在解题教学中发展学生的直观想象素养

朱敏龙

（江苏省南京市第二十九中学初中部）

解题教学是数学教学的重要组成部分，解题能力是学生综合运用所学数学概念、定理、公式、结论等对问题进行分析和解决的能力.直观想象素养是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的素养.在解题教学活动中，发展学生的直观想象核心素养，有利于学生建立数学直观，增强运用图形和空间想象思考问题的意识；有利于学生体会数学内部知识之间的联系，形成借助图形和空间进行分析、推理或论证的习惯；有利于学生感悟数学的本质，提升数形结合思想和创新思维的能力.

一、在解题教学中发展直观想象素养的途径

1.通过直观模型的构建发展学生的直观想象素养

前苏联著名数学家A.N.柯尔莫戈罗夫说：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化……几何想象，或如同平常人们所说的几何直觉，对于几乎所有数学分科的研究工作，甚至对于最抽象的工作，有着重大的意义.”在初中阶段，许多重要的代数概念和内容既有数的特点，也有形的特征.在解决一些代数问题的过程中，如果教师能经常引导学生抓住代数概念或内容的形的特征，构建学生的几何直观，从而去寻找解决问题的思路，那么不仅增加了解题的方法，也培养了学生的直观想象能力.

分析：两个无理数的大小比较，一般我们会采用多种代数方法进行教学，以发展学生的数感.

解法1：平方法——比较两个正数的平方数的大小.

解法2：找中间值法——通过估算比较大小.

以上两种解法都是把比较无理数的大小转化为有理数的大小进行比较，技巧性较强.若联想到学习“实数”时，利用数形结合思想曾学习“无理数可以用数轴上的点来表示”的方法，则借助数轴可以直观比较它们的大小.

图1

其实，利用数轴上的点表示无理数，其本质就是用勾股定理构造直角三角形.按照这样的启发，由“数”联想到“形”，我们可以得出下面的方法.

解法4：利用勾股定理构造直角三角形比较大小.

图2

2.通过问题多元的表征发展学生的直观想象素养

直观是从感觉的具体的对象背后，发现抽象的、理想的能力.这里的“抽象能力”是指对具体研究对象内部表征的揭示与描述，而“理想能力”则是指不同表征间的互译转换而引发直观想象经验水平的迁移.因此，几何直观应该是对空间领域某一学习对象进行符号化或符号集的多元表征，显化其多元属性的概括、综合、特殊化及一般化思想等内源性活动.这就要求教师在解题教学中要有正确的问题研究观，不止于结果，更在于过程性表征多元关系，方能让学生的直观想象素养在教学中动态提升.在数学解题教学中，通过对问题进行多元化的表征，为学生解决数学问题提供了新的平台，一题多解有助于加深学生对数学知识的理解，提高学生对问题多角度的解释能力和创新能力，有利于促进学生数学智慧的生长和直观想象素养的提升.

案例2：如图3，河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长DF=3 m，沿BD方向前进到达点F处测得自己的影长FG=4 m.设小丽的身高为1.6 m，求灯杆AB的高度.（选自苏科版《义务教育教科书·数学》九年级下册“6.7用相似三角形解决问题”的例题.）

图3

分析：《义务教育数学课程标准（2011年版）》要求学生“会利用图形的相似解决一些简单的实际问题”，本例题的设置主要是构建两个时刻的中心投影数学模型，利用相似三角形的有关知识来解决这一实际问题.教师讲解时要引导学生做到：正确建构数学模型，准确找到等量关系，规范证明过程，注意科学说理.同时，渗透用方程解决问题的数学思想.

由△ABF∽△CDF，且CD，DF是已知量，可以得出AB与BF（BD）之间的一个关系式；由△ABG∽△EFG，且EF，FG是已知量，可以得出AB与BG（BD）之间的又一个关系式.这样，根据这两个关系式可以求得BD和AB.

解法1：在Rt△ABF和Rt△CDF中，因为∠ABF=∠CDF=90°，∠AFB=∠CFD，

所以△ABF∽△CDF.

类似地，可得△ABG∽△EFG.

答：灯杆AB高6.4 m.

作为本节课的解题目标，解法1把实际问题抽象成相似三角形问题，再用相似形的知识解决问题，体现了数学的应用价值.但此题作为“6.7用相似三角形解决问题”的例题，学生自然想到是用相似三角形的知识来解决，这样问题的解法指向太明确，所以分析过程中其实没有实质性的数学思维含量.教师若追问“你还能用学过的其他数学知识或方法来解决吗？”，引导学生回忆直线是一次函数的图象，运用一次函数的知识也可以解决此题.这样既启发学生一题多解的意识，也有利于学生体会数学内部知识之间的联系.

解法2：如图4，以点G为坐标原点，GB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.

图4

由题意，得点G，E，F，C的坐标分别为G(0，0)，E(4，1.6)，F(4，0)，C(7，1.6).

于是，灯杆AB的高度为6.4 m.

3.通过数形结合的分析发展学生的直观想象素养

荷兰数学家费赖登塔尔提出：学习数学唯一正确的方法是实行再创造.因此，在解题教学中，教师要培养学生有意识地将“数”的问题用“形”来直观描述，以“形”究“数”；要将“形”的问题转化为代数问题来处理，以“数”论“形”，真正达到数由形定，形定而数性不变.把抽象的数学问题通过直观几何图形的刻画来寻找解决问题的策略，体现了数学学习的内在联系，推动了学生数学解题能力的提升和数学直观想象素养的发展.

分析：此题是一个环形跑道上的追及问题，蕴含的主要相等关系是“小红和爷爷所跑的路程差等于环形跑道的周长”，即小红跑的路程-爷爷跑的路程=400 m.

可以列出如下表格.

时间/min爷爷小红速度 /（m · min-1）x 53x 5 5路程/m 5x 5×53x

也可画如图5所示的线形示意图.

图5

根据上面表格、线形示意图可以列出方程.

解得x=120.

答：小红跑步的速度为200 m/min，爷爷跑步的速度为120 m/min.

在用方程解决问题的教学中，不要以题型分类（如行程问题、工程问题等）让学生记下一些公式去套用，应强调对实际问题的数量关系的分析，突出解决问题的策略，特别要注意借助图表、示意图整体把握和分析题意，寻找相等关系.本解题教学的重点是利用线形示意图来分析实际问题中的数量关系.在问题分析中，首先让学生尝试寻找问题中数量之间的相等关系，再提出问题“如何把问题中的相等关系的分析过程直观地展示出来？”，教师再借助学生画的线形示意图进行分析，让学生感受到利用线形示意图分析实际问题的优越性.解题反思环节教师再提出问题“借助线形示意图分析问题有什么好处？”，进一步让学生明确利用线形示意图分析这类问题清楚且直观，让学生逐步学会这种直观想象分析问题的策略.

教学中要为学生提供足够的探索和交流的空间，引导学生画出线形示意图（此题也可以用环形图表达），鼓励学生多采用尝试、猜想、验证的方法去解决问题.线性示意图通常可以画成直线图或曲线图，用线段的长或者曲线的长来表示某些量，并根据这些线段或曲线的长度关系列出方程.许多实际问题中数量之间的关系都可以用线性示意图来表达，通过数形结合的分析来解决问题是帮助学生建立直观想象的有效途径.

二、在解题教学中发展直观想象素养的教学启示

1.教的启发——认识意义、挖掘资源、追求价值

直观是指通过对客观事物的直接接触而获得的感性认识.几何直观主要是指借助见到的（或想象出来的）几何图形对数学问题进行直接感知、描述分析和整体把握的能力.想象是指在头脑中对已有表象进行加工、改造、重新组合，形成新形象的心理过程.空间想象力是对客观事物的空间形式进行观察、分析、认知的抽象思维能力.由此可见，直观是有情境的直接感知，想象是没有背景的抽象概括，而数学中的推理体现在利用几何直观，再想象图形.因此，培养学生的直观想象素养是数学教学的主要内容之一，具有重要的教育意义.

直观想象能利用图形描述数学问题，直观地反映分析问题的思路，是理解数学的有效渠道.利用直观想象表征数学概念、性质，以及分析、解决数学问题是数学解题中最常用的、最有效的方法之一.因此，教师在解题教学中要挖掘教材例、习题等各种资源的教学功能，精心设计能借助直观想象构建图形进行思考的典型案例；要有意识地让学生经历动手操作、图形制作的过程，培养学生用直观想象探索和形成论证思路、进行逻辑推理的习惯，从而为学生直观想象素养的培养提供保障.

我们知道，数学家常常借助直观想象力求把他们研究的数学问题尽量变成直观问题，从而通过图形的直感，开启想象发现的思路，成为数学发现的向导.从数学证明上看，直观想象常常能提供证明的思路和技巧，有时严密的逻辑推理就是直观思考下的数学加工.从创造力来看，直观想象能引出数学发明，能决定理论的形式和研究方向.直观想象不是教出来的，而是学生自己悟出来的，这就需要经验的积累.教师在解题教学中要注重问题分析，引导学生在长期的观察和思考等数学活动中积累自己的直观想象经验，形成灵感和顿悟.因此，在解题教学中保护学生直观想象的潜能、提升学生的直观想象水平、培养学生的直观想象素养应成为数学教育一个重要的价值追求.

2.学的启示——会读图画图，会联想想象，会数形结合

一些数学问题很难用语言解释，直观的图形能为学生思考提供有效的工具.但是学生如果读不懂图形，就谈不上用图形来思考问题，更不可能实现直观想象的形成.会读图就是能从数学的角度去观察图形，从中获取一些直观性的数学信息，并能用数学语言简练、清晰地表述.画图是培养学生直观想象能力的重要环节.在实际解题中，由于学生的知识经验和思维水平的限制，头脑中难以形成较为准确的直观图形，教师可引导学生先将有些数学信息以自己喜欢的形式画下来.例如，案例3中，在七年级用一元一次方程解决问题的解题教学中，可以让学生根据题意选择画直线形、圆形或柱形示意图来寻找相等关系.在画图的基础上，引导学生将题中的数量关系与图形的直观意义对应起来.接着，再进一步结合图形，挖掘题中蕴含的数学关系，找到解题思路.在此过程中，当图形和题意有机结合时，可以使原本枯燥的数学变得形象直观，很多的问题就会水到渠成、迎刃而解.这样的解题教学，使学生学会的不仅是画图的方法，而且还培养了学生画图的意识.经常利用图形描述文字信息，利用直观表征抽象的数学概念，有助于学生积累丰富的直观想象经验.

联想想象可进一步拓展学生直观想象空间，是发展学生直观想象素养的重要手段.在学生根据题意画好图后，不仅要让学生体验画图“化抽象为直观”“化模糊为清晰”的目的，而且要引导学生能根据图中的有关信息去展开联想、想象，进行思考推理，发现解决问题的方法和结果.解题教学的回顾反思也是一种联想想象，这个环节是不能缺少的，要让学生通过回顾解题的学习过程，逐步形成运用直观想象的习惯，从而使直观想象内化成一种思维方式.

数学是研究数量关系和空间形式的科学.华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微.由此可以看出，数学关注的基本对象是数与形，解题教学时要重视数与形的有机结合.例如，案例1中，可以在数轴上找到实数的位置，可以通过勾股定理构建无理数的几何图形意义；案例2中，可借助平面直角坐标系中的函数图象寻找解题思路，利用“数”构“形”，再由“形”找“数”的关系，把抽象的数学知识和直观平面图形紧密联系在一起，从而发现不同的解题方法，发展思维能力.因此，在解题教学中，要充分利用数形结合这一方式，引导学生分析题意，深化理解，这样既体现出数学学习的内在联系，也进一步提升学生的数形结合能力，发展学生的直观想象素养.