“言”“意”通联，将数学学习引向深入

张苾菁

摘  要：文章圍绕笔者主持的苏州市教科院十三五规划课题《“通联”视角下学科课堂教学的实践与研究》，基于数学知识修养、数学思维涵育、数学价值追求等三大维度，构筑“数与形”“点与网”“异与同”“言与意”“境与理”“情与智”等六条“通联”路径。文章围绕“言”“意”通联做三个观点的阐述。

关键词：言;意;数学理解

美国雪城大学数学语言研究专家路易斯·威尔金森教授认为，学生在数学情境下给出正确的、合理的数学表达是一项非常重要的能力。与语文、英语学科相比，数学的语言更为简洁但不失丰富。文字、符号、算式、图表等都是数学特有的生动语言。教材以此呈现教学内容，师生以此展开教学活动，可以说，学生的数学学习就是伴随着数学语言而展开的动静相宜、内外兼修的“言”与“意”的输出和内化的双向过程。在教学过程中，教材语言、教师教学语言、学生学习交流语言交融互动，力求形成言与意的通联。一方面，教师要将教材凝练的语言——数与式、图与文等用合适的方式来进行动态解读，还原其关键的发生、发展的过程，便于学生经历、体验、理解知识的来龙去脉;另一方面，学生也会在这个渐进的过程中习得用数学学科特有的言语方式来表征信息、表述思考、表达观点、表现作品，结合学习的进程内化为自己的知识，进而形成数学的意识、方法与思想。

一、以“教师之言”启发“学生之言”

案例1：从“添一条”到“添一个”

教学《小数的初步认识》一课时，一般安排两个环节：第一个环节是帮助学生通过具体的情境认识零点几元、零点几米，从而帮助学生体验小数是为了表示小于单位“1”的量引入的，可以由十分之几的分数直接改写得到;第二个环节是进一步通过测量或者购物情境，帮助学生认识整数部分不为零的一位小数， 从而让学生在比较中感悟到，小数是将一个单位细分得到的，它和自然数一样，相邻计数单位之间的进率也是10。为了加深学生的体验，老师设计了如下环节。

【第一次试教】

（1）教师提问：1元1角该怎么用图来表示呢？

（2）生1：先画一个正方形涂满，然后再添一条。

（3）师根据学生的回答立刻在屏幕上呈现出如下图样，解释道：我们再找一个正方形，平均分成10份，涂出其中的一条，是这样吗？

（4）学生点头后即坐下。

这个环节设计的本意是通过让学生自己想一想、画一画、说一说来逼着学生对“当无法利用一个单位来表示这个数时，需要再找一个单位平均分成10份后合起来一起表示”进行思考。但是，在面对学生的表达尚不清晰、未能与体验的目标之间达成有效关联的时候，教师匆忙以自己规范的“言”取代了学生意犹未尽的“言”，本应被充分展开讨论的环节被压缩，好的用意并没有达成好的效果。对此，笔者建议做如下修改。

【第二次试教】

（1）教师提问：1元1角该怎么用图来表示呢？

（2）生1：先画一个正方形涂满，然后再添一条。

（3）师：加一条是什么意思？

（4）生1：就是在旁边加一条。

（5）生2：要画20份，然后涂出其中的11份。

师：是这样的吗？呈现两幅图。

（6）生异口同声：不是，不是！

（7）生1：应该画两个正方形，不是把一个正方形分成20条！

（8）生2：我觉得是在原来的正方形旁边再画一个正方形，把它再平均分成10份，涂出里面的一份，这个要比光秃秃的一条看得清楚……

事实证明，通过教师在关键环节的追问、点拨和适当留白，学生完全有能力把自己的观点用清晰的语言表达出来并得到同伴的认可，课堂的即时生成变成了学习的资源，教师的“少言”成就了学生的“多言”，更重要的是促进了学生对知识的深度理解。因此，在学生直面数学核心问题以后，他们会有一些对问题初步的想法和判断，介于似懂非懂之间，也可能会产生一些疑惑，还会出现一些思维的盲点或者误区，学生出现的“言而不明”“意犹未尽”“词不达意”“言不尽意”的情况，教师不应急于求成取而代之，而应通过适当的引领进一步帮助学生厘清概念的本质，充分做足加法，引发学生的讨论和思辨，并在关键处加以点拨指导，并加以规范和完善，以帮助学生形成自己对数学问题的认识和判断。

二、将学生的“内隐之言”转化为“外显之言”

由于对问题的表征受儿童知识经验及个体差异的影响，会产生很大程度的差别，所以教学的关键就在于不能只站在教师的立场上一味地讲解，而要想办法知道学生究竟是怎么想的，他们现有的知识经验对解决这个问题会带来怎样的困难，只有对这个环节掌握充分，我们才能给儿童提供他们所需要的帮助。因此，教师要重视将学生这个内隐的思考过程充分地外显出来。

案例2：把条件“画出来”——从条件想起的策略

苏教版小学数学教材中第五册首次出现了“解决问题策略”单元的教学，主要通过解答一些非常规的、趣味性较强的实际问题，帮助学生实践并体验从条件想起的思考策略。其例题为：

小猴帮妈妈摘桃，第一天摘30个，以后每天都比前一天多摘5个。小猴第三天摘了多少个？

在教学时，教师安排了如下环节启发学生独立思考。

1. 读题并提问：你能从题中找到哪些条件？要解决什么问题？

2. 解意：这两个条件中，哪个条件的意思不太好懂，需要解释的？（以后每天都比前一天多摘5个）

3. 你能用自己的方式来表达这句话的理解吗？请把你的想法写在练习纸上。

4. 学生在练习纸上表示自己对这句话的理解，师巡视，寻找不同的表达方法。

学生中出现文字表示、表格表示、算式表示……

5. 组织交流：

（1）先交流错误的想法。“第一天摘了30个桃，以后每天都比第一天摘的桃多5个，就是每天都摘35个桃”。

（2）再交流不同表示方法的正确理解。如文字法、表格法、箭头图等。

上述的案例充分地表明，只有当教师真正了解儿童是如何用自己的方式来表征问题时，才能清楚地发现他们思考的轨迹，从而给予针对性的指导。正如特级教师赵云峰所积极倡导的“读数学、说数学、画数学”的观点中说的那样，在读一读中，我们可以找到重要的、关键的信息，理解条件与问题之间的联系;在说一说中，信息之间变得比原来有条理了，并且通过有层次的交流，思考的脉络就能从烦琐到简洁，从无序到有序，使我们的思考有了步骤;在画一画中，学生借助于外显的表达，列表、画图、符号、文字等等，都能使学生头脑中需要处理的内容得以个性化的呈现，减轻了大脑记忆的负担，帮助学生直观地去理解题意，找到信息间相互的联系。因此，对问题的表征，就在这读一读、说一说、画一画中促进了学生的个性化思考。

三、将“随意的日常语言”转化为“有逻辑的数学语言”

数学学习是多元表征符号系统的建构，因此，数学课的一项重要任务是帮助学生学会用数学的方式来涵育学生“听、说、读、写”的能力。数学教学，不仅希望促进学生对数学的深度理解，更希望通过学生之间、师生之间的交往互动，促进彼此间知识的联结、情感的互通，以融汇数学活动的体验，用数学的方式使思维更缜密、思考更深入、逻辑更清晰、表达更条理。

案例3：为什么三角形中不可能有两个直角或钝角？——“三角形内角和”的练习设计

（1）师提问：三角形被遮住了两个内角，从露出的这个内角，你可以知道什么数学信息？

（2）生：我知道第一个三角形一定是钝角三角形，第二个三角形一定是直角三角形，因为一个三角形里最多只能有一个钝角或者直角，而第三个我不能确定，因为任何一个三角形都有锐角。

（3）师：你能用你今天学习的知识来解释为什么一个三角形里最多只能有一个钝角或直角吗？

（4）生：因为三角形的内角和是180°，露出的是钝角，钝角是大于90°小于180°的角，那么说明剩下的两个内角的度数是小于90°的，因此，不可能再有钝角或者直角了。（有逻辑的三段论）

（5）师：这位同学很清楚地解释了为什么一个三角形里最多只能有一个钝角或直角的道理，从他的发言中我们可以知道不同的三角形的两个锐角的度数之和还有某种特点，就像刚才这位同学说的：

钝角三角形的两个锐角的度数之和一定小于90度。（屏幕演示）

（6）师：那么，你们能不能也像刚才这位同学一样讨论讨论，在直角三角形和锐角三角形中两个锐角度数之和有什么特点呢？

同桌交流，然后全班交流得出：

直角三角形的两个锐角的度数之和一定等于90度。

锐角三角形的任意两个锐角的度数之和一定大于90度。

以上环节的交流，透出浓浓的数学味，学生此時的发言，不再是凭感觉或经验的随意判断，而是推理有据的证明。当然，深化学生对数学理解的方式有很多种，“通过解释促进学习”是上述练习设计的另一个着力点。运用已知的结论从不同角度解释或者说明一些问题的前提是，无论你想解释的是什么，你都必须自己先弄清楚。学生们首先得概括出自己对问题的理解是什么，同时，他们还必须找到如何让其他孩子明白的合适的表达方式，这个“解释”过程，可以看作是学生对新知的“主动迎合”与“自动补充”的过程。通过只露出一个内角的三角形，学生们不仅解释了“有一个角是钝角的三角形是钝角三角形”命题的成立，同时也解释了为什么“有一个角是锐角的三角形不能判断为锐角三角形”的道理，当然，这都是由“三角形内角和是180°”这一基本知识派生出去新生成的知识;同时，对于钝角三角形、直角三角形中两个锐角度数和以及锐角三角形的任意两个锐角度数和的判断，更是拓展了学生思考的空间，其本质都是对“三角形内角和是180°”不同角度的理解和灵活运用。学生在发现、概括的过程中相互补充，彼此启发，思辨的过程清晰地展现在大家面前，数学语言得到推敲与锤炼，思维得到强有力的提升。

由此可见，如果在教学中能超越教学任务的表面特征，挖掘出其内隐的思维含量，在数学问题解决过程中在交流与倾听、辩论与解释、协调与明理等环节上多下功夫，那么对学生深度理解数学知识会起到至关重要的作用。教师要提供多种机会让学生有基于问题信息的表征、结合实例的意义解释、解题思路的呈现与说明、联想推理的表达与对话等，来引导和促成儿童朝着数学意义的理解这一方向努力，力求让学生言之有物，言之有序，言之有理，言之有意。学生数学素养得到发展的一个显性标志是，学生能积极地用原生态的个性化语言有条理地表达自己对某个数学知识的感悟了。