“怎样解题表”在解题教学中的运用

杨运标

（广东省东莞市中堂镇实验中学）

一直以来，不少教师在解题教学方面存在着弊端.有些教师在解题教学时总停留在简单的小结、归类上，缺乏数学思想上的归纳，讲解题目时只是说“我们这样解”，而不是说“为什么这样解，这样做经历了怎样的思考全过程”.我们要教学生学解题，这就不仅仅是解题教学，更不是纯粹的解题，关键是在于学生的“学”.解题不仅是求解，更是思维过程的揭示；解题不仅仅是寻找答案，更需要自觉分析；解题分析不仅仅是数学学习的方法，更是一种理念.

数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中给出了解题的思路，给出了程序化的解题系统.下面笔者就结合一道中考模拟题，来谈谈波利亚的“怎样解题表”在数学解题教学中的运用.

一、波利亚的“怎样解题表”

第一步：你必须弄清问题.

未知、已知、条件分别是什么？满足条件是否可能？要确定未知，条件充不充分？

第二步：找出已知数与未知数之间的联系.如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题.你应该最终得出一个求解的计划.

你以前见过它吗？你是否见过类似的问题？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能不能利用它？为了利用它，你是否应该引入某些辅助元素？你能不能重新或换个方法叙述这个问题？回到定义去.如果你不能解决所提出的问题，可以先解决一个与此有关的问题.你能不能想出一个更容易着手的有关问题？尝试弱化条件.这样对于未知数能确定到什么程度？

第三步：实行你的计划.

实现你的求解计划，检验每一步骤.你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？

第四步：验算所得到的解.

你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能不能一下子看出它来？你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？

二、对“怎样解题表”的理解

1.理清题意，学会审题

波利亚用一连串的自我提问表单来教我们如何正确审题，如何弄清问题.学会用数学语言或符号把问题重新叙述一遍，这是数学思想中的转化思想，目标是要写出形式化的数学表达式.

2.拟定计划，暴露解题分析的思维全过程

波利亚《怎样解题》一书中最精彩的就是在教我们如何解题，应该如何思维，且把思维的总过程呈现出来.在“怎样解题表”中用一系列的认知提问和元认知提问来剖析问题结构.例如，（1）回想：你是否见过相同的问题而形式稍有不同？（2）联想：看着问题，试想出一个具有相同性质的问题或相似情况的熟悉的问题.

我们教学生学解题，先要向学生暴露自己完整的思维过程，包括教师深入思考时所经历到的曲折或错误，让学生知道教师在遇到困难或阻力时是如何思考前进的，如何检验和修正方案的，这是一种解题分析的示范，有利于学生形成正确的解题观.

3.实现计划，规范书写过程

解题主体按照拟订的解题计划与程序，实施变换、运算、推理、作图，从而得到问题的解.在这一步骤中，波利亚提醒我们要注意运算的合理性，作图的准确性，逻辑推理的严密性，以及表达的条理性和规范性.

4.回顾反思，提升能力

波利亚的问题表单：你能否检验这个论证？你能一题多解吗？你能不能一下子看出它来？你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？可以看出这一步是解题的必要程序，体现了检验、回顾、引申、拓展的作用.

三、“怎样解题表”的实践研究

1.问题引入

题目如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(-1，0)，B(3，0)，C(6，4)三点.

（1）求此二次函数解析式和顶点D的坐标；

②若抛物线对称轴上点H到直线BC的距离等于点H到x轴的距离，则求出点H的坐标；

图1

2.根据波利亚“怎样解题表”进行解题分析

将上述题目的问题按照波利亚“怎样解题表”的四个步骤来进行分析.

（1）第（1）小题.

（2）第（2）小题第①问解题思路分析.

第一步：理清问题.

问题：求点E的坐标.

第二步：拟订计划.

第三步：实现计划.

整理得4x2-8x-12-21t=0.

第四步：回顾.

（3）第（2）小题第②问解题思路分析.

第一步：理清问题.

已知：抛物线对称轴上点H到直线BC的距离等于点H到x轴的距离.

未知：求出点H的坐标.

第二步：拟订计划.

如果你很难直接找到条件与问题之间的关联，就先考虑一些辅助问题，你是否知道与此有关的问题？求一个点的坐标常用方法是解析法和几何法.首先考虑几何法，如图2，由角平分线的性质可以构造一对全等三角形，但是等量关系较难建立起来，不知道如何列出方程，故暂不考虑几何法.

图2

利用解析法又该如何做呢？你能不能换一种方式重新表述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？根据到两边距离相等的点在它的角平分线上，联想到点H是∠ABC的平分线与抛物线对称轴的交点，我们已经知道了抛物线对称轴的方程为x=1，只要再知道∠ABC的平分线BH的解析式就可以了.

求直线表达式需要两个确定的点，所以除了已知的点B以外，还需要一个点.你是否知道与此有关的问题？知道一个可能用得上的定理？由角平分线联想到等腰三角形、三线合一，从而有中点，故创设辅助条件构造一个等腰三角形.明显△ABC不是等腰三角形，可求得BC=5.在x轴上取点R(-2，0)，则有RB=5.所以BC=RB=5.利用中位线定理或中点坐标公式可得其中点坐标(2，2)，该点就是BH上的确定点，从而问题得到突破.

第三步：实现计划.

简解：如图3，作∠ABC的平分线与对称轴x=1的交点即为点H.

在x轴上取点R(-2，0)，连接RC交∠ABC的平分线BH于点Q，则有RB=5.

易得△RBC是等腰三角形，可求得过点B，Q的一次函数解析式为y=-2x+6.

当x=1时，y=4.

故点H的坐标为(1，4).

图3

第四步：回顾.

留意到题目表达用词“直线BC”，而题图看起来是线段BC，这样会不会漏掉解呢？如图4，如果延长CB，作∠ABF的平分线BH2交对称轴于点H2，此时点H2也符合题意，所以前面的分析不完善.虽然前面的思考我们没有完全成功，但是我们已经找到突破口，而且求得一解了.考虑到一对邻补角的平分线互相垂直及图3已经求得的H1(1，4)，用相似的性质很快就可求得H2(1，-1).综上所述，点H的坐标是(1，4)或(1，-1).

图4

（4）第（3）小题解题思路分析.

第一步：理清问题.

问题：是否存在一个定值λ，使得CJ+λ∙EJ的最小值是 26.若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.

第二步：拟订计划.

第三步：实现计划.

理由如下.

如图5，在对称轴上取点K(1，3)，

又因为∠JIE=∠KIJ，

所以△IJE∽△IKJ.

则CJ+λ×EJ的最小值为 26.

图5

第四步：回顾.

反思归纳“阿氏圆”模型的一般解题模式步骤.

问题历史背景：“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A，B，则所有满足PA=k∙PB(k≠1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.

如图6，⊙O的半径为r，点A，B都在⊙O外，点P为⊙O上的动点，连接PA，PB，已知r=k∙OB，则当“PA+k∙PB”的值最小时，点P的位置如何确定？

图6

①类型：“PA+k∙PB”型最小值.

②特征：动点P在圆上运动.

③原理：两点之间线段最短；

三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.

④方法：等效法.

图7

从而有了“阿氏圆”数学模型一般化的解题步骤.

第一步：连线.将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接，即连接OP，OB.

第四步：求值.连接AC，与⊙O交点P即为取最小值时点P的位置，AC长即为最小值.

其实就是等效换边，把k∙PB转换成边PC，则PA+k∙PB=PA+PC，然后理解为定点A到动点P的距离加上动点P到定点C的距离，关键是要固定线段AC经过动点P所在圆，根据两点之间线段最短即可解决问题.

四、结束语

“怎样解题表”的自我提问表单是一种思路启发性的提问，而不是一种解题的固定模式，并非要涉及到表单中的每一个问题，而应该根据具体情况灵活运用，创造性地使用“怎样解题表”.不断地变换问题直至与已有的知识经验接轨，让问题变换到知识的最近发展区来，回到熟悉的问题上来.教师可以尝试用“怎样解题表”的自我提问表单进行解题教学，帮助学生在解题过程中理解题意、理清问题，进而找到问题解决的方法.并长期坚持下去，学生将逐步形成自己的提问表单，并在解题中加以应用，最终内化成一种能力，一种有效的思维模式.