圆锥曲线中一类定点问题的探究

广东省佛山市高明区纪念中学(528500) 孟 弦

一、问题呈现

下面提供的是2018年全国高考卷(新课标I理科)第19题题目:

(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;

(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.证明过程从略.在上述解答过程中发现,题目已知的椭圆外的点M恰好使得斜率之和为零,笔者不禁想问,推广到一般情况时,要使kMA+kMB=0成立,这个点M坐标与椭圆的长半轴长,短半轴长,焦半径有怎样的关系;如果推广到其他圆锥曲线,是否会有类似的结论;当直线AB是不过焦点的直线时,是否存在一个点M,使得斜率之和依然为定值等等.

一、探究过程

探究1设椭圆的右焦点为F,过点F的直线l与C交于A,B两点.则在x轴上是否存在一点M使kMA+kMB=0恒成立.

有关如上问题,笔者从文献[1]中了解到有下列性质.

结论1设椭圆的右焦点为F,过点F的直线l与C交于A,B两点.则在x轴上存在点使kMA+kMB=0恒成立.

结论2设双曲线的右焦点为F,过点F的直线l与C交于A,B两点.则在x轴上存在点使kMA+kMB=0恒成立.

结论3设抛物线C:y2=2px(p＞0)的焦点为F,过点F的直线l与C交于A,B两点.则在x轴上存在点使kMA+kMB=0恒成立.

上述三个结论中的条件具有限制性,比如直线l要过焦点F,点M在x轴上.当进一步一般化时,会有下列性质.其证明可参阅文[2].

结论4过定点P(t,0)(t/=0,t/=a)的直线l与双曲线C:交于A,B两点.则存在点使得直线MA与MB的斜率之和为定值

结论5过定点P(t,0)(t/=0,t/=a)的直线l与椭圆C:交于A,B两点.则存在点使得直线MA与MB的斜率之和为定值

结论6过定点P(t,0)(t/=0)的直线l与抛物线C:y2=2px(p＞0)交于A,B两点.则存在点M(-t,n)(n∈R),使得直线MA与MB的斜率之和为定值

数学中有逆命题的概念,这种思想应用到结论4上,会有漂亮结果出现吗?

探究2已知双曲线C:过平面内不在双曲线C上任一点M(x0,y0)(x0/=0,y0/=0)作两条直线l1和l2,分别交双曲线C于A,B两点和D,E两点,两直线的斜率满足则直线AD,BE,AE,BD是否过定点,如果有定点求出其坐标.

证明不妨先证明直线AD过定点.当直线AD的斜率不为0时,设直线AD的方程为x=µy+t,设A(x1,y1),D(x2,y2).联立方程得所以即由韦达定理得

所以

当直线AD的斜率为0时,设直线AD的方程为y=m,设A(x1,m),D(x2,m).联立直线和双曲线方程可得由韦达定理得x1+x2=0,x1x2=则化简可得即直线AD的方程为则直线恒过定点

结论7已知双曲线过平面内不在双曲线C上任一点M(x0,y0)(x0/=0,y0/=0)作两条直线l1和l2,分别交双曲线C于A,B两点和D,E两点,两直线的斜率满足则直线AD和直线BE恒过同一定点,直线AE和直线BD恒过同一定点,这两个定点的坐标为和

双曲线有如此完美定点,椭圆和抛物线是否也有类似的结论呢?笔者通过探究,得到如下结论,探索方法与上面类似,过程省略.

结论8已知椭圆过平面内不在椭圆C上任一点M(x0,y0)(x0/=0,y0/=0)作两条直线l1和l2,分别交椭圆C于A,B两点和D,E两点,两直线的斜率满足则直线AD和直线BE恒过同一定点,直线AE和直线BD恒过同一定点,这两个定点的坐标为和

结论9已知抛物线C:y2=2px(p＞0),过平面内不在抛物线C上任一点M(x0,y0)(x0/=0,y0/=0)作两条直线l1和l2,分别交抛物线C于A,B两点和D,E两点,两直线的斜率满足则直线AD和直线BE恒过同一定点,直线AE和直线BD恒过同一定点,这两个定点的坐标为(-x0,0)和