利用信息技术进行数学探究——以“一次函数的图象与性质”为例

蒋 跃

（安徽省淮北市袁庄实验学校）

函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，是中学数学的核心内容，函数知识具有高度的抽象性，对初中生来说是学习上的一大难点.一次函数的学习对学生形成函数思想，对后续函数的学习，对学生数学核心素养的提升，都是非常重要的.利用信息技术可以使抽象的学习内容形象化、直观化、动态化地呈现在学生面前，从而有效突破函数学习的难点.下面以泸科版《义务教育教科书·数学》八年级上册（以下统称“教材”）第十二章第2节“一次函数”（第2课时）“一次函数的图象与性质”的教学为例，谈谈如何利用信息技术进行数学探究，发展学生的几何直观，助力直观想象，提升数学核心素养.

一、由点成线，直观想象函数图象

一次函数的图象是一条直线，而线是由点组成的.教材通过描出五个点，并与正比例函数进行对比，得出一次函数的图象是一条直线.这样处理，学生或许能理解“一次函数的图象是一条直线”，但不一定信服.教学中，教师可以借助信息技术强大的数据处理和绘图功能，描出尽可能多的点，让学生通过观察，发现这些点组成了什么图形，然后通过直观想象，得出函数的图象，使学生信服一次函数的图象的确是一条直线.

例如，画一次函数y=2x+1的图象.

如图1，利用几何画板软件列表、描点，先描出6个点，让学生观察这些点所组成的图形.由于点的数目较少且分散，学生不易观察出这些点组成了什么图形，但应该能直观感知到这些点大致分布在一条直线上.

图1

如图2，增加点的数目，继续描点，观察这些点所组成的图形.随着点的数目增多，相邻两点之间的距离变小，点的密度变大，学生会直观认识到这些点可能会组成一条直线.

图2

如图3，增加点的数目，继续描点，再让学生观察这些点所组成的图形.随着点的数目增多，点越来越密，学生便可观察出这些点组成了一条直线.

图3

教师进一步追问：通过观察这些点组成的图形，你能想象出一次函数的图象是什么形状吗？

学生可直观想象出一次函数的图象是一条直线.

最后，教师总结：根据两点确定一条直线，画一次函数图象时，只要先描出两个点（一般选择两个特殊的点，即直线与坐标轴的两个交点），再过这两个点画直线就可以了.一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象叫做直线y=kx+b.

【设计意图】通过几何画板软件不断描点，增加点的数目，使这些点组成的图形越来越接近直线，易于学生直观感知一次函数图象的形状，有助于发展学生的几何直观，培养学生的直观想象能力.

二、数形结合，直观感受函数性质

史宁中教授曾说：数学知识的形成依赖于直观，数学知识的确定依赖于推理.也就是说，在多数情况下，数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的，所谓的“看”就是直觉判断.在探究一次函数的性质时，把点的坐标与点在平面直角坐标系中的位置相结合，让学生观察图形，通过直觉判断函数性质，然后再通过例子进行验证，有利于学生几何直观能力的发展.

仍以一次函数y=2x+1为例.教师提出如下问题.

问题1：如图4，观察图中的表格，随着自变量x的变化，函数y发生什么变化？

图4

学生不难看出，y随x的增大而增大.

问题2：观察函数的图象，从左向右，图象有什么变化？

学生可以看出，从左向右，此函数图象是上升的.

追问1：改变k(k＞0)的值，刚才得到的结论是否会发生变化？

此时教师留给学生思考的时间，然后找学生回答，最后教师利用几何画板软件演示验证.

追问2：如果k＜0，函数图象有什么性质？

学生回答过后，教师利用几何画板软件验证，最后师生总结得出一次函数的如下性质：当k＞0时，y随x的增大而增大，函数图象是自左向右上升的；当k＜0时，y随x的增大而减小，图象是自左向右下降的.

【设计意图】通过观察表格和函数图象，继续发展学生的几何直观，渗透数形结合思想.通过教师提问，学生思考并回答，提升学生的直观想象能力.

三、化静为动，直观体验图形变化

教材上的知识都是以静态的方式呈现的，而现实世界一个相对变化的、动态的世界，我们学习的知识也是如此.一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象会随着系数k，b的变化而变化，但传统的课堂教学是静态的，这使得学生习惯用静态的思维方式思考问题，从而造成学习上的困难.而利用信息技术，就能把研究对象动态的呈现出来，从而引起学生思维方式从静态向动态转变，用动态的思维想象函数的变化，突破学习难点.

问题3：一次函数y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的图象与系数k，b之间存在什么关系呢？

b的关系学生较好理解，因为当x=0时，y=b，所以b就是一次函数图象与y轴交点的纵坐标.因此b决定了一次函数图象与y轴交点的位置，b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距.而k与函数图象的关系比较复杂、抽象，学生难以理解.教师可以利用几何画板软件，把k用参数加以设置，然后通过k的连续变化，观察图象的变化，化静为动，直观体验图象的变化，如图5、图6所示.

图5

图6

通过动态演示，学生可直观体验到k的值与函数图象之间的关系，k的符号决定了函数图象自左向右是上升的还是下降的，即图象的倾斜方向；k的绝对值决定了函数图象是靠近x轴还是y轴，即图象的倾斜程度.

【设计意图】通过几何画板软件的动态演示，可以看出函数图象随着系数的变化情况，使抽象的研究对象形象化、动态化，增加学生的直观体验，发展学生的动态思维能力，提高学生的学习兴趣，突破知识难点.

问题4：一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=kx的图象有什么关系？

问题5：对于直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2，当k1，k2，b1，b2有什么关系时，两直线相交、平行、重合？

学生思考后回答，并试着说明理由.教师根据学生的回答情况进行及时点拨.可以从函数图象的角度进行直观想象，再从系数k，b与一次函数图象关系的角度进行说理，然后教师利用几何画板软件进行验证.

【设计意图】通过问题引发学生思考，发展学生的空间想象能力和逻辑思维水平，培养学生利用直观想象解决问题的能力，提升数学核心素养.

函数知识抽象性较强，而八年级学生抽象思维能力还比较弱，抽象思维还依赖于感性经验的支持，从而使学生的学习产生了困难.八年级学生已经具备一定的观察能力，能按照教学要求有意识地进行观察，但深入性不够，不能透过复杂的现象看本质.教师在设计教学活动时要考虑学生的认知特点，充分利用信息技术，创造性地设计教学活动，尽可能地把抽象的问题直观化、形象化、动态化地呈现给学生，为学生发现、探究和解决问题提供传统教学手段很难提供的学习和研究环境，促进信息技术与数学学科的融合，发展学生的几何直观，助力直观想象，提升学生的数学核心素养.