，本节课的难点是体会从定性分析到定量研究的数学思想.

4.教学过程设计

（1）创设情境，感受变化.

问题1：如图1，教师开车从A地出发到B地，粗略地说一说，汽车从A地开出后，行驶的路程怎样变化？

图1

追问：若平均车速约为50 km/h，汽车行驶了12分钟时，估计汽车到了哪个位置？30分钟呢？1小时呢？

师生活动：学生用自己的语言表达变化过程，初步感受到在汽车行驶过程中离A地越来越远，离B地越来越近.对于追问，学生通过计算得出行驶的路程，从而得出具体位置.教师适时总结：由于汽车是在行驶的过程中，位置随时间的变化而变化，但要得到具体所在的位置，需要通过计算汽车行驶的路程得到.

【设计意图】人类认识客观世界，是从感性到理性、从整体到局部、从粗略到精细进行的.通过问题1，利用具体的问题情境让学生感受一个变化的过程，初步感悟到要精确地把握变化的过程，需要研究变化中的量，从而让学生的思维从粗略过渡到精细，初步感受到从定性分析到定量研究的过程.

问题2：我们生活在一个万物皆变的世界里，卫星的位置随时间的变化而变化；一天中气温随时间的变化而变化；汽车行驶的路程随时间的变化而变化；温度随海拔高度的变化而变化.但是这些变化往往是有规律的，那么我们如何用数学的眼光来观察这个世界呢？怎样把握这些变化呢？

师生活动：教师依次出示相关图片（图略），让学生感受大自然中大量存在的一个量随着另一个量的变化而变化的具体实例.接着，教师引导学生从问题1中如何得到汽车的位置入手，得出位置可以通过汽车行驶的路程来考虑，从而教会学生用数学的眼光观察世界——关注变化过程中量的变化，得到图2.

图2

【设计意图】本环节主要是为了让学生感受到我们的世界万物皆变，现实生活中存在大量的一个量随另一个量的变化而变化的实例，提出研究的必要性.同时也让学生领悟从定性分析到定量研究的数学研究思路.

（2）归纳共性，形成概念.

问题3：先粗略的说一说下列变化过程中一个量是如何随另一个量变化的，再说出有哪些量.

（1）汽车以50千米/时的速度匀速行驶，行驶的时间为t小时，行驶的里程为s千米；

（2）每张电影票的售价为10元，设某场电影售出x张票，票房收入为y元；

（3）你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢地扩大，圆的半径r与圆的面积S；

（4）用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长为x时，它的邻边长为y.

师生活动：教师引导学生关注其中的量有哪些，让学生说说这些量是如何变化的，也可以顺应学生的思维用关系式表达量与量之间的关系，并初步体会这些量中有些量是始终保持不变的，有些量是变化的，并将其进行分类.

【设计意图】引导学生观察不同的变化过程，体会变化过程中数值变化的量和数值不变的量，为形成变量和常量概念提供归纳样例.

追问1：通过对上述问题变化过程的观察，你认为这些问题中的量可以怎样分类？

师生活动：在学生进行分类的基础上，教师引导学生通过概括得出变量与常量的概念.

【设计意图】让学生先分类、再归纳，引导学生概括出变量和常量的概念，发展学生的数学抽象素养.

（3）辨别练习，巩固概念.

练习1：指出下列变化过程中的变量和常量.

（1）汽油的价格是7.4元/升，加油x升，车主要付费y元；

（2）小明看一本200页的小说，看完这本小说所需要的时间为t天，平均每天所看的页数为n页；

（3）用长为40 cm的绳子围矩形，围成的矩形一边长为x，其面积为S；

师生活动：学生独立完成，教师引导学生进行汇报与交流，教师也可以顺应学生的思维用关系式表达量与量之间的关系，让学生初步感受用解析法表达变量之间的关系.

【设计意图】辨别实际问题中的变量和常量，体会概念的含义.

练习2：举一个变化过程的例子，先粗略描述变化过程，再找出变量和常量，说说变量之间有什么关系.

师生活动：学生在独立思考的基础上可以与同学交流，教师耐心听取学生汇报，重点关注学生能否清楚地表达变化过程，说明其中的变量与常量，可以顺应学生的思维用关系式表达量与量之间的关系，让学生初步感受用解析法表达变量之间的关系.

【设计意图】让学生说说自己最熟悉的变化过程，并确定其中的变量和常量，继续感悟生活中的数学，体会万物皆变，并辨别实际问题中的变量和常量，体会概念的含义.

练习3：教师举例用图表表示变化过程，学生辨析其中的变量与常量.

师生活动：学生辨析，教师进行适当点评.

【设计意图】利用身边的实例让学生体会用图形与表格表示变化过程中的变量与常量，初步感受图象和表格表达函数的两种方式，为学习函数概念做简单的铺垫.

练习4：试一试，能确定下列变化过程中的变量吗？

（1）天气越来越热了；

（2）小杰越来越帅了.

师生活动：学生发现这些问题中没有现成的量，尝试用数量描述.其中第（1）小题比较简单，学生可以用温度来描述，对于第（2）小题，学生创造性的用“颜值”这个新的量进行描述，它与时间是变量，在这一变化过程中没有常量.

【设计意图】让学生尝试对一些不明显的变化过程进行数量描述，在这一过程中，学生能体会到从定性研究到定量研究的数学思想方法，学会用量来描述变化的过程，进一步体会用量化的方法描述变化的过程，体会变量的含义.

（4）深度理解，准确把握.

问题4：指出下面问题中的变量和常量.

（1）A，B两地相距200 km，汽车以vkm/h的速度匀速行驶，行驶时间为th.

（2）汽车以vkm/h的速度匀速行驶3小时，行驶路程为skm.

追问：你对变量和常量有什么新的认识吗？结合这个例子说说你的想法.

师生活动：学生指出两道小题中的变量与常量，感受到有些量在某一过程中是变量，在另一变化过程中又是常量，所以变量与常量是相对于某一变化过程而言的，学生用自己的语言表达，教师做点拨、归纳.

【设计意图】进一步体会变量与常量的含义，理解变量与常量是相对于某一过程而言的.

（5）回顾小结，反思提升.

①通过这节课的学习，你对研究数学问题有没有新的认识？

②谈谈你对变量与常量有什么认识？

（6）体会变量，形成系统.

师生活动：师生共同回顾、构建知识网络，顺势总结出如图3所示的框架图.

图3

【设计意图】对于一章的起始课，通过共同回顾，让学生了解本章知识在数学体系中的地位和作用，同时揭示本章学习内容，提升学生的学习兴趣，建立其学习的信心.

三、教后反思：章起始课如何教的深刻

1.章起始课所承担的教育价值

章起始课是一章内容的序曲，对全章内容起着引导性的作用，其往往是一部分内容的开篇之作，虽然简单，但其背后蕴涵的思想方法却非常重要.例如，变量这节课，首先，其中就蕴涵着从定性分析到定量研究的思想，这对后续的学习乃至生活都非常重要；其次，章起始课的教学应该让学生知道我们将要学习什么？如何学习？了解本章及本节知识在数学体系中的地位与作用，即起到引导或统领的作用；再次，变量与常量概念的形成过程，体现了数学抽象的核心素养，从概念的提出到概念的形成能深刻的培养学生数学抽象的素养，这种素养的培养并不因为概念本身难度的大小而变化.

2.深刻理解教材，才能教得深刻

章建跃博士认为，做好“四个理解”是教好数学的基础，即要深刻的理解数学、理解教学、理解技术、理解学生，这也是提升教师素养、提高教学质量的基石.教材是专家及部分一线教师经过深思熟虑、字字斟酌的智慧结晶，数学教师要具备较高的理解数学的素养，就必须认真研读教材，切实把握教材内容的内涵和外延，形成对教材内容的深刻感悟，从而在教学过程中在理解教材的基础上进行挖掘、拓展、延伸，创造性的使用教材.

本节内容中，概念少而且简单，若是教师直接教教材，则只停留在浅层次的了解概念的水平.变量与常量的概念是本堂课的重点，但是比概念更重要的是让学生体会从定性研究到定量研究的思想，即引导学生从感知量的存在到学会用量来研究变化过程，这是难点.教师在设计教学的过程中，应该站在更高的层次理解教材，挖掘教材背后蕴涵的思想方法，并通过恰当的问题设计达到教学目的.

3.务实与务虚相结合地确定教学目标，才能教得深刻

在平时的备课中，教师往往重点关注的是教学内容，特别是考试要达到的技能，这是务实，即不放弃、扎扎实实的完成本节课的知识与技能目标.而在章起始课的备课中，也需要务虚，务虚是指不就知识论知识，就解题论解题，而是充分挖掘和利用知识的思维训练价值，这需要教师深度理解教材，挖掘教材背后的数学思想方法.

本节课务实的教学目标是理解变量的意义，而务虚的教学目标则为感悟从定性分析到定量研究的数学思想，提出这一目标是让学生更清楚的理解学习变量与常量的必要性，即解决为什么要学的问题.另外，通过回顾用字母表示数的过程，学生能初步感悟代数的发展历程，即从学习数到用字母表示数，再到用字母表示未知数解决实际生活中确定的数量关系，而用字母表示变量则是研究实际生活中不确定的数量关系，让学生了解从数到式学习的整体性与系统性，提升学生系统思考问题的能力，同时也让学生了解本节内容在数学体系中的地位与作用，提升学生学习的信心.

人的思维习惯总是从粗略到精细、从简单到复杂，本堂课的教学设计尊重学生的思维习惯，先从简单的实际问题入手，让学生感受现实生活中大量的变化过程，但要准确把握变化的过程，需要研究其中的量.通过列举变化过程中的量，学生自然的感受到量有变与不变之分，通过自主建构将量进行分类，并下定义，从而得到变量与常量的概念，接着通过一组练习，巩固变量与常量的概念，在这一环节中，笔者设计了一个与众不同的环节，即说出“天气越来越热了”“小杰越来越帅了”中的变量与常量，这是生活中最常见的语言表达，一方面，学生能感受到在这一过程中确实有量发生变化，但是很难说出是什么量随时间的变化而变化.经过思考，学生创造性的使用了“颜值”这一新的量，“越来越帅”是一种定性的感觉，通过“颜值”来衡量，是从定量的角度来研究，即是从定性到定量的进步，进一步体会了数学思想方法强大的力量，这是务虚教学目标达成的体现，也是数学育人的一种体现.

数学教学要体现育人的功能，数学课堂应该有思考的味道，深刻的数学课堂应该让学生学会如何用数学的眼光观察世界，如何用数学的思维分析世界，如何用数学的语言表达世界，从而发展学生的智慧，提高学生的核心素养.在本节课的教学过程中，设置了“如何准确把握运动变化过程”“如何对量进行分类”“如何用量表达世界”这三个有“数学味”的思考问题，要准确的把握运动变化过程，需要用数学的眼光观察世界；对量进行分类，需要用数学的思维思考世界，创造性的使用“颜值”这个量，则体现用数学的语言表达世界，通过学生一步一步的思考，体现了章起始课的深刻性.