高中数学直观想象素养的培养

郑汉聪

【摘要】在建立以学生为主体的数学学习活动中，直观想象有利于促进学生的知识与能力形成，有利于提高学生分析和解决问题能力，从而养成良好数学思维习惯、创新意识以及欣赏数学之美.

【关键词】高中数学;直观想象

《普通高中数学课程标准（2017年）》着重提出要培养学生的数学核心素养，无论进行怎样的课程改革，如果要用一句话描述数学教育的根本，那就是培养学生的“数学直观”.因为数学的结论是“看”出来的，不是“证”出来的，依赖的是“数学直观”，要如何培养学生的数学直观想象素养呢？笔者结合自身经验，谈谈对数学直观素养的培养.

一、更新教学观念，改变学习方式

高中数学新课标要求学生能够积极主动地学习数学知识，内容包括：学生在学习数学知识时，不能仅仅进行数学知识的被动接收、记忆以及模仿，还应该在学习过程中注重合作交流、自主探索、阅读自学等主动的数学学习方式.为了实现对高中生数学学习能力培养的要求，需要学生改变传统的数学学习方式.具体到高中生数学直观能力的培养方面，更应该要求学生能够抓住数学直观性思维的精髓.如，可以借助于计算机技术的优势，让学生非常快速地将一些函数、代数关系等直接转换成图形等直观模式，通过学生在自主探索中发现直观性思维的特点，以及与同学进行信息沟通与交流来快速掌握数学直观这种思维方式.

二、培养学生使用直观思维理解题目意思

有些数学题内容抽象，关系复杂，给我们理解题意增添了困难，使正常的思维难以进行到底.对这类题目，要借助图表或图像的直观分析理解题意，有助于将抽象内容形象化，复杂关系条理化.使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索.

例1 （2010年福建卷文科22题）已知函数f（x）=13x3-x2+ax+b的图像在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x-2.

（Ⅰ）求实数a，b的值;

（Ⅱ）设g（x）=f（x）+mx-1是[2，+∞）上的增函数.

（ⅰ）求实数m的最大值;

（ⅱ）当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标;若不存在，说明理由.

解析 第（Ⅰ）问相对简单，容易求得实数a=3，b=-2.第（Ⅱ）问的（ⅰ），由“g（x）=f（x）+mx-1是[2，+∞）上的增函数”可得g′（x）≥0在[2，+∞）恒成立，求得m的最大值为3;

第（Ⅱ）问的（ⅱ）难度较大，“是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等”，这句话是什么意思，如何理解？我们对题目意义可以从直观上予以理解，不难得知：

（1）函数y=g（x）的图像不变，直线在变;

（2）直线在变，但直线与曲线y=g（x）围成两个封闭图形的面积总相等;

（3）如何才能总相等？

显然，只有当直线过函数图像的中心.

至此，问题明朗.只要判断函数是否为中心对称图形？若是，则所找的点即为函数图像的中心.

接下来，我们考查函数的解析式.可以把函数g（x）=13x3-x2+3x-2+3x-1看作是由函数h（x）=13x3-x2+3x-2和函数φ（x）=3x-1复合而成的.由于三次函数存在对称中心，反比例函数也存在对称中心，所以我们只要判断h（x）和φ（x）的中心一致即可.

如何判断呢？还得从直观意义上理解.

直观1：由于g（x）存在唯一的极大值点x=0与唯一的极小值点x=2，感知图像上的点P（0，-5）与Q2，173连线的中点1，13，即为y=g（x）的对称中心.

直觀2：由分式函数φ（x）=3x-1的结构特征，知其对称中心的横坐标为1，进而感知y=g（x）的对称中心的横坐标为1，只需证g（x）+g（2-x）为定值.

直观3：由于三次函数h（x）=13x3-x2+3x-2的对称中心为1，13，感知这应该也是y=g（x）的对称中心，只需证g（x）+g（2-x）为定值即可.

三、加强数形结合方法在直观想象的应用

数形结合是变换的一种，它是语言、符号信息和形象信息的转换，教师在数学教学时，应该注意引导学生从抽象代数以及直观几何两个方面的相互表征，注意数学知识中数与形的相互表征.

例2 求函数y=sinx-2cosx的值域.

解析 本题除了可以用三角函数有界求最值外，还可以根据函数式的特点，直观想象到过两点的直线的斜率公式，将原式中的y看作为过定点（0，2）与动点（cosx，sinx）的直线的斜率.其中动点（cosx，sinx）在圆x2+y2=1上，根据圆的相关知识容易求出y∈（-∞，-3]∪[3，+∞）.

四、注重实物模型演示直观想象

空间想象能力是直观想象素养的重要组成成分，空间想象能力的培养是学生直观想象素养水平提升的前提保障.空间想象力是人们对几何体的抽象思维品质.众所周知，形象化的实物模型对抽象的几何概念的学习有着举足轻重的作用.因此，在教学过程中，教师要注重借助实物模型，促进学生对空间几何体的认识历经由直观感知、直观表象、直观想象的过程，从而发展学生的空间想象能力.

总之，在教学过程中，教师要根据学生实际、结合教材具体内容，采取适当的直观手段，将对教学效果和学生的素质的全面发展有显著的促进作用.

【参考文献】

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[2]梁梅清.浅谈数学直观图示思维能力的培养[J].广西师范学院学报：哲学社会科学版，2008（S1）：165-166.

[3]黄阿拈.例谈在高中教学中培养学生的几何直观能力[J].考试周刊，2015（24）：62-63.