一次函数图像中行程问题的新解法

何贻勇

【摘要】本文就2018年重庆中考数学试题A卷中18题一次函数图像行程问题为例，做出了通性通解方法的介绍，提出了教学中应注意的几点建议.

【关键词】一次函数圖像;行程问题;线段示意图

学生解答这一问题时，一是不能明确运动对象的总过程与函数图像之间的关系，即读不懂图像中的已知点、交点、拐点、变化趋势等，从而不能清晰地分析出速度、时间、路程的关系;二是超大的信息量，让学生难以从图像中调取有效信息解决问题;三是学生画本文的线段分解示意图操作不熟练.

题目 （2018年重庆A卷）A，B两地相距的路程为240米，甲、乙两车沿同一线路从A地出发到B地，分别以一定的速度匀速行驶，甲车先出发40分钟后，乙车才出发，途中乙车发生故障，修车耗时20分钟，随后，乙车车速比发生故障前减少了10千米/时（仍保持匀速前行），甲、乙两车同时到达B地.甲、乙两车同时到达B地，甲、乙两车相距的路程y（千米）与甲车行驶时间x（小时）之间的关系如图所示，求乙车修好时，甲车据B地还有千米.

解析 本题是一道“单线”型问题，甲、乙两车的运动速度有变化，读懂图像中的每一个关键点，将题干中描述的运动过程与图像匹配起来非常关键，但是由于要记忆和理解的信息量比较多，整个思考过程较为抽象，因此，本题采取画线段分解示意图的办法进行解决.

操作步骤：第一步审题，粗读问题大“环境”，用不同的符号标注题干中的已知量、未知量、数量关系，细读整个过程的叙述，横纵坐标轴的实际意义，图文结合读取关键点（已知点、交点、拐点）的意义，明确每一段折线段所对应的过程及结论的目标待求式，本题的目标待求式为甲的速度与最后一个运动过程的时间的乘积.第二步提取相关的已知数据和二级结论，根据题干信息就可以标注横轴、纵轴上的部分已知量，能直接提取的数据是过程①中甲的速度为：v甲=（30-0）÷23-0=45（千米/时），但不能直接计算出结果.第三步画线段分解示意图，若第一、二步的分析过程较为抽象复杂，难以理清关系进行计算，即可根据初步的审题和判断尝试将每一个过程所对应的线段示意图画出来，如下图，图像中每一折线段标记为一个过程，然后在示意图上相对应地批注好序号，甲的线段用实线箭头表示，乙的用虚线箭头表示，每一个过程的起始位置就是上一个过程的结束位置.第四步计算，过程①、②的数据较为集中，即可求出乙的速度，从数据较集中的地方突破切入，再根据每个小过程的数据顺势逆推或顺推其他信息以求解答，在解答过程中可以将每一步计算操作标注在过程旁边.第五步检验，检查计算结果是否正确和符合题意.

计算任务操作1：由过程①得，v甲=30-023-0=45（千米/时）

计算任务操作2：由过程②得，v乙-v甲=30-102-23=15（千米/时）

所以，v乙=60千米/时，v乙′=50（千米/时）

计算任务操作3：由全过程得t甲=24045=163（小时）

计算任务操作4：设过程⑥的时间为t时，则由过程④⑤⑥的路程关系得（50-45）t=45163-223-t-60163-223-13-t

解得t=2.

计算任务操作5：由过程⑥得，甲车距B地还有45×2=90（千米）.

综上所述，线段分解示意图的方法的优势在于将每一段折线段所表示的一种变化规律的过程单独呈现出来便于理解，又能迅速地捕捉其中的小过程之间路程数量关系（上下平移线段）以及每一个过程内的时间永恒相等关系，在解题时既可以从小过程对集中的数据进行局部分析，也可以从全过程对零散的数据进行整体分析，甚至根据题意还可增添“子过程”辅助解答问题.如何快速地画好这个线段示意图，不仅逻辑思维很重要，解题习惯和建模意识也很重要，比如，根据线段的上升（下降）趋势来判断谁的速度快或谁先到达;每个过程中的批注;将整个过程分成若干个小过程，利用行程问题的基本模型从数据较集中的地方切入，利用方程的思想计算出来.因此，对学生从函数图像中捕捉信息的能力，综合运用数学知识分析、加工、提炼的能力要求较高，建议教师一方面，在平时教学中应当有意识地培养学生逐步形成利用函数知识认识问题和解决问题的能力，促使他们使用深入而牢固的函数、方程等数学思想，另一方面，在引导学生解决较为复杂的一次函数图像中的行程问题时，多使用通性通解的办法，一步一步地操作，熟能生巧，最终内化为解决问题的能力.

【参考文献】

[1]刘永东，李芸.2014年中考数学试题“函数”分类解析[J].中国数学教育：初中版，2015（1）：43-56.

[2]陈明儒.教应有“方”学才有“效”——以行程问题为背景的一次函数图像信息题为例[J].中国数学教育：初中版，2014（3）：51-56.