“二次根式的加减”（第1课时）教学设计及评析

于 彬，张俊连

（山东省东营市胜利第六中学；山东省东营市胜利教育管理中心教学研究室）

2017年6月，笔者有幸参加了山东省东营市胜利教育管理中心优质课评选活动，执教课题是“二次根式的加减”（第1课时），获得了评委和听课教师的一致好评.本文呈现该课例的教学设计并进行简单评析，不当之处，敬请指正.

一、教学设计

1.内容和内容解析

（1）内容.

本节内容节选自人教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）八年级下册第十六章“二次根式”第3节“二次根式的加减”（第1课时）.

（2）内容解析.

本节内容主要涉及2～4个二次根式的加减运算.学生已经学习过有理数、整式、分式的加减运算，以及二次根式的乘除运算，教学中要注意引导学生进行相关的类比.本节课为后续学习二次根式的混合运算、勾股定理、一元二次方程，以及进入高中后学习其他类型“式”的运算提供了学习思路和研究方法.因此，本节课的教学内容在教材中起着承上启下的重要作用.

与分式的运算一样，二次根式的乘除运算比加减运算简单.乘除运算可以直接利用运算法则或性质进行运算，而加减运算则需要先化简，再合并被开方数相同的二次根式，于是本节课的教学重点是应用分配律进行二次根式的加减运算.

2.目标和目标解析

（1）目标.

①了解“被开方数相同的二次根式”的意义；

②掌握二次根式加减的运算法则、一般步骤，以及相关运算依据；

③在问题解决过程中体验成功的乐趣，养成良好的质疑精神和反思意识，并进一步体会研究“式”的一般方法.

（2）目标解析.

达成目标①的标志是：明确判断两个二次根式的被开方数是否相同的前提是先将两个二次根式化为最简二次根式.

达成目标②的标志是：首先能进行具体的二次根式的运算，其次要知道二次根式的加减运算是先化简二次根式，然后判断被开方数是否相同，再进行合并，并能说出运算依据.

达成目标③的标志是：在学习中能够主动将二次根式的加减运算与前面学习的数式运算进行类比，最好明确相同点与不同点.

3.教学问题诊断分析

4.教学过程设计

为了便于说明，首先给出本节课的主要教学环节，如图1所示.

图1

（1）复习交流，疑点反思.

在此环节，教师引导学生按照如图2所示的流程图思考.

图2

说明：在课堂教学中按照所标序号渐次呈现，当出现序号⑤时出示本节课的课题和学习目标.

【设计意图】《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）在“教材编写建议”中指出：呈现内容的素材应贴近学生现实，并认为学生的现实主要包含三个方面，即生活现实，数学现实，其他学科现实.本节课，教师在开课之初以数学现实的形式引入新课，意在帮助学生构建完整的知识体系，同时引导学生体会学习“式（二次根式）”的基本思路，即定义→性质→运算，为后续学习其他类似知识做好铺垫.

（2）尝试解疑，问题反思.

问题1：化简下列四组二次根式.（如果没有特殊说明，所有的字母都表示正数.）

反思1：上述四组二次根式化简后，每组内的二次根式有什么共同特点？

【设计意图】学生对二次根式的加减掌握的情况如何，取决于对任意一个二次根式化为最简二次根式的掌握情况.因此，此环节对教材例、习题中出现的二次根式进行了分组，一是为了引导学生得出“被开方数相同的二次根式”这一概念，二是为后续进行正确的二次根式的加减运算打下坚实的基础.此外，在此处，教师可以追问一句：这一概念与我们前面学习过的哪个概念类似？

（3）揭示规律，达成反思.

问题2：如果从上面的16个二次根式中任取两个进行加法运算，会出现几种情况？

图3

反思2：试总结二次根式加减运算的一般步骤.你知道上述运算过程中每一步的运算依据吗？

预设：每一步的运算依据分别是二次根式的性质、分配律、整式的加减法则；二次根式加减运算的一般步骤为：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.简记为：一化简，二判断，三合并.

【设计意图】问题2意在问题1的基础上进一步培养学生提出问题和发现问题的能力，实现《标准》所提倡的“两能”（即分析问题、解决问题）的基础上向“四能”（提出问题、发现问题、分析问题、解决问题）的突破.通过反思2使学生进行深度思考，做到不但会算，还要明晰算理.同时，引导学生初步体会二次根式加减与整式加减之间的区别与联系.

（4）解决问题，应用反思.

【设计意图】通过例1规范学生的解题步骤.第（1）小题是在引例（加法）的基础上引入减法运算；第（2）小题加法运算中含有字母.引例与例1的两道小题逐层递进，较好地实现了例题的功能.此外，通过练习1进一步加深学生对所学知识的认识，引导学生板演，进一步规范学生的解题步骤.

反思3：比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？

（5）变式训练，方法反思.

练习2：现有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板，能否采用如图4所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别为8 dm2和18 dm2的正方形木板？

图4

（1）直接写出截出的两个正方形的边长：____，__；（需要化简.）

（2）教材上指出“显然木板够宽”，怎么理解？

（3）教材上建议考虑“木板是否够长”，怎么理解？

（4）如果不用计算器，你能否用更精确的方法解决问题？

【设计意图】这个情境问题来源于教材二次根式加减法的情境创设，从前面的引入部分来看，没有通过生活现实引入新课，所以把这个生活情境放到了这一环节，并提出了四个小问题，有序引导学生思考问题.

（6）达标检测，总结反思.

达标检测：

（2）如图5，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是8π和18π，则圆环的宽度d=______.

图5

【设计意图】此环节留给学生6分钟时间完成达标检测题，完成后同桌之间交换，对照答案相互批改，批改后教师利用实物投影仪投影部分学生的完成情况，并对出错问题进行重点讲解.

总结反思：①知识；②思想（类比）；③有待继续研究什么？（补充后的流程图如图6所示.）

图6

【设计意图】此环节与开课之初相对应，进一步帮助学生构建知识网络，以及研究问题的基本思路.在此基础上，引导学生养成良好的预习习惯，做到在下一节新课学习时“心中有数”.

此时，教师播放微视频：数式“加减乘除”运算大家族.（扫描本文标题上方二维码即可见.）

【设计意图】通过观看微视频进一步加深学生对所学知识的认识，培养其数学学习兴趣，感知“数学是一步一步向上走的”，同时对学科育人理念做出初步的尝试.

5.作业设计

（1）必做题：教材第15页习题16.3第2题和第3题.

（2）选做题：

①从“问题1”中的16个二次根式中选择2～4个二次根式自编二次根式加减运算的练习题（可以加括号），并给出问题的答案.

②尝试计算：

【设计意图】通过分层作业的设置，对不同的学生提出不同的要求，践行《标准》提出的“让不同的学生在数学上得到不同的发展”.特别是选做题的设计，一是为培养学生养成良好的数学学习兴趣做出一定的努力；二是为下节课的学习做好铺垫，再次引导学生做好预习.

6.板书设计

略.

【设计意图】板书作为传统的教学媒体在教学过程中发挥着新兴教学媒体所不可替代的作用.在板书设计时，力求做到结构清晰，重点突出，便于学生课上记录和课下复习.

二、本课评析

1.三条主线：一明一暗一反思

数学课堂教学应该像散文一样做到“形散而神不散”，每个教学环节看似分开，实则环环相扣、浑然一体，为突破本节课教学的重点和难点服务.要实现上述要求，教师在课前设计中应该做到教学主线清晰，而且要做到主线之间并行不悖.本课例在设计中就做到了“一明一暗一反思”三条主线同时存在，而且层次清晰、并行不悖.

（1）一条明线：16个二次根式.

二次根式的加减是以二次根式的化简为基础的，因此在课堂教学中为了更好地实现教学目标设计了问题1.问题1中的16个二次根式来自于教材中的例题和习题，这样为学生后续更好地进行二次根式的加减运算做好了铺垫，同时又实现了引出“被开方数相同的二次根式”这一说法的目的，可以说是一箭双雕.此外，这样的设计通过16个二次根式把一节课中的例、习题，以及课后作业的设计（选做题①）串在了一起，使各个教学环节之间紧密的联系在一起，很好地实现了最初的预设效果.

（2）一条暗线：类比思想的渗透.

《标准》在原来“双基”（基础知识和基本技能）的基础上提出了“四基”，增加了基本思想、基本活动经验，本课例在设计和实施过程中注重了对数学思想（类比）的渗透，在“授之以鱼”的基础上“授之以渔”，为促进学生实现良好的学科素养做出了一定的努力.诚然，数学思想的渗透是一个长期的过程，不是一节课就可以做到的，因此需要一线教师在教学过程中做到持之以恒，为数学思想的渗透以及学科素养的提高贡献一份自己的力量.

（3）一条反思线：6个反思环节，3个反思问题.

反思是对自己认知的再认知.良好的反思习惯可以让学生时时刻刻都回头看看自己最初的所思所想，并能根据自己的实际情况及时调整学习思路.本课例设计了6个反思环节（疑点反思，问题反思，达成反思，应用反思，方法反思，总结反思）对应着课堂教学中的方方面面；此外还设计了3个显性反思（反思1、反思2、反思3）帮助学生构建知识体系、梳理知识网络.这样的设计很好地突破了课堂教学的重点和难点，并且做到了时时总结、时时反思.

2.三次类比：一浅一深一高潮

通过课例及上文的介绍可以看出对数学思想“类比”的渗透，本课例在实际教学中主要设计了三个类比环节.

（1）与同类项进行类比.

在反思1引导学生得出“被开方数相同”的二次根式这一概念以后，教师没有着急进行下一个教学环节，而是提出一个看似不经意的追问“这一概念与我们前面学习过的哪个概念有点类似？”，教师这样做是让学生将新知和旧知产生联系，降低学生的陌生感，为后续教学打好基础.

（2）与整式的加减进行类比.

在本课例中这一“类比”表现的尤为突出，这主要体现在课堂教学中的第三个教学环节（揭示规律，达成反思），以及与之对应的板书设计，这里可以认为是一种浅层次的对比；在第四个教学环节（解决问题，应用反思）中以反思3的形式提出，再次引导学生进行类比，可以认为是一种深层次的类比，可以看出上述两次类比由浅入深，但都突出表现了类比的原因，即做到了类比有据，给第三次类比埋下伏笔.

（3）与二次根式的乘法进行类比.

3.三轮重构：一课一章一整体

本课例从最初的设计到最后的正式上课，以及每次上课后的修改，经历了很多次讨论，至少突出表现为前后三次比较大的改动，而这“三轮重构”正好是教学理念的转变，实现了从“一课”到“一章”到“整体”的积极转变.以最终呈现在大家面前的课例为例，可以看出最后的教学设计立足全局，面向整体.无论是开课之初，还是最后的课堂小结都在灌输“定义→性质→运算”这一研究“数与式”问题的基本思路，特别是总结环节的微视频，更是将学生的思考引向了深处，实现了落实学科育人，以及核心素养落地的双重目标.

对一节课的设计和评价是仁者见仁、智者见智的，我们针对该课例给出的设计和评价也是初步的，欢迎更多的一线教师和教研组积极参与进来，开展“同课异构”活动，从而实现课堂教学的百花齐放.