基于总变差去噪和快速谱相关的滚动轴承故障诊断

唐贵基， 田 甜， 庞 彬

(华北电力大学(保定) 机械工程系,河北 保定 071003)

作为旋转机械的重要部件，滚动轴承在工业生产中占有重要地位。滚动轴承故障导致机器性能恶化，因此有必要准确地检测轴承的故障。滚动轴承的故障信号通常都是非平稳信号[1]，采集到的滚动轴承故障信号中包含许多噪声信号，常规信号分析方法难以有效提取出滚动轴承的故障特征。

循环平稳随机过程是一类特殊的非平稳随机过程。它的统计特性虽然是非平稳的，但却随时间的变化呈现出周期性平稳变化。循环平稳信号的一个主要特性是：即使在频谱重叠的情况下，它们也可以很容易地与其他干扰信号分离。机械信号循环谱分析的一个核心工具是谱相关(Spectral Correlation，SC)，它以双谱图的形式显示信号中调制信号和载波信号的整个结构[2-8]。虽然循环谱分析在状态监测中的能力已经在一些研究工作中得到证实,然而在某些情况下，SC计算成本高，影响了它的应用。Antoni等[9]提出了SC的替代方法——循环调制谱(Cyclic Modulation Spectrum，CMS)。CMS弥补了SC计算成本高的缺陷，并被证明在许多情况下，可以作为一个有效的诊断工具。然而CMS却受不确定性原理的约束，只能检测调制频率低于频率分辨率的周期模式。

Antoni等[10]提出了快速谱相关方法(Fast Spectral Correlation，Fast-SC)进一步丰富了循环平稳分析理论，此方法同时弥补了谱相关计算成本高和CMS受不确定性约束的缺陷。然而滚动轴承故障信号通常包含噪声成分，笔者在研究中发现噪声的存在会严重影响快速谱相关方法的分析效果。总变差去噪方法对噪声十分敏感，可以很好地剔除信号中的噪声成分，并保留良好的信号边缘，近些年被成功引入到故障诊断领域[11-12]。本文利用其改善快速谱相关对于含强背景噪声的滚动轴承故障振动信号的分析效果。首先利用总变差去噪对含噪的循环平稳信号消除噪声成分，然后通过对降噪信号进行快速谱相关分析提取滚动轴承的故障特征频率，最后应用仿真与实验分析验证了此方法的有效性。

1 总变差去噪原理

TVD(Total Variation Denoising)是基于一个优化问题的定义，最初由Rudin[13]提出，用于去除图像中的噪声。此后，由于TVD在保留给定信号的尖锐边缘方面的优势，TVD在一维信号处理得到了广泛的采用。

给定一个一维信号x(n)(0≤n≤N-1)，则信号x(n)的总变差可定义为

(1)

矩阵D的定义如下

(2)

则DDT为三对角阵

(3)

假设信号x(n)受到加性高斯白噪声w(n)的污染，则含噪信号y(n)为

y(n)=x(n)+w(n)

(4)

最小化优化目标函数为

(5)

(6)

优化最小化(Majorization-Minimization，MM)是解决难以直接求解优化问题的有效方法。MM方法的思想是选择一个接近F(x)且易于求解的Gk(x)。该方法产生一个序列xk，每个xk是通过最小化Gk-1(x)得到。参考文献[14]，总结MM算法的步骤如下

步骤1 设k=0,初始化x0；

步骤2 选择Gk(x)，使：

a)Gk(x)≥F(x),∀x

b)Gk(xk)=F(xk)

c)Gk(x)为凸函数

步骤4k=k+1,重复步骤(2)。

(7)

式中：Λk∶=diag(|Dxk|)

将式(7)左右同乘λ，得

(8)

(9)

结合式(5)中给出的优化目标函数可以表示为

(10)

结合式(6)可得

(11)

2 快速谱相关原理

2.1 谱相关理论

SC可定义为瞬时自相关函数的双离散傅里叶变换，也就是关于时间t的傅里叶级数以及关于时间滞后τ的傅里叶变换。

以时域信号x(tn)为例，其谱相关定义如下

(12)

式中:Rx(tn,τm)为x(tn)的瞬时自相关函数;Rx(tn,τm)=E{x(tn)x(tn-τm)*}，tn=n/Fs,τm=m/Fs；Fs为采样频率；E为集总平均；τm为时延因子；*为共轭复数；α为循环频率；f为频率。

2.2 快速谱相关

SC的一个估计方法是平均循环周期图法(Averaged Cyclic Periodogram，ACP)。平均循环周期图的定义如下

(13)

ACP虽然可以同时吸收不同频率下的频谱分量，估计结果和SC接近，但是有着计算时间长的缺点。

为弥补ACP计算时间长，计算成本大的缺点，Antoni等提出了Fast-SC。它的原理如下

(1) 假设满足f=fk=kΔf,令α=pΔf+δ，则|Xw(i,fk-α)|≈|Xw(i,fk-p)|；

(2) 利用一阶泰勒展开式可得

综上，

Xw(i,fk-α)=|Xw(i,fk-α)|ejφi(fk-α)≃

(14)

将式(14)代入式(13)，得出扫描谱相关的定义式

(15)

式中：XSTFT(i，fk)为信号x(tn)的短时傅里叶变换；DFT(Discrete Fourier Transform)为离散傅里叶变换。

Sx(α,fk;p)在循环频率区间[(p-1)Δf,(p+1)Δf]扫描SC，表明它对p的几个值的聚合，从而在整个循环频率范围内重建SC。p的最大值为

(16)

由此定义快速谱相关

(17)

其中核函数

(18)

由式(18)可知，当Nw→∞，K→∞时，快速谱相关的结果近似于谱相关的结果。快速谱相关是谱相关的渐近收敛方差，具有类似ACP的统计性能，但计算量大大减少。因为快速谱相关易于并行计算，允许进一步的潜在加速，因此计算速度快。离散傅里叶变换用零填充来估计Sx(α,fk;p)，从而提高循环频率α的数值分辨率，以便降低栅栏效应，所以比ACP的估计效果还要好。

一种基于快速谱相关的增强包络谱(Enhanced Envelope Spectrum，EES)，定义为

(19)

快速谱相关算法最后得到一个快速谱相关图和一个增强包络谱图，通过这两个谱图识别故障特征信息。

3 仿真信号分析

为验证本文方法的有效性，对式(20)所示的仿真信号s(t)进行模拟。

(20)

表1 外圈故障模型中的参数

为体现本文所选去噪方法的优越性，将仿真信号总变差去噪效果和小波阈值去噪效果进行了对比分析。小波阈值降噪采用MATLAB工具箱中的“wdpen”

图1 仿真信号的时域波形

函数实现。小波阈值去噪是一种分频段滤波方法，它的原理是首先利用小波把原信号分解成不同频段的尺度系数，对小波系数进行阈值处理再重构，得到去噪后信号[16-18]。图2为s(t)的波形图；图3为总变差去噪的时域图；图4(a)、图4(b)、图4(c)分别为db4小波、db5小波和db6小波阈值降噪的时域图。通过图3和图4的对比可知，总变差去噪明显优于db4小波和db5小波的去噪效果。由表2的评价结果可知，总变差去噪的信噪比(Signal-Noise Ratio,SNR)最大、均方根误差(Root Mean Squared Error,RMSE)最小，进一步证明了总变差降噪的效果优于db4小波、db5小波和db6小波阈值降噪的效果[19]。

图2 s(t)的波形图

图3 总变差去噪后的波形图

本文分别用三种方案对仿真信号进行分析:方案一,对仿真信号直接进行快速谱相关分析；方案二,首先用总变差去噪方法对信号s(t)进行降噪，然后对去噪后的信号进行快速谱相关分析。方案三,通过表2可知db6小波阈值比db4、db5降噪效果更好。因此首先用db6小波阈值去噪方法对信号s(t)进行降噪，然后对去噪后的信号进行快速谱相关分析。

(a) 小波阈值db4

(b) 小波阈值db5

(c) 小波阈值db6

Tab.2 Evaluation results of different evaluation methods for different denoising results

总变差去噪小波阈值db4小波阈值db5小波阈值db6RMSE1.56151.59751.60471.5681SNR8.72158.52338.48428.6846

图5(a)为直接对s(t)进行快速谱相关得出的谱相关图，由此图观察到在外圈故障特征频率处出现了能量集中；图5(b)为其相应的增强包络谱图，可识别出外圈故障特征频率，但无法识别故障特征频率的倍频成分。图6(a)为本文方法所得的谱相关图，可看出在故障特征频率及其倍频处都出现了能量集中；图6(b)为其相应的增强包络谱图，可有效地识别故障特征频率及其倍频。总变差去噪和快速谱相关的结合使故障冲击频率更加明显，效果很好。图7(a)、图7(b)分别为小波阈值去噪和快速谱相关结合的效果图，图7(a)中能量混杂，无法识别出故障特征频率及其倍频，图7(b)只能识别出转频和二倍故障频率。由此可见，总变差去噪和快速谱相关相结合的方法优于直接使用快速谱相关方法，且优于小波阈值去噪和快速谱相关相结合的方法。

4 实验验证

利用图8所示的实验平台对本文所述方法进行进一步验证。实验平台主要由电机、转子、加载器及轴承组成。在滚动轴承内圈模拟滚动轴承的局部损伤，图9为内圈故障图。本文所分析的故障信号由电涡流传感器测量主轴所得。电涡流采集振动信号的方式为非接触测量方式，更加安全便捷。采样频率为12 800 Hz。表3为滚动轴承结构参数，根据式(21)计算可得内圈理论故障特征频率fi为172 Hz。

(a) 直接快速谱相关

(b) 增强包络谱

图5 直接快速谱相关的结果

Fig.5 Results of using fast spectral correlation directly

(a) TVD降噪后快速谱相关

(b) 增强包络谱

图6 本文方法的分析结果

Fig.6 Results of analysis by proposed method

(a) 小波阈值降噪后快速谱相关

(b) 增强包络谱

图7 小波去噪与快速谱相关结合

Fig.7 Results of analysis of combination of the wavelet threshold and fast spectral correlation

图8 实验平台

轴承型号节圆直径/mm滚动体直径/mm接触角/(°)滚动体个数转轴转频/HzN205397.501224

(21)

图9 内圈故障

式中：n为滚动体个数；fr为转轴转频；d、D分别为滚动体直径及节圆直径；α为接触角。

这里也给出了同小波阈值降噪的对比分析结果。图10为实测信号的波形图；图11为总变差去噪的时域图；图12(a)、图12(b)、图12(c)分别为db4小波、db5小波和db6小波阈值降噪的时域图。通过图11和图12的对比可知，总变差去噪明显优于db4小波、db5小波和db6小波的去噪效果。小波阈值降噪效果取决于小波基函数的选择，当基函数选取不合适的时候，降噪效果便会欠佳。由表4的评价结果可知，总变差去噪的SNR最大、RMSE最小，进一步证明了总变差降噪的效果优于db4小波、db5小波和db6小波阈值降噪的效果。

图10 实测信号的波形

图11 总变差去噪后的波形图

(a) 小波阈值db4

(b) 小波阈值db5

(c) 小波阈值db6

图12 小波阈值去噪后时域图

Fig.12 Time-domain figure after the wavelet threshold denoising

表4 两种评价方法对不同去噪结果的评价结果

Tab.4 Evaluation results of different evaluation methods for different denoising results

总变差去噪小波阈值db4小波阈值db5小波阈值db6RMSE39.951641.562440.107941.5681SNR21.791821.448521.757921.6846

首先利用快速谱相关直接对实测信号进行处理，结果如图13所示。图13(a)为谱相关图，可看出在故障特征频率及其倍频处有能量集中；图13(b)为相应的增强包络谱，可识别出内圈故障频率和2倍频，3～5倍频则不够明显。下面利用本文方法对该组实测信号进行处理。首先利用总变差去噪方法对信号进行去噪，对去噪后的信号进行快速谱相关，得到图14所示的结果，图14(a)为降噪信号的快速谱相关谱，此图在故障特征频率及其倍频处都出现了明显的能量集中；图14(b)为其相应的增强包络谱，可看到在故障特征频率及其倍频处具有明显峰值，并且辨识出了转频及内圈故障特征频率通转频的调制特征，可断定轴承内圈出现损伤。为体现本文方法的优越性，通过小波阈值去噪和快速谱相关的结合效果与之作比较。由表4可知，小波db5信噪比大于db4、db6且均方根误差小于db4、db6。因此先将实测信号进行db5小波阈值去噪，然后将去噪后的信号进行快速谱相关。图15(a)为该方法的谱相关图，可看到故障频率及其倍频处有能量集中；图15(b)为相应的增强包络谱，只可看到转频处和故障频率及其二倍频处有明显的峰值，相对于图13(b)没有明显的改善，效果不如图14(b)。以上结果说明，相比于直接快速谱相关和小波阈值去噪与快速谱相关相结合的方法，本文方法更好地提取了故障特征。

(a) 直接快速谱相关

(b) 增强包络谱

图13 直接快速谱相关分析结果

Fig.13 Results of using fast spectral correlation directly

(a) TVD降噪后快速谱相关

(b) 增强包络谱

图14 本文方法的分析结果

Fig.14 Results of analysis by proposed method

(a) 小波阈值降噪后快速谱相关

(b) 增强包络谱

图15 小波去噪与快速谱相关结合

Fig.15 Results of analysis of combination of the wavelet threshold and fast spectral correlation

5 结 论

快速谱相关是无偏无方差的谱相关估计方法，不仅克服了平均循环周期图计算成本大的问题，还克服了循环调制谱受不确定原理约束的缺陷。在机械故障诊断领域具有巨大的应用潜能。但该方法容易受到强背景噪声的影响，因此本文将总变差去噪方法作为预处理方法，提出了总变差去噪结合快速谱相关的滚动轴承微弱故障诊断方法。利用总变差去噪提高振动信号的信噪比，再通过快速谱相关方法识别故障特征信息。仿真信号与实验信号结果表明本文方法极大改善了快速谱相关方法的分析效果，促进其在滚动轴承微弱故障诊断中的应用。