学生不按运算法则解题，运算法则还要教吗？——以“解分式方程”为例看数学运算中的深度学习及其实践着力点

孙学东

（江苏省锡山高级中学实验学校）

在一次“数学深度学习”的研讨活动中，一节“解分式方程”的课引起了观课教师的广泛讨论.现还原课堂教学片断，并由此阐述数学运算中的深度学习及其实践着力点.

一、教学片断

教师出示问题：甲、乙两人加工同一种服装，乙每天比甲多加工1件，乙加工服装24件所用时间与甲加工服装20件所用时间相同.甲每天加工服装的件数为多少？

解法1：交叉相乘，原方程转化为20(x+1)=24x.

解法2：将方程两边同时乘以x(x+1)，去分母，得20(x+1)=24x.

师：同学们可以用五种不同的方法解这个分式方程，很棒！这些解法的原理不同，但基本思想是一致的，即将分式方程转化为整式方程.我们学过了解一元一次方程，分式方程的规范解法应该像上述解法2这样，用去分母的方法，将分式两边同时乘以最简公分母，从而转化为整式方程.

师：分式方程规范的解法是“方程两边同时乘以最简公分母”，否则容易出错或者使运算烦琐.

二、观课教师的争议

观课教师在议课时提出这样的现象：因为分式方程应该是初中阶段比较“怪”的方程，很多方法都可以获得它的根，所以不管怎么强调“方程两边同时乘以最简公分母以去分母”，不少学生还是采用交叉相乘或者通分后对照分子的方式进行计算.九年级学生在中考复习时更是经常采用此种方法（此时学生已经学习了一元二次方程，不担心化简后的整式方程不会解），忘记“分式方程要检验”的比比皆是.

有教师认为：分式方程既然有这么多种解法，学生实际求解时又大多不会按照规范解法来解题，那就不必强求一致，任他选用何种解法.

也有教师认为：分式方程的求解是有运算法则（步骤）的，课堂教学应该让学生总结法则并按照这个法则去解题，不能因为学生不按照法则解题，就不强调法则的重要性.

三、数学运算中的深度学习及其实践着力点

数学运算是我国数学教育的传统优势，基于深度学习的数学运算不仅是掌握运算法则、求得结果，更重要的是在具体的问题情境中培养学生探究运算方式、选择运算方法、设计运算程序的能力.上述五种解法真的只是根本思想相同而原理不同吗？同是交叉相乘，为什么前一个方程能解后一个方程就不能解了？先通分再对照分子进行计算的方法为什么不能作为规范解法？这几个问题不解决，学生只是被迫接受所谓的“规范解法”，过一段时间自然又回到原始解法，然后再被刺激强化进而掌握“规范解法”，这是典型的“只知其然，不求‘其’所以然”的行为主义教学观下的浅层学习.

数学深度学习是与强调机械记忆、反复操练的浅层学习相对的学习，它触及数学知识的底部和本质，探查数学知识间的相互关联，基于理解之上更多关照分析、评价与创造层面的高阶思维.笔者尝试从深度学习的视角对以上问题进行分析，并由此论述深度学习在数学运算中的实践着力点.

1.在深切体验中透析算理

从深度学习的视角看，运算能力指的不仅是学生会根据已有的法则、公式等正确地进行运算，而且是要理解运算的算理，能够根据题目条件寻求正确的运算途径.学生习惯于使用原始思维中产生的解法，而不愿意接受（或并不在意）所谓的“规范解法”，其原因多在于不理解自己的原始解法与规范解法的内部联系与差异.

解法3，4，5的本质都是将分式通分.解法4是转化为同分子方程，解法3，5是转化为同分母方程.化为同分子时对照分母，其实质依然是方程两边同时乘以两个（所有）分母的积，所以会出现高于一次的整式方程.另外，分子相同时，分母不一定就相同.

将方程左右两边分别通分，得

由于分子相同，对照分母，得

化简，得45=48.

所以该方程无解.

事实上，相同的分子2x-14为0时，即是该方程的解.化为同分母对照分子的实质与“方程两边同时乘以最简公分母以去分母”是一致的，但过程中分母一直保留着，化分式方程为整式方程的意识未及时体现，不如一开始就按照法则去分母.

明确运算原理是发展学生运算能力的重要途径，要鼓励学生多思考和比较不同运算的本质，即思考：这样做可行的依据是什么？另外的情境下为什么又不行了？它们与“规范解法”有什么异同？学生只有在深度学习的过程中深化对算理的理解，增强掌握正确运算方法的自觉性，才能减少盲目的运算，运算能力才能获得真实的发展.

2.在深刻理解中提炼算法

数学运算法则课的价值正在于经历法则的提炼过程，感受法则程序性解决问题中所蕴含的思维价值.从数学解题的角度看“规范解法”以外的四种解法，它们有策略上的价值，但从数学新知识学习的角度看，它们并不具备教学上的意义.因为，即便不学这节课，学生也会用这些不具一般意义的方法解题，数学运算法则课的课堂学习价值并未得到彰显.

初中数学的每一种运算，对于学生而言都包含新、旧两部分内容.例如，通过“方程两边同乘最简公分母”将分式方程化为整式方程，这个转化的过程是解分式方程的新知识，而解整式方程则是已有知识.触及知识内容的底部与核心是深度学习的本质特征，于深度学习而言，初学分式方程的重点应该集中在理解由新运算到旧运算的转化过程，进而掌握新运算的法则.前面案例的教学中，教师鼓励学生运用多种方法解分式方程，这些解法形式上的共同之处在于将分式方程转化为整式方程，不同之处在于各自转化的途径.学生在其后练习中的困惑恰恰在于“这些原本有道理的方法为什么不适用了？为什么一定要用规范的解法？”，如此看来前述案例教学中教师对重点方向的把握是正确的，但是对于解法中各种途径的比较，尤其是途径间的内部联系并没有凸显出来.在解法的比较中，发现其他解法与规范解法的本质联系，突出规范解法的优势，这是在深刻理解中提炼算法的关键.

学生解分式方程常会忘了验根，并认为这和整式方程的验算是一样的，只不过是为了提高解方程的准确性.为了使学生确信验根是解分式方程中必不可少的一步，需要学生深刻理解“方程两边同乘值为0的代数式便会产生增根”.不妨举例：在方程x-2=0的两边同时乘以x，得到x(x-2)=0.若x≠0，则方程的根仍是x=2；若x=0，则x=2和x=0都是方程的根，方程解的范围扩大了，产生了增根.

深度学习是基于核心知识本质的有意义学习，提炼运算法则的过程如果不只是机械记忆和反复操练，而是牢固的建立在深刻理解的基础上，就容易培养学生数学运算的核心素养，进而也就容易迁移到解决现实问题中.

3.在深入思维中优化策略

运算能力不仅是一种数学操作能力，还是一种数学思维能力，不仅要知道“怎么算”，还要知道“为什么这样算，而不能那样算”，更重要的是要知道“怎么算更简便”.“怎么算更简便”就是对算法的优化和选择.例如，将含有分母的一元一次方程整理为整系数方程会使运算简便；解一元二次方程，何时用配方法，何时用公式法等.这些策略是对数学运算的经验总结，对提高运算能力有帮助.运算策略的优化需要学生在解决问题的过程中进行自我建构.

分式方程的应用中常见这样的问题：某项工程要在规定的期限内完成，甲队单独做正好能够按期完成，乙队单独做则需要延期3天完成；现在这两个队合作2天后，再由乙队单独做，也正好按期完成.问规定的期限天数是多少？

事实上，①②③这三步不仅是解分式方程的过程，也是对问题情境不断深入理解的过程，不同的求解过程对应了不同的等量关系和方程（如下图），运算过程也有了实际意义和依据.

从深度学习的角度来看，数学运算能力的发展绝不能止于规范的算得准、算得快，或掌握所谓的运算技巧，而应该在不断解决问题的过程中深入思考以自我建构最优策略，并转化为学生自己的运算经验.如此，学生的数学运算能力才能稳定发展，并长期发挥作用.

在深切体验中透析算理，在深刻理解中提炼算法是数学运算法则教学的关键，也是通过数学运算的学习发展学生深度学习能力的价值所在.在深入观察运算对象的结构特征后，学生完全可以“从心所欲而不逾矩”，这是数学运算素养形成的表现，也是深度学习在数学运算中所要达成的终极目标.