“两线法”巧析竖直面内不脱轨问题

简伟伟

(江西省横峰中学 江西 上饶 334300)

复合场中竖直平面内的圆周运动类题型，特别是该类问题中“不脱离轨道”类问题，因其知识联系性广、综合性强，是高中物理教学中的难点问题.笔者从教学实践中总结出一种分析该类问题的方法——“两线法”，该法相比“等效场法”，既能究其本质、抓住关键，又通俗易懂、方便快捷.

“两线法”就是指在以圆轨道的圆心为原点，在物体运动的圆周上沿着场力的方向作出一条参考线——“场力线”，再作出一条垂直“场力线”的参考线——“压轨线”，我们利用这两条参考线方便、清晰地突破竖直平面内不脱轨类问题的解题方法.

1 模型构建 难点突破(以仅在重力场作用下为基本模型)

【例1】如图1所示，一质量为m的小球从半径为R的固定光滑圆轨道的最低点a点，以速度v0向右运动，若它运动过程中不脱离轨道，试分析小球的运动情景.

图1 例1题图

1.1 “场力线”的作用

因为只有重力场，沿着场力(此处为重力)方向作出一条参考线——“场力线”，这条线可以突破以下难点问题：

(1)圆周上什么位置速度最大？什么位置速度最小？

如图2所示，因为只有重力做功，沿着重力方向移动，重力都要做正功则其速度就要增大，可知参考面L1为沿着重力方向最低的平面，可知小球在a点速度最大，同理参考面L5为沿着重力方向最高的平面(重力做的负功最多)，可知小球在e点速度最小.

图2 速度最大和最小点分析图

总结:圆周上“场力线”最上方的位置速度最小、最下方的位置速度最大.

(2)什么位置轨道受到的压力最大？

总结:圆周上“场力线”最下方的位置轨道受到的压力最大.

图3 轨道受压力最大和最易脱轨点分析图

(3)什么地方最易脱离轨道？

如图3所示，最小向心力为不利用轨道的弹力，仅靠重力的作用来提供向心力，由图可知在场力线上e点时，重力全部沿径向指向圆心提供向心力，可知该位置的最小向心力最大.由机械能能量守恒定律易知,在场力线的上方小球的速度会减小，即越向上运动越容易使得F提供的向心力>F需要的向心力，所以e点是小球最易脱离轨道的位置，要使得小球做完整的圆周运动，就一定要使得小球通过e点[1].

总结:圆周上“场力线”最上方的位置最易脱轨(做近心运动).

1.2 “压轨线”的作用

如图4所示，作出一条垂直“场力线”的参考线——“压轨线”，我们可知这条线将圆周一分为二，在靠近“场力线”下方的这半圆上的任何位置(如图中b点)，由于重力沿径向的分力是使小球有紧压轨道的效果.在靠近“场力线”的上方的这半圆上的任何位置(如图中d点)，由于重力沿径向的分力具有使小球脱离轨道的效果.因此，这条线是场力是否紧压轨道的分界线，笔者把它简称为“压轨线”.利用这条线可以突破以下难点问题.

图4 不脱轨范围和不脱轨条件分析图

(1)小球在什么范围内运动一定不会脱轨？

通过上面的分析我们可知,在“压轨线”靠近“场力线”下方的半圆上的任何位置，即使小球速度为零，小球还是会紧贴轨道.在靠近“场力线”上方的这半圆上的任何位置，由于重力沿径向的分力是使小球脱离轨道的效果，当小球速度小于某一值(由所需的向心力决定)，小球会脱离轨道而做近心运动.

总结：“压轨线”是我们分析小球速度为零时，小球是否会脱离轨道的参考线.

(2)小球在圆周上运动时不脱离轨道要满足什么条件？

综上分析可得：小球要不脱离轨道，要么通过“场力线”的最上方的位置做完整的圆周运动，要么在“压轨线”靠近“场力线”下方的半圆上来回运动.

2 实战演练 体验功效(以重力场和电场相交汇的复合场为普遍范例)

图5 例2题图

分析：(1)受力分析，作出两线

如图6所示，分析小球所受到的场力(重力、电场力)，作出场力的合力，则该合力的方向即为“场力线”的方向，作“场力线”的垂线，即为“压轨线”.

图6 “场力线”和“压轨线”示意图

(2)巧借两线，突破难点

如图7所示，我们过圆轨道的圆心，作出“场力线”和“压轨线”.

图7 “场力线”和“压轨线”解题图

利用“两线法”原理我们知道，要使小球不脱离轨道，有两种情况：1)在“压轨线”下部分半圆(bfe)上来回运动，临界情况为到b点或e点速度恰好为零；2)恰好以最小的速度过c点，在圆周上做完整的圆周运动.

(3)结合分析，列式求解

解:要使小球不脱离轨道有以下两种情况.

1)在半圆(bfe)上来回运动，设其以初速度v运动，当其到达e点速度恰好为零，由动能定理得

解得

2)小球在圆周上做完整的圆周运动，而不脱离轨道.设以初速度v′运动,当其恰好通过c点时，有

-EqRsin 45°-mgR(1+cos45°)=

解得

综上所述，要使小球在圆轨道上运动过程中不脱离轨道需满足

由以上对重力场和电场的普遍范例分析可以看出，利用“两线法”处理竖直平面内不脱轨类问题时，内在上可以从本质上分析各个临界点的形成因素，外在上又能以简单直观的方式告诉我们如何寻找这些临界点，可谓既究其本质，又通俗易懂.