多孔材料性能模型研究1：数理关系

刘培生，崔 光，程 伟

(北京师范大学 核科学与技术学院 射线束技术 教育部重点实验室，北京 100875)

利用内部的孔隙结构达到材料性能优化是多孔材料的主要特点，而物理性能和力学性能的综合优化可使该类材料由此获得很好的功能结构一体化[1-5]。在能源、机械、化工、医学、环保、交通、航空航天等诸多领域，多孔材料都具有其他材料难以或不可替代的应用优势，其中三维网状泡沫金属在生产规模和实际应用方面都占据了十分重要的位置。因此，研究人员对该类材料进行了大量的研究[3-5]，其中性能研究一直受到高度重视[5-9]。

具有代表性的多孔材料性能模型理论体系大致有三类。第一类是基于立方孔隙简化结构的Gibson-Ashby模型理论，简称GA模型理论或GA理论，由该领域著名学者Gibson和Ashby建立，属于多孔材料领域最具代表意义的经典性模型理论[6]。该模型理论基于立方构架连接的简化结构模型，运用几何力学的方法进行流畅而简洁的推演，得到多孔材料性能关系。其用于实际计算方便，为业界广泛接受和应用至今[9-10]。但该模型理论主要适于多孔材料的拉压性能，而难以方便地推演其他物理性能[6,9]。第二类是基于密排多面体孔隙结构的公式化模型理论，在设定多面体孔隙结构的基础上，运用固体力学和固体物理的方法得出性能关系的数理表达[6,11]。用到的多面体结构如代表性的Kelvin模型[11-12]，其将孔隙简化为6个正方形和8个正六边形组成十四面体结构，认为这样比GA模型的立方构架更接近实际情况。另外一个用得较多的多面体结构是菱形十二面体模型[6,9]。此类模型理论主要获得了多孔材料拉压性能关系和热传导性能关系，但推演过程较复杂，结果中间参量较多，实际应用不够方便。因此，在材料领域的影响和应用都不如第一类模型理论。第三类是有限元模拟理论，这是后期出现的计算模型[9,13-14]。该模型理论一般是基于上述十四面体模型和菱形十二面体模型以及Voronoi随机模型等，当然也可以是其他模型，运用有限元方法获得材料性能指标。其计算细致，计算本身具有较高的精度，但要求参量有足够的准确性。往往因为参量的真值获取困难，给实际计算偏差带来较大的不确定性。此外，还有其他一些模型理论，它们一般是针对某一结构和某一性能提出特定的模型方案进行处理，如电阻模型[15]、声学模型[16]、力学模型[17]、表面积模型[18-19]等，因此应用比较局限。可见，实用方便、稳定可靠、适应性强的模型理论，具有较好的实践价值和较高的设计应用前景。

为探讨开孔网状泡沫金属的电阻率及拉伸强度等能源领域实际应用要求的基本使用性能，本文第一作者提出了一个对应于这种多孔材料的体心立方结构式八面体模型(注：这不是正八面体)，由此出发推演出其电阻率及拉伸强度与孔隙因素的数理关系，经样品实验测试，初步验证了这些关系的实用性[8,20-21]。迄今作者围绕多孔材料特别是三维网状泡沫金属已开展多年的相关工作。从同一自提源模型出发，探讨了此类材料的系列基本物理、力学性能表征，涉及多孔材料的拉伸、弯曲、扭转、剪切、疲劳、传导、比表面、多向拉压等多个方面。与其他模型理论相比，本模型理论具有独特优点，如系统性强、连贯性好、覆盖面宽、推演简便、实用方便等[8,20-26]。

近几年发展起来的3D打印规则格子结构材料，可看作一种新型的多孔材料。其结构的规则性及由此带来的性能可控性是一大优势，但就目前展示的生产状态及产品结构形态和层次来看，其实际应用将是原有多孔材料广阔应用市场中的一个补充。亿万年的地球生命史也表明，自然界漫长的抉择仍在很多关键场合青睐孔隙结构呈自由随机状态的多孔形貌，比如动物和人类的骨骼结构，这自然有其道理和奥妙。可见，人类对多孔结构的利用，可能在某些场合以规则的格子形态为佳，而在更多的场合则是随机孔隙形态，这些仍有待不断探索和实践。本文从目前具有大量实际应用的三维网状高孔率泡沫金属出发，介绍其结构模型的构建，以及由此建立的性能分析模型和获得的性能关系表征，为多孔材料的应用设计提供更为丰富的理论依据。

1 多孔材料类型

在多孔材料的实际应用中，大多情况下都是使用固体物质呈自由随机分布的泡沫态多孔制品，其中包括孔隙呈三维网状结构的网状泡沫材料(reticular foams)和孔隙呈类似细胞形态(或液泡聚集形态)的胞状泡沫材料(cellular foams)。胞状泡沫材料一般呈闭孔型或半开孔型，适于结构用途和隔热等场合；网状泡沫材料为开孔型，适于利用连通孔隙和孔隙内表面的场合，如热交换、分流过滤、高效电极、生物移植、催化反应工程等。图1为网状泡沫多孔材料SEM图，其结构非常类似于天然骨骼的内部构造。

图1 网状泡沫材料SEM图 (a)泡沫金属；(b)泡沫陶瓷[27]；(c)泡沫塑料[28]Fig.1 SEM images of reticulated porous materials (a)metal foams;(b)ceramic foams[27];(c)plastic foams[28]

根据材质的不同，多孔泡沫材料可分为泡沫金属、泡沫陶瓷和泡沫塑料三大类[5,29-30]。其中泡沫金属是一类非常重要的多孔材料。因其同时具有孔隙结构和金属属性，因此在物理和力学方面的综合性能优良。除体密度低、内表面大、渗透性好(开孔)等多孔材料的一般性质外，泡沫金属还有可焊性、导电性及延展性等金属特性，具有优良的传导性、强韧性、加工性和安装性，使其在热量交换、吸能减震、消音降噪、电磁屏蔽等领域具有应用优势。

2 多孔材料结构模型

2.1 网状多孔材料

在整个多孔材料的应用中，泡沫制品占据了主体地位，其中网状泡沫材料又拥有更大的应用规模和更多的应用场合。除普遍将泡沫塑料用于包装材料和常温环境下的吸声材料外，目前多孔材料规模最大的工业应用是将开孔网状泡沫金属用于各种场合的多孔电极等[4-5,31-33]，如各种蓄电池、燃料电池、空气电池、太阳能电池以及各类电化学过程电极，涉及航空卫星、宇宙飞船以及飞机启动和空中应急的动力源等尖端技术，其中应用较多的有泡沫镍，其次还有泡沫铅和泡沫铜等。生物移植产品是开孔网状泡沫金属结构的又一重要用途，并不断发展泡沫金属来改进移植体的使用性能[5,34-35]。有关的制造和应用市场在日益扩大，其中主要有泡沫钛和泡沫钽[34]。金属具有良好的导热性，因此具有很大比表面积的通孔泡沫金属是热交换的有效材料，适用于加热器、换热器、散热器和致冷器等[36-39]。优良的热物理性能可使开孔泡沫金属在换热器强化传热和微电子冷却等方面获得十分广阔的应用[40]。孔壁或孔棱材料为高热导率的金属，能阻止火焰在可燃气体中的传播[41]。工业上广泛采用的可燃气体在使用过程中，当由于偶发性原因导致气体混合物燃烧时，火焰会以很快的速度沿气体管路传播。采用多孔金属制作的阻火器，可阻止火焰的传播[42-43]。难熔金属材料钨不被液汞等浸润且耐其腐蚀，其多孔体或作为多孔基体制作的元器件在航空航天、电力电子及冶金工业等领域都有较好的应用[44-46]。开孔网状泡沫金属在汽车工业的商业应用也有重大的进展，如用于柴油机排放物的过滤和催化转化。可见，在丰富多样的多孔材料结构形态中，三维网状结构是具有最广泛应用的多孔结构类型。

制备三维多孔泡沫金属的工艺方法目前已有很多，主要包括粉末冶金法、金属沉积法、金属熔体发泡法、熔模铸造法、渗流铸造法等[1-5]。其中，由金属热蒸发沉积、气体反应沉积、电沉积等工艺形式获得的泡沫金属产品，以及采用熔模铸造法和渗流铸造法等形成的泡沫金属产品，一般均为三维网状结构。此外，粉末冶金法所得制品也可以是高孔率的连通性开孔结构。电沉积法所得泡沫镍[47]以及反应沉积法所得电极支撑材料[2]的形貌完全类似于图1的泡沫材料，熔模铸造法以及改进的粉末烧结法则容易制造更大厚度的网状泡沫产品(见图2)[48-49]。

图2 熔模铸造法所得泡沫铝 (a)多孔结构的SEM图[48]；(b)块体制品[49]Fig.2 Aluminium foams by infiltration casting (a)SEM image of porous structure[48];(b)product blocks[49]

2.2 结构模型

2.2.1 结构模型构建

高孔率网状多孔材料是由孔棱(孔筋)相互交错连接起来的三维网状结构。该类网状泡沫产品多孔体内的孔棱连接错综复杂，取向各异；孔棱相互连接构成的孔隙形状也是多种多样，走向变化无规则。根据其实际结构形态特征，构建均匀结构网状多孔材料的简化结构模型，以便简捷地分析和推演有关参量[8,20-21,50-52]。最后设计提出简化结构分析模型，称之为多孔材料八面体结构模型，如图3所示。

各向同性高孔率网状多孔材料整体由固体孔棱和大量孔隙组合而成，为简化对应多孔体的性能分析，设想其内部孔棱系按立方体对角线的简单方式连接。如此构成大量源于体心立方晶格结构方式的八面体孔隙单元(图3(a))，每个孔隙单元包含8条(注：不是八面体的所有12条边)孔棱，它们具有同样的结构方式，即在结构状态上相互等价。这些八面体孔隙单元在3个正交的方向上交互紧密堆积，完全充满空间，并可进行均匀的三维规则延伸扩展，从而形成三维同性的均匀结构多孔体。

图3 网状多孔材料的八面体结构模型(a)八面体孔隙单元;(b)孔隙单元轴向投影(俯视图);(c)孔隙单元侧向投影(侧视图)Fig.3 Octahedral structure models for reticulated porous materials(a)octahedral pore unit;(b)top view of the pore unit;(c)side view of the pore unit

单元八面体的中心四次对称轴即为其轴线方向，简称该八面体的方向。单元八面体的轴向投影为侧置正交十字形(参见图3(b))，而其两个侧向投影均为侧置正方形(参见图3(c))。这些单元八面体在相互垂直的3个正交方向上实行交互密堆积，整齐密堆积的单元八面体集合投影为方孔“筛网”，这些等效“筛网”可重合性地叠加而形成孔隙结构均匀规则的三维多孔体。

该多孔材料的体心立方结构式八面体模型，简称“八面体结构模型”，是一个简化的几何结构模型。在该结构模型的基础上，赋予不同的物理概念和内容，即可获得对应的结构-性能分析模型。通过相应的分析推演，就可进一步导出其不同物理、力学性能指标的对应数理关系规律。

2.2.2 结构模型分析

图3(a)的八面体孔隙单元表明，本八面体模型中构成孔隙单元的孔棱全部由立方体心与立方体顶点的连线(共计8条)组成,立方体顶点之间的连线均不属于这种孔棱结构。因此，组成孔隙单元的孔棱全部等价，且其中每条孔棱均为3个轴线互相垂直(正交)的孔隙单元所共用。以图3(a)中红色棱为例,它既参与了该图中完整显示的轴线在竖直方向上的八面体孔隙单元(即主单元)组成,又参与了轴线在水平左右方向上而位于图中主单元左上侧的八面体孔隙单元组成,同时还参与了轴线在水平前后方向上而位于图中主单元前上侧的八面体孔隙单元组成。因为除了这种用以组成孔隙单元的等价孔棱之外,结构中不存在另外类型的实体棱柱,所以这些八面体单元既是孔隙单元,同时又是结构单元,从而所有棱柱在结构上的状态都是等价的。同时,这些八面体单元的大小均完全相等，形状均完全相同,只是轴线方向不同(相互垂直)。而且,轴线相互正交的八面体单元一一对应,数量相等,相互交错密堆积,完全充满空间。可见，这种孔隙单元交互密堆积并三维延伸而形成的多孔体，在图3中的上下(竖向)、左右(水平)和前后(垂向)3个正交方向上实现了同性，即三维同性。

此外，从另一角度来看，本八面体模型的“BCC式”结构还可视为两套“简单立方亚格子的复合点阵”结构，孔棱也可视为这两套亚格子顶点之间的“配位式”连线(参见图3(a))。因此，孔隙单元所含结点的组成方式亦全部一致，结点的结构状态均等价。

这样,本模型就为网状多孔材料实现了结构均匀、三维同性的表征,且孔隙单元与结构单元完全统一,组成单元高度密堆积,所形成的多孔体中棱柱的结构状态等价，结点的结构状态也等价。

2.2.3 模型特征

根据形成方式以及结构模型分析，八面体结构模型具有如下特征：①该模型所构成的八面体单元，既是多孔体的孔隙单元，又是多孔体的结构单元，即孔隙单元和结构单元是一体的；②八面体孔隙单元中的孔棱都是通过立方格子的体心与顶点连接而成，因此每个孔隙单元只有8条孔棱，而不是12条孔棱；③该单元八面体的8个面都是等腰三角形而不是等边三角形，因此不是正八面体；④多孔体中这些单元八面体的轴线具有3个正交的方向，3个轴线方向上的单元八面体一一对应地交错叠加并不断延伸，形成大量完全充满空间的密堆积孔隙单元集合而构成整个多孔体。其中需要特别注意的是，本模型中的单元八面体并不是8个面都是等边三角形的正八面体，另外，本模型中的八面体孔隙单元只包含8条孔棱。

2.2.4 讨论

2.2.4.1 经典性模型理论

在关于多孔材料结构和性能方面的理论中，GA模型是最具代表意义的经典性模型[6,53-59]。该模型理论受到国际同行的普遍认同，是国内外众多研究者广泛应用的理论基础。但是，该模型理论有一些特点不能很好地适应有关性能分析及其数理关系推演[8,51-52]。例如，该模型的结构单元(包含1个立方孔隙单元和12条连接用的半棱)可实现密排堆积，但其孔隙单元本身并不能充满空间；该模型中的结构单元中存在着构成立方孔隙的孔棱和连接这些立方孔隙的连接棱，其在结构中的状态不等价等。模型表现出来的上述特点可能会导致其应用过程中出现一些困难。例如，孔隙单元的非密堆积性不仅偏离了实际网状多孔材料制品的孔隙密排状态，也不便于在该模型基础上的物理、力学性能分析；结构单元中的棱柱状态不等价，则会显著降低由此进行相应物理、力学性能分析推演的简便性。因此，GA模型理论出现了受力分析困难、多孔体断裂方式不自恰、所得有关性能的数学关系式中的材料常数依赖于多孔体的孔率参量等问题[8]。

一些研究者采用了另外一些模型，如比较有代表性的Kelvin模型[6,11]。此外，可密堆积的还有三棱柱结构模型、四棱柱结构模型、六棱柱结构模型、菱形十二面体模型等[6]。上述模型可实现等同单元的规则堆积，但也都存在与GA模型类似的特点，如结构单元中的孔棱状态不等价等。分析单元中的孔棱在结构上的不等价，势必造成其对整个多孔体的物理、力学性能方面的贡献状态不等价，因此会增加对应结构模型对于性能分析推演的复杂性和难度。这些模型一般不能像GA模型和本八面体模型那样可以通过隔离孔棱的简单方式来进行物理分析，因此有关数理关系的推演比较繁琐，而有些性能关系则推演起来相当困难。而若需要依赖于数值模拟才能得到有关性能表征的数理关系，则会带来更多的不确定性。

2.2.4.2 模型的简化

多孔材料的孔隙结构是极其复杂的，其尺寸和形状变化万千，即使在同一块多孔体中也是大小不一、形状各异。无论是Gibson和Ashby提出的立方体结构模型[6]、Kelvin提出的十四面体结构模型[6,11]，还是本文作者提出的八面体结构模型，或者是其他的如四面体模型、十二面体模型等，都不可能完整而全面地描写多孔材料的实际孔隙状态。众所周知，任何理论模型都是在一定程度上对实际状态的抽象和综合概括，其目的是在尽量简化的基础上简捷而方便地表征出实际状态的有效特征和性能行为。要评价这些结构模型，关键是看其能否较好地表征出泡沫材料的结构特点，更重要的是看其能否从相应模型获得符合多孔材料实测性能结果的对应数理表征，而且数理关系普适性好，推演过程便捷、实际应用简易为佳。

众所周知，几乎没有任何理论模型能做到完美，都是在不同程度上的简化或近似。本模型尽量同时考虑宏观对称性和分析简便性两个因素，力争既反映出泡沫体三维同性的特征，又可较简捷地进行便于操作的分析应用。将孔隙单元集中简化成八面体单元来进行处理，便于性能分析，同时也不悖于该材料的结构特征，弱化了各种真实多孔材料各自具体的结构特点，从而明显简化了分析和推演。

实践证明，本八面体模型在多孔材料的电阻性能、单向拉伸性能、双向拉伸性能、疲劳性能等数理表征方面均获得了比较成功的应用[8,20-23,60-62]。当然，本模型理论在多孔材料性能研究中也有一定的适用范围，属于高孔率产品条件下的模型理论，适用于孔率在70%以上的区间(实践证明这是使用效果较好的区间)。但这足以覆盖实际网状多孔材料的孔率范围，此类实用多孔产品的实际孔率范围一般在80%以上。目前用以大规模连续性生产此类产品的电沉积工艺，其产品孔率多在90%以上。因此，本八面体模型理论具有良好的实用价值。

3 多孔材料性能分析模型及表征

3.1 多孔材料电阻率

相对于其他材质的多孔材料而言，泡沫金属的特点之一是其传导性能良好，并且具有一定的自支撑能力和很大的表面积，以提供广阔的界面电化学电荷传递空间[63-65]。用作电极材料时，其导电性能十分重要，电阻率成为其使用过程中的关键指标[66]。此外，泡沫金属电阻加热器具有更理想的加热状态和更大的热传输效率[37,67]，其电阻率指标同样十分重要。

3.1.1 物理模型及数理关系

3.1.1.1 模型建立的出发点

电阻率是电极材料基本而重要的关键指标，因此高性能电极材料的设计,必然要对其作出较为精确的量值规定。但以电阻率参数直接控制泡沫金属的制备相当困难,同时产品电阻率直接检测本身也比较麻烦。相对于电阻率参数,泡沫金属的孔率控制却较为容易,而且孔率测量方法多样,其中一些非常简便。另外，孔率是多孔材料最基本的参量，其本身一般也是材料设计主要而基本的要求。因此，找出电阻率与孔率的数理关系,对关系到电性能的多孔材料的设计和产品性能指标的生产控制，是大为有利的。特别是对于高孔率多孔电极材料，电阻率随孔率的变化非常剧烈，此时一个能够较好地描述两者关系的数理关系则可发挥重要的作用。

3.1.1.2 电阻率分析模型的基本假设

基于之前建立的结构模型，将结构均匀的高孔率网状多孔材料(如泡沫镍)的具体结构抽象简化为大量正交密堆积的体心立方晶格式八面体孔隙单元集合。在分析多孔体的导电性能时，仅考虑轴线方向与多孔体整体电流方向一致的八面体孔隙单元。此时整个导电多孔体也可视为由大量包容这类单元八面体的立方格子进行密堆积所构成。这些立方格子不但结构形态相同，而且其导电状况也相同。通过从多孔体中隔离出这样一个立方格子，即可代表性地进行导电性能分析[8,20]。将这种导电立方格子构建等效电路，进而推演出多孔体的电阻率。

3.1.1.3 表征电阻率的数理关系

通过在电阻率分析模型基础上的分析推演，运用孔隙单元等效电路和欧姆定理，得出表征多孔材料电阻率的关系公式[20]。

(1)

式中：ρ为多孔材料的电阻率；θ为多孔体的孔率；ρ0为同质致密材料的电阻率,决定于孔棱材质的组织结构；K是材料常数，取决于多孔体材质种类和制备工艺条件,更确切地说是不同多孔制品自身具体结构状态的修正系数。

3.1.2 模型理论分析

在GA模型建立的网状多孔体结构中，存在立方孔隙单元的孔棱及其孔隙单元的连接棱，其中两者的长度比例没有给出[6,8]。而根据这种模型结构，垂直于电流方向的连接棱对电流传导没有贡献。所以，很难在此基础上建立有效的电路分析模型，从而难以由此推演出电阻率的数理关系。对于Kelvin模型(十四面体模型)、菱形十二面体模型以及三棱柱模型、四棱柱模型、六棱柱模型等结构模型，同样也难于在其基础上建立如同本八面体模型这样简单可行的等效电路分析模型。当前，借助计算软件可实现很多强大的性能计算，但参数的选择和使用是个非常重要的问题，其操作性、简捷性和实用性还需要实践检验。

数理关系的应用不但要考虑其准确性和可靠性,同时也要考虑其使用的方便性。如果一个关系公式的待定系数和中间参量太多或不易求得,使用起来十分麻烦,有时还不如直接通过实验检测得出主求量,这样,公式计算就会大打折扣甚至变得没有意义。

3.2 多孔材料拉压强度

多孔材料本身固有的功能属性和结构属性是同时存在的。作为功能应用的场合是指以利用其物理性能为主，但也需要兼顾其一定力学性能的结构作用；作为结构应用的场合是指以利用其力学性能为主，但往往也考虑其物理性能的功能作用。多孔材料作为功能-结构双重应用的场合是指同时利用其物理性能和力学性能且两者并重，此时功能作用和结构作用同样重要。可见，多孔材料的基本力学性能指标是其应用设计的基本要求，其力学性能强烈地依赖于其孔率或表观密度[6,42]。因此，研究该材料力学性能与孔率的关系，具有重要的理论意义和实用价值。

网状泡沫金属一般用作功能-结构一体化材料，比如在多孔电极基体方面的大规模应用，既要作为电极集流体以传导电流，又要作为活性物质的支撑体而承受一定的载荷；再如生物医学人工骨的应用，既要具有生物相容性以接纳生物组织的生长，又要承受身体运动和体重本身带来的相应负荷[68-71];用作电池电极基体时，泡沫金属的拉伸强度(抗拉强度)极大地影响着整个电极的强度和卷成品率，决定着整个电池结构的稳定性，是关系到电池能否大批量工业化生产的关键[31]；用于植入材料时，其强度须足够高以在一定时期内持续承受生理载荷，同时还应使其强度与骨骼达成最佳匹配[34]。

3.2.1 物理模型及数理关系

3.2.1.1 拉伸强度分析模型

借鉴电阻率分析模型的构建方式，在本八面体模型的结构方式基础上，分析多孔体的单向拉伸性能时，仅考虑轴线方向与多孔体整体受力方向一致的八面体孔隙单元[8,21]。整个多孔体由大量这样的孔隙单元进行规则排列，它们具有相同的结构形态和受力状态。多孔制品中的孔棱结点承载能力一般大于其孔棱本身，故失效破坏一般发生在孔棱上。将构成高孔率网状多孔材料的孔棱视为细梁，则当多孔体承受拉压载荷，其承载单元所受载荷导致孔棱上任何位置的最大正应力达到对应致密材质的许用应力时，孔棱就会发生失效和破坏。大量这种同等孔隙单元中的等价孔棱的失效破坏，即可导致整个多孔体的失效和破坏。此时整个多孔体受到外加拉伸载荷所致整体名义拉应力即为该多孔材料的表观拉伸强度。

3.2.1.2 表征拉伸强度的数理关系

通过在拉伸强度分析模型基础上的分析推演，将多孔体孔棱作悬臂梁假设处理，运用工程力学和材料中的梁理论，得出表征多孔材料拉伸强度的关系公式[21]。

(1)准刚体结构受力模型：

σ≈K·(1-θ)3/2·[σ]

(2)

式中：σ为多孔材料的表观拉伸强度；[σ]为相应致密体的许用应力，对于脆性材质可代换为其对应密实材质的抗拉强度σ0。

(2)变形体结构受力模型：

σ≈K·(1-θ)m·[σ]

(3)

式中：m是多孔体对应致密材质的塑性指标，其值介于1和3/2之间。对应材质的脆性越大、刚性越高，则m越偏向于3/2；对应材质的韧性越大、塑性越高，则m越偏向于1；而当对应材质为塑性适中的一般金属或合金时，可近似取其中值，即m≈1.25。对于Cu，Sn等塑性较好的金属材料，其指数应偏向于1；对于Ti等塑性相对较差的金属材料，其指数应偏向于1.5；而对于Ni，Fe等塑性适中的金属材料，不妨将其幂次项指数近似取为(1+1.5)/2=1.25，则

σ≈K·(1-θ)1.25·[σ]

(4)

3.2.2 压缩强度

无论是对于韧性大的高塑性材质，还是对于刚性大的低塑性材质，或是材质塑性介于两者之间的一般性网状多孔材料，其表观压缩强度都可得到与式(2)同型的近似表征：

σ≈K·(1-θ)3/2·[σ]

(5)

该式适合于所有材质的网状多孔材料，这与GA模型理论一致。

可见，对于多孔材料拉伸强度的描述，八面体模型理论在(1-θ)项的指数方面与GA模型理论具有不同的取值方式；而在多孔材料压缩强度的描述中，对(1-θ)项的指数获得一致的取值，但其得到这一取值的来由也不尽相同。通过企业生产线制备的泡沫镍产品拉伸实验，验证了本拉伸强度分析模型的可行性及其数理关系的实用性[21-22]。

对于多孔材料承受压缩载荷的结构，一般都有强度更高的面板与其组成夹层结构(通称三明治结构)，这样可使外加载荷均匀地施加到多孔体的外表面，缓解直至消除其内多孔体承载后的局部应力集中问题。此时整体承载达到平衡后，多孔体内部承载单元的受力将趋于均匀，即载荷趋于向这些单元均布。因此，八面体分析模型中这些单元不但结构形态相同，而且其承载受力状况也相同。所以，从多孔体中隔离出一个这样的八面体孔隙承载单元，对其分析即可代表其他承载单元的分析。

3.2.3 数理关系说明

3.2.3.1 修正系数

上述公式是在多孔体三维同性的基础上推导出来的。当多孔体各向异性时，可将分析模型中的原单元八面体视为在轴向被拉长或压扁。从模型假设可知，此时各棱与单元八面体轴线的原始夹角便发生变化。由推导过程可知，这种变化效果最终落到公式(2)～(5)中的系数K上。所以，这些公式应用于各向异性的多孔材料时，其K值还与承载方向有关。

3.2.3.2 承载单元约束力

上述数理关系都是在自由拉压状态下推演得到的，即未考虑承载单元在拉压方向之外的相互约束问题。当然，这对于“准刚体结构受力模型”不会有太大的影响，但对于不能忽略变形作用的“变形体结构受力模型”就可能会有影响。但是，这种约束力对于多孔样品在垂直拉压方向上的尺寸(即横向尺寸)足够小，在拉压方向的尺寸明显大于其横向尺寸的情形，如拉伸样品，也不会有太大影响，否则其影响即会显现。据此，有关承载单元的受力状态也可归于后述的双向和三向作用。

3.2.3.3 指标的影响因素

除孔率这个关键性的重要因素外，孔隙形状、孔隙尺寸分布、材料内部缺陷特点及多孔体的具体结构方式等，这些取决于制备工艺的因素，也都可能对材料强度产生一定的甚至是较大的影响，从而给许用应力的合理取值带来问题。本理论公式把上述因素的作用累积在表征材料种类和制备工艺条件的常数项上，从而将它们表达出来。当然，公式基于高孔率特征，只适于高孔率范围，对较低孔率的计算会引起严重的失真，这是该估算方法的局限性。

3.2.3.4 其他

本模型公式与GA模型公式存在指数项表征的差异，后者对于塑性材质和脆性材质都取3/2[72]。但众所周知,在拉伸断裂过程中，致密的塑性材料会表现出屈服现象,而致密的脆性材料则没有这种现象。这就是说,两者在拉断过程中表现出的规律是不同的。因此,有理由认为,上述指数项对塑性材质多孔体和脆性材质多孔体,采用不同的取值方式是切合实际的。

至于其他模型理论，如Kelvin模型(十四面体模型)、菱形十二面体模型以及三棱柱模型、四棱柱模型、六棱柱模型等结构模型，由于它们的孔隙单元中都不同程度地存在着结构状态不同的孔棱，因此在多孔体受到拉伸作用时都会出现若干类受力状态各异的孔棱。所以，要通过这些模型直接而简捷地导出如上所述的拉伸强度数理关系，具有较大的难度。其过程也远比上述数理关系的推演复杂，因此不便在此一并做出类似于对GA模型那样的对比分析。这些模型所得理论关系一般可能比较复杂，需要较多的待定系数和中间参量。

3.3 多孔材料伸长率

多孔材料应用过程中经常会被要求具有一定的室温塑性变形能力，网状泡沫金属用于多孔电极即是一个代表性实例。如前所述，多孔电极基体材料在使用过程中会受到拉伸作用。在制作多孔电极的过程中，将使极板拉伸变形，故多孔基体应能有足够的延伸，否则易造成基板结构破坏。因此，伸长率也是作为多孔基体的泡沫金属不可或缺的一项重要指标。泡沫金属的伸长率强烈地依赖于孔率[42]，但以往对多孔金属伸长率与孔率的关联问题研究得并不多，且只对孔率较低的粉末烧结材料提出过两者的换算关系[42,73]。后来发展的电沉积法制备泡沫镍的工艺[47,74-76]已相当成熟，其中最大的市场即是用于电池电极[1-5,7,20-21]。

3.3.1 物理模型及数理关系

3.3.1.1 伸长率分析模型

在分析多孔体在单向拉伸载荷作用下的伸长率时，亦仅考虑轴线方向与多孔体整体受力方向一致的八面体孔隙单元[24]。通过从多孔体中隔离出孔隙单元进行拉伸分析推演，即可导出多孔体的伸长率表征。整个泡沫金属多孔体在拉伸期发生的塑性变形，主要是大量金属孔棱沿拉伸方向的塑性偏转，它们使多孔体在拉伸方向对应的相对伸长百分比即为该多孔材料的伸长率δ。虽然在此过程中也存在孔棱自身轴向变形和孔棱本身弯曲变形的问题，但孔棱自身轴向变形相对发生量很少(可以忽略)，而孔棱本身的弯曲变形则可并入孔棱偏转处理，最后由相应数理关系中的材料常数统一涵盖。

3.3.1.2 表征伸长率的数理关系

通过在伸长率分析模型基础上的分析推演，运用“孔棱悬臂梁”的处理方式，得出表征多孔材料伸长率的关系公式[24]：

δ≈K·[1-0.53(1-θ)1/2]

(6)

式(6)的推导基于高孔率材料的结构特征，只适于高孔率区间，如目前规模性使用的网状多孔材料产品的实际孔率范围(孔率在70%以上甚至更高)，而且应用前提是多孔体的孔棱不能细到其缺陷足以决定断裂和延伸。

3.3.2 模型理论分析

3.3.2.1 本模型理论

从本理论导出的式(6)可推知，该公式在孔率θ=1时仍有一个不为零的伸长率结果，这显然是不合逻辑的。而以往研究结果提出的关系式更是在θ=1时伸长率出现负值[42,73]。可见，关系公式的应用一般都有其适应的条件和范围。事实上，多孔体内部孔棱的径向尺寸小于某一值后，孔棱的缺陷将对整个多孔体的断裂和延伸起决定作用。此时只要缺陷足够严重，拉伸强度和伸长率都将为零。但多孔体的孔率不是特别高时，其孔棱一般不会太细，故这种缺陷影响不大。只有当多孔体的孔率非常高(例如超过99.5%)，孔隙尺寸又不很大时，孔棱一般就会非常细小，而容易产生伸长率为零的现象。所以，本理论公式的应用前提是多孔体的孔棱不能细到由其缺陷决定断裂和延伸。显然，θ=1的多孔体是不可能制造出来的，因此公式的理想适用范围上限是孔率可趋近于1而不是等于1。

3.3.2.2 经典模型理论分析

网状多孔材料的GA结构模型中，不但存在构成立方孔隙格子的孔棱以及其连接棱，而且立方孔隙的孔棱还有三种不等价的结构状态，在多孔体受到拉伸作用时这三种结构状态会出现不等价的受力状态。因此，它们对多孔体承受拉伸载荷而产生的伸长率的作用各不相同，需要比较复杂的计算[8]：每个立方孔隙单元有8条棱垂直于拉伸方向，其中有4条可能发生塑性偏转，对整个多孔体的伸长率有主要作用，另外4条对多孔体伸长率的作用不明确；平行于拉伸方向的棱只有塑性伸长对多孔体伸长率有作用。而且，连接棱与孔棱两者的尺寸比例不明确，其对多孔体伸长率的作用也有明显的差异。因此，从该结构模型出发难以推导出对应多孔材料的伸长率数理关系。Kelvin模型(十四面体模型)结构相对来说更为复杂，要做这种推演过程会更繁琐。而其他如菱形十二面体模型以及三棱柱模型、四棱柱模型、六棱柱模型等模型结构也各有特色，虽然复杂程度各不一样，但要做这种多孔材料伸长率的数理关系推演，同样具有相应的难度。如果要依赖于计算机模拟，模型理论在应用操作过程中也会显露其弱点和不足。

3.4 多孔材料弹性模量

网状泡沫金属以其优异的综合性能广泛应用于工程领域[4-6]，其有关力学性能得到了大量研究[6,77-81]。弹性模量和泊松比是工程材料比较基本的两个力学指标。例如，用作多孔电极基体的网状泡沫金属，在电池充放电过程中需要具有与活性物质膨胀和收缩相适应的弹性变形，从而对泡沫金属基体提出了弹性模量的要求。泡沫金属制品的弹性模量可直接影响整个电池的充放电性能及其使用效果和使用寿命。又如，用作生物植入体的多孔材料需要具有与自然骨质匹配的弹性模量，否则在受力时会产生变形不协调和应力屏蔽，导致植入体与自然骨的配合失效[32,34,68,70,82]。

3.4.1 物理模型及数理关系

3.4.1.1 弹性模量分析模型

承前伸长率分析模型所述，在拉伸载荷作用下，整个多孔体发生的变形主要是由于大量孔棱沿多孔体拉伸方向产生的偏转。在弹性变形范围内，这些孔棱偏转使多孔体在拉伸方向对应的相对伸长百分比即为该多孔材料的表观弹性应变。当多孔体的变形使其孔棱内部产生的应力达到对应致密材质的比例极限时，多孔体在拉伸方向上承受的名义应力即为多孔体的表观比例极限，多孔体的表观应变即对应为其表观线弹性应变极限。多孔体的表观比例极限与其在拉伸方向上的表观线弹性应变极限之比为其表观杨氏模量，其垂直于拉伸方向的横向表观线弹性应变极限负值与其拉伸方向上的表观线弹性应变极限之比则为多孔体的表观泊松比。

3.4.1.2 表征弹性模量的数理关系

通过弹性模量分析模型基础上的分析推演，沿袭伸长率研究中的“孔棱悬臂梁”处理方式，得出表征多孔材料杨氏模量Ea和泊松比νa的关系公式分别为[83]：

Ea≈KE·{(1-θ)m/[1-0.53(1-θ)1/2]}

(7)

νa=Kν

(8)

式中：KE，Kν为取决于多孔体材质的材料常数(当多孔材料各向异性时也与取向有关)。

关于上述关系的适用范围，正如作者多次提到的那样：基于网状多孔材料结构特征条件下的本模型理论，其性能研究适于较高的孔率区间(如70%以上)，可覆盖此类产品的实际孔率范围。因此，本八面体模型理论可以具有广泛的实践背景以及良好的实用价值。

3.4.2 模型理论分析

3.4.2.1 本模型理论的说明

从建立八面体模型开始，到获得泡沫金属的弹性模量数理表征，可以看出：通过本模型理论分析推演一系列相关数理关系的过程，自成具有自身特点的理论体系，富有理论体系本身的依承性、一贯性和逻辑性，而且获得这些数理关系的方式比较简便和直接。研究结果表明，高孔率网状泡沫金属的表观泊松比是一个与其孔率无关的材料常数。这一结论与Gibson和Ashby的研究结果相同[6]。用本八面体模型理论可以很好地诠释这一指标的孔率无关性和材质决定性，即多孔体在受到拉伸作用时，其内部孔棱沿拉伸方向的偏转程度(以偏转角大小来衡量)取决于孔棱的材质，这样就与多孔体的孔率无关；而该孔棱偏转角度决定了对应多孔材料的表观泊松比，因此其表观泊松比与孔率无关而仅由孔棱材质制约，亦即该泊松比是仅决定于多孔体材质的材料常数。

另外，本八面体模型理论获得的多孔材料弹性模量等数理关系，相对来说待定系数和中间参量少，获得过程也相对容易，因此应用比较简便。使用过程中，所需中间参量少，中间参量获取难度小，这是本模型理论数理关系的一大特点和优势。

3.4.2.2 孔棱的弯曲问题

从力学的角度来看，当杆件的长径比(L/r)大于10，一般就视其为细长杆。此时就应该考虑多孔体中孔棱的弯曲变形。有人认为，孔棱的长细比越大，其弯曲就会越严重，对模型的影响也会越大。如果把孔棱孤立起来用通常情况看，确会是这样。但由于孔棱是相互连接而组成多孔体，其受力变形状态就不会这样简单，因为其相互约束非常复杂。此时模型的处理方式很关键，显然是越简单越好，但又要能够由此出发最后获得符合实验结果的数理关系。因此，不同的模型理论可以有自己不同的处理方式，是否可行也不是单看该环节本身就能够判断的。事实上，对于比较复杂的受力系统，分析时很难做到考虑周全，所以也很难孤立出某一环节来直接判断其合理性。本八面体模型理论处理该环节的方式，是认为孔棱偏转到一定程度就会发生失效和破坏，无论孔棱本身发生的弯曲程度如何都是这样。根据本模型有关数理关系的推演，这一孔棱本身弯曲变形的作用可以统一合并到其“偏转程度”中去，而这个“程度”的层次变化可以通过作为修正系数的材料常数加以解决。因此，最后的数理关系形式可以保持统一。

对于GA模型，在该方面只考虑了组成立方孔隙并且与受力方向垂直的棱，而没有考虑所有的连接棱以及组成立方孔隙但与受力方向平行的棱，这样会对实际情况造成更大的偏离。但无论如何，模型理论处理问题的合理性和可行性，最终要由实验结果进行验证。

3.4.2.3 塑性指数m

本模型中的多孔材料塑性指标m值在1～1.5的范围内，而m=1只有在材质塑性极高的极端情况下才可能出现，如只有像泡沫铅这样的材质时才可以近似取1(略大于1)的值。尽管本模型及其相关弹性模量数理关系在理论上显示了其合理性，但由于研究条件的限制，目前还没有相应的实验数据，不能给出相关的定量分析和结果验证。Ashby等[78]给出了一些数据，但这些数据只是对某几种材料的宽泛标识，数据非常分散。根据这些数据，很难找到一个比较简便的数学关系表达。

3.4.2.4 孔棱的悬臂梁假设

关于孔棱悬臂梁假设方案，这是模型提出者对解决问题的一种处理方式。其假设方式即此悬臂梁模型建构的可行性和实用性，已得到相关实验结果的验证，如关于多孔材料拉伸强度和断后伸长率的实验结果，以及关于多孔材料双向拉伸的实验结果[8,20-26]。

3.4.2.5 模型结构的各向同性

对网状多孔材料提出的本八面体结构模型，是将此类材料的孔隙单元抽象简化为单元八面体。如2.2节建模所述，这种结构方式可以实现整个多孔体在3个相互垂直的正交方向上同性，即空间上的三维同性，但不能实现任意方向上的同性。不过，从几何学的角度上看，其结构模型只要不是球形，似乎都不可能做到任意方向上都同性。因此，能够做到上述三维方向上的同性，就可以大致体现均匀结构多孔材料的各向同性特征，并进行相关的性能分析。本模型理论关于多孔材料电阻率、拉伸强度和断后伸长率以及双向拉伸的实验结果[8,20-26]，都可以支持这一观点。

3.4.2.6 其他

对于多孔材料，在可密堆积的多面体孔隙单元模型中，本八面体模型的结构最为简单(例如，GA模型的立方孔隙结构虽简单，但其立方孔隙单元不能密堆积，要连接棱来连接这些孔隙单元)。本模型虽然结构简单，但能够做到结构单元与孔隙单元完全同一，所有孔棱结构全部等价，受力状态对应等价，并能够反映三维方向同性的特征。对比关于多孔材料的不同模型，还可发现，本八面体模型理论在对此类材料的电阻率、拉伸强度、断后伸长率，以及弹性模量分析推演和后续对双向载荷、三向载荷、其他常见载荷、疲劳性能分析推演等，总体上都是较为便捷和简单的。而且，这些性能分析都是源于同一单元八面体孔隙结构模型，工作具有良好的连贯性。

另外，本文第一作者提出的“八面体分析模型”，是一个对随机发泡型高孔率网状多孔材料的抽象简化分析模型，其结构形式是对此类材料的真实孔隙结构进行的抽象和简化。作为一种近似，本“八面体分析模型”完全可以用于低密度开孔泡沫材料的描述，就像GA模型和Kelvin模型等模型理论一样。八面体模型体系展示了其理论上的合理性，它虽然不是真实的孔隙原貌模型，但能同时反映轴力(拉压)变形机制和弯曲变形机制。按照这一观点，本模型对低密度开孔泡沫材料应具有对应的实用价值。当然，其实用性应由实践来检验。

还有一点需要补充：有专家提出，尽管泊松比是泡沫金属材料的基本力学性能指标，但研究泡沫材料在线弹性状态下的泊松比一类的工作意义不大，因为“实际应用的通常是泡沫金属在整体屈服状态下的泊松比”。但本文作者认为，既然是“基本力学性能指标”，那自然就有其研究的意义。而专家所指的“整体屈服状态下的泊松比”可能也是一个重要的应用指标，但需要为该指标给出一个明确的诠释，因为就一般意义上的认识，泊松比是个弹性常数，而屈服状态显然不在弹性阶段。

3.5 多孔材料双向拉伸

实际工程结构所受载荷常常具有多向性，故对其双向和三向承载行为的研究也就十分必要。多孔材料在应用中往往也会受到多向拉伸和压缩的复杂载荷作用，而平面内任意方向的载荷都可以在平面直角坐标系中分解为2个互相垂直方向上的分量，所以面内多向载荷都可以化为双向载荷来处理。

3.5.1 物理模型及数理关系

3.5.1.1 双向拉伸分析模型

在分析多孔体的双向拉伸性能时，受力分析仅考虑轴线方向与多孔体整体受力方向一致的2个方向的八面体孔隙单元[25-26]。将构成高孔率网状多孔材料的孔棱视为细梁，根据此时孔棱的结构状态和受力状态求出其合力，即可参照多孔体单向拉伸相类似的处理方式进行后面的推演。当多孔体承受拉压载荷，其承载单元所受载荷导致其孔棱上任何位置的最大正应力达到对应致密材质的许用应力时，孔棱就会发生失效和破坏。大量这种同等孔隙单元中的等价孔棱的失效破坏，即可导致整个多孔体的失效和破坏。

3.5.1.2 表征双向拉伸的数理关系

通过在双向拉伸分析模型基础上的分析推演，承袭拉伸强度研究中的处理方式，得出表征多孔材料双向拉伸状态下的力学关系为[25-26]：

(σ1+σ2)≈K·(1-θ)m·[σ]

(9)

式中：σ1和σ2是多孔体在双向拉伸失效破坏时的2个名义主应力。

进一步表达成偏应力的简单形式，即有:

(10)

(11)

式中：σd和σm分别为双向加载状态下拉伸破坏时的偏应力和平均应力。

3.5.1.3 双向拉压问题

当多孔材料处于一般性的双向拉压载荷时，即其承受的双向载荷既有拉伸又有压缩时，可以得到与上式类似的数理关系[25,68]。此时，外加载荷为拉伸时对应的名义主应力取正号，外加载荷为压缩时对应的名义主应力取负号。当多孔体所受载荷以拉伸为主，m取值方式同上；但当多孔体所受载荷以压缩为主，m通取1.5，因此双向压缩时m必取1.5。

3.5.2 模型理论分析

3.5.2.1 力学模型的基本假设

实际各向同性三维网状结构可以同时存在许多大小和形状各异的孔隙单元，孔棱的具体形态也可以各不相同。因此，孔棱的细观力学行为在一定程度上亦互不相同，造成复杂的力学状态。为简化分析，这种复杂的结构可由一种抽象出来的较为简单的形式来进行等效处理[6]。在本八面体模型中，抽象简化的具体结构的力学行为仅仅是实际各向同性网状结构的统计平均性等效表征，其可靠性还有赖于材料常数的引入来做进一步的保证。

3.5.2.2 本模型理论的总体性评述

基于所得多孔材料双向拉伸破坏时两向名义应力与孔率的数理关系，可进一步得出双向承载条件的安全载荷水平判据。当双向承受的名义应力相等时，还可得到多孔材料在双向等荷承载条件下的载荷强度与孔率的量值关系。通过该数理关系，可以换算出对应不同孔率值的该类材料所能承受的双向载荷水平，即该关系式可以作为多孔材料在双向受力状态下使用时的强度设计判据。本模型体系不但在这些方面优于多孔材料的其他相关模型理论，而且还能够实现模型孔隙单元中孔棱的结构等价和受力状态等价，并能在单向和双向承载(以及后述三向承载)时对孔棱进行受力分析。

由于本八面体模型和相应假设普遍适合于三维同性网状多孔材料，因此所得数理关系可望符合一般性的应用。尽管已有证明其实用性的实验例证有限，但却具有良好的代表性[8,20-26]。

3.5.2.3 其他模型理论比较分析

在多孔材料多向承载方面所作研究中最具代表性的主要是Gibson和Ashby的工作，但一些分析结果显示其合作建立的经典性理论模型存在应用困难。例如，在单向载荷条件下，GA模型可以很好地采用孔棱的隔离分析方法，根据梁理论求取结构内部孔棱上产生的最大应力；但对于多孔体的双向和三向承载，要继续运用该方法似乎是困难或不可能的，因而该模型理论在数理推导过程的相关环节中直接使用了连续介质的偏应力关系表征(即孔径对于试样尺寸来说小到一定程度就可以视为连续体，但这个“一定程度”是很不明确的)。关于多孔材料，另一具有代表性的模型是Kelvin的十四面体模型，此外还有菱形十二面体模型以及三棱柱模型、四棱柱模型、六棱柱模型等。其中在模拟计算中使用较多的是十四面体模型和菱形十二面体模型。这些模型则无论多孔体的受力状态是单向载荷、双向载荷和三向载荷，均无法运用梁理论进行直接受力分析而进行有关推演。借助于本八面体模型，在单向、双向以及三向载荷状态下均可方便地运用梁理论对多孔材料进行受力分析和推演。通过梁理论得出的多孔材料多向拉伸失效破坏数理关系，还可换算出对应不同孔率值的多孔材料所能承受的多向总体载荷水平。这些似乎都是其他模型理论体系所难于或不便于实现的。

3.6 三向拉压力学模型

在实际工程应用中，除最简单的单向载荷作用以及双向载荷作用外，多孔泡沫材料也可能会受到空间多向载荷作用[6,84]。对于任一方向的载荷，都可将其分解成相互垂直的3个分量。可见，多向载荷的处理可转化成为三向载荷的问题。因此，探讨多孔材料在三向承载条件下发生失效的载荷条件，并据其力学性能依赖于孔率的特点，找出该材料三向拉压承载水平与孔率的关系，对于该材料的优化设计和实际应用具有良好的指导意义和参考价值。

3.6.1 物理模型及数理关系

3.6.1.1 三向拉压分析模型

对于多孔体承受三向拉伸载荷的情形，其分析模型可以沿袭单向拉伸及双向拉伸的分析方法，此时受力分析中3个相互垂直方向上的孔隙单元都需要考虑[85-86]。与双向拉伸情况一样，将多孔体的孔棱视为细梁，根据此时孔棱的结构状态和受力状态求出其合力，即可参照多孔体单向拉伸的类似处理方式进行推演。当多孔体承受拉压载荷，其承载单元所受载荷导致其孔棱上任何位置的最大正应力达到对应致密材质的许用应力时，孔棱就会发生失效和破坏。大量同等孔隙单元中等价孔棱的失效破坏，即可导致整个多孔体的失效和破坏。

3.6.1.2 表征三向拉伸的数理关系

通过在三向拉压分析模型基础上的分析推演，承袭拉伸强度和双向拉伸研究中的处理方式，得出表征多孔材料三向拉伸状态下的力学关系为[85-86]：

K·(1-θ)m·[σ]

(12)

式中：σ1，σ2和σ3是多孔体在多向拉伸破坏时的3个名义主应力。

借用连续介质力学中的偏应力σd和平均主应力σm的概念

(13)

得：

(14)

3.6.1.3 三向拉压问题

当多孔材料承受的三向载荷既有拉伸又有压缩时，即多孔材料处于一般情况下的三向拉压载荷情形时，可以得到与上式完全相同的数理关系。此时外加载荷为拉伸时对应的名义主应力取正号，外加载荷为压缩时对应的名义主应力取负号。其中塑性指标m取值规则如下：当多孔体所受载荷以拉伸为主时，m取值方式同前所述的单向拉伸，但当多孔体所受载荷以压缩为主(即上述σ1，σ2和σ3中较大的为压应力)时，m通取1.5，可见三向压缩时m必取1.5。

根据上述数理关系,可以换算出对应不同孔率值的多孔材料所能承受的多向载荷水平，即该关系式可作为在多向承载状态下使用时的载荷设计判据。关系式的推演很好地承袭了多孔体的单向拉伸和双向拉伸情形，实现了从单向到多向受力状态分析的连续性和系统性。本模型在多孔体的受力分析方面，其单、双、多向载荷状态分析方式的一贯性和便捷性，明显地优于其他模型理论体系。

3.6.2 模型理论分析

3.6.2.1 孔棱细梁假设

在本八面体模型理论的有关数理关系推演过程中，多孔体内部孔隙单元的孔棱均作细梁假设，这是对高孔率网状多孔材料研究的一种处理方式。这种简化数理推演而运用的处理方式，之前即已被本领域最具名望的Gibson和Ashby等人所采用，并已被他们的理论工作及其大量的实验工作证明是合理的和可行的[6]。

当然，当孔率较小时，对孔棱的细梁模型即不再适用。一般情况下，当多孔体的孔率小于70%以下时，细梁模型即被认为不再适用。因此，涉及这一问题的对应GA模型理论，也与本八面体模型理论一样，要将其应用范围限制在孔率70%以上。但其实这一孔率范围已为网状多孔材料实际产品的“高孔率”特征所限制，所以将模型理论用于此类产品时无须另外考虑适用范围，更不用考虑孔率为0的极端条件。

3.6.2.2 几何参量作用

对于一定的制备工艺方法和材质，孔隙大小和分布等几何参量均有相应的规律。将这些参量的作用统一表征于数理关系式的材料常数或工艺影响因子中，证明是可行的。如果要进一步表达这些几何作用，复杂性和难度就会明显增加。利用所得结果可达到以孔率推知多孔材料多向承载水平的目的，实现强度与孔率的优化组合设计。

3.6.2.3 模型的适应性

本八面体分析模型试图以一个简单的方式表征三维同性网状多孔材料的特点，因此其对应于所有这种类型的网状多孔材料。其设想的孔棱结构方式不但可以实现多孔体中所有孔棱的等价，同时也可实现多孔体中结构单元与孔隙单元的统一，还可使多孔体在前后、左右、上下3个垂直方位具有等同性。上述推演虽是基于八面体分析模型，但正如前文已经提到过的，该模型其实是一个对三维网状泡沫体进行抽象简化而得到的结构-性能分析模型，因此结果可以表征所有三维网状的高孔率泡沫材料，而不限于八面体孔隙单元结构的多孔体。就像GA模型并不限于立方体结构的多孔材料和Kelvin模型并不限于十四面体结构的多孔材料一样。关于本八面体分析模型对多孔材料力学行为的实际表征，文献[21-25]提供了应用于具有代表性的三维网状多孔材料在单、双向承载状态下的相应实验数据，证明表征效果是良好的。

实际泡沫材料的破坏一般呈现出递进的演变过程，由微小的破坏带逐渐发展，最终诱导发生整体性的宏观破坏。因此，多孔体的实际破坏过程，也不会是孔棱上一点的局部应力达到相应的许用值就立即发生其宏观性的整体破坏。虽然本模型是以理想的孔棱等同和分布均匀假设为前提，但通过引入修正性的材料常数K就可较好地适应于实际的多孔材料。类似的做法已得到实验数据的支持，验证结果良好[21-25]。

3.6.2.4 性能计算

虽然目前已有一些关于多孔材料的力学模型和性能计算工作，但大多处于理论研究状态。这些理论工作结果与实践的接合，一般还要经历较多的中间环节，其间还有许多工作要做。有些计算方法(如用得较多的有限元法等)需要一些关键性的中间参量，而这些中间参量的获取往往需要对多孔材料实体进行较烦琐的实际测量，其中有些还难以得到可靠的数据。由于上述种种原因，理论模拟计算的实践性还有待加强，以真正方便作为多孔材料的设计依据。根据这种情况，今后宜大力开展理论模型、模拟计算与材料设计实践紧密结合的研究，从而改变实际多孔材料设计不便采用和不敢放心采用理论数据的状况。

3.6.2.5 力学性能的影响因素

多孔材料的力学性能对其孔率因素最为敏感，即孔率是影响力学性能的主要因素，这一点似乎已成为不争的结论。但是，孔隙形状、尺寸及其分布等因素，也都会不同程度地影响多孔材料的力学性能。不过，这些因素对性能结果的影响，可视为性能结果对理想结构的偏离，即对理论模型的偏离。因此，其影响的综合作用可统一表征于材料常数和/或工艺常数中，用以修正理论模型对实际状态的偏离。

3.6.2.6 其他补充说明

空间多向拉压最终都可以通过载荷正交分解的方式得到三向拉压的受力分析状态。多孔材料在实际应用中承受拉压载荷的情况比较复杂，但一般都是在某个或某2个方向上承受拉伸或压缩作用为主，其他方向的载荷相对较小。实践中，三向等应力或近等应力拉压的多孔材料承载情况一般很难发生，因此，本数理关系可普通适用。

运用上述模型数理关系，还可以进行多孔材料承载失效模式分析，如压缩载荷下泡沫体孔棱的剪切失效模式和屈曲失效模式等[87-88]。

3.7 其他载荷形式力学模型

对于工程材料，除拉伸和压缩等基本载荷形式外，还有弯曲、扭转、剪切等常见载荷形式。例如，在生物医学领域，人工骨骼既需要泡沫金属植入材料具有开孔网状结构，同时移植人体后要承受一定的载荷作用[29]；而载荷形式在很多情况下往往都是比较复杂的，包括压缩、弯曲、扭转等作用，此时抗弯强度和抗扭强度也是应用过程中的重要因素[69]。以往的相关研究主要集中于泡沫材料的拉压性能(其中特别是压缩)[6,78]，而对其弯曲、扭转和剪切等不同载荷形式的研究相对较少(特别是对扭转、剪切等作用)，只有少量有关的实验性研究报道[69,89-90]。

3.7.1 剪切载荷作用

均匀结构网状泡沫金属被视为八面体孔隙单元集合。剪切载荷作用下，多孔构件内最大名义切应力(可通过工程力学和材料力学根据不同类型的构件形式求算)造成孔棱内部产生的最大拉应力达到对应密实材质的许用应力大小时，就会萌发孔棱失效而导致多孔体的整体性失效。由此分析推演，承袭拉伸强度研究中的孔棱处理方式，得出表征多孔体构件在剪切载荷作用下发生失效破坏时构件中最大名义切应力与孔率的数理关系为[91-92]：

(15)

式中：τmax为多孔体构件内部产生的最大名义切应力；KQ是材料常数(剪切材料常数)，取决于多孔体的材质种类和制备工艺条件。

3.7.2 扭转载荷作用(扭矩作用)

多孔体构件在承受扭转载荷时，由其名义扭矩导致的八面体孔隙单元中孔棱内部产生的最大拉应力达到对应密实材质的许用应力大小时，就会萌发多孔体的整体性失效。由此分析推演，承袭拉伸强度研究中的孔棱处理方式，得出表征多孔体构件在扭转力作用下发生失效破坏时构件中最大名义扭矩与孔率的数理关系为[92-93]：

KT·WP·θ·(1-θ)m·[σ]

(16)

式中：Tmax为多孔体构件所能承受的最大名义扭矩，可通过工程力学和材料力学进行计算求出；KT是材料常数(扭转材料常数)，同样取决于多孔体的材质种类和制备工艺条件；WP为与多孔体构件形状和尺寸均相同的对应同质致密构件的扭转截面模量。

3.7.3 弯曲载荷作用(弯矩作用)

按照剪切载荷形式中的物理模型假设，建立三维同性均匀网状泡沫金属的简化分析模型。多孔体构件在承受弯矩作用时，由其在构件的八面体孔隙单元中孔棱内部引发的最大拉应力达到对应密实材质的许用应力大小时，就会萌发多孔体的整体性失效。由此分析推演，承袭拉伸强度研究中的有关处理方式，得出多孔体构件在弯曲载荷作用下发生失效破坏时能够承受的最大名义弯矩大小可表达为[92,94]：

KB·Wz·θ·(1-θ)m·[σ]

(17)

式中：Mmax是多孔体构件所能承受的最大名义弯矩大小；KB是材料常数(弯曲材料常数)；Wz为与多孔体构件形状和尺寸均相同的对应同质致密构件的抗弯截面模量。

3.7.4 关于模型本质和验证问题

本文的八面体分析模型是对所有各向同性三维网状多孔材料的抽象。基于本分析模型的建构原则，在受力分析过程中可抽取一个孔隙单元来表征整个结构的受力状态，同时也可由一条棱来推演整个结构单元的力学行为。

对于本部分数理关系的实验结果佐证问题，由于所要求的同工艺系列孔率的泡沫金属材料样品制取难度较大，目前还不易实施。该项实验数据也未见报道。

3.7.5 孔棱破坏模式

当多孔体构件承受剪切、扭转、弯曲等载荷时，对应地，由其名义切应力τ、名义扭矩T、名义弯矩M引起的多孔体孔棱内部最大拉应力σmax达到对应密实材质的抗拉强度σ0大小，或者多孔体孔棱内部最大切应力τmax达到对应密实材质的剪切强度τ0大小时，都会诱发多孔体的整体性破坏。考虑到脆性材质的剪切强度与抗拉强度大小相当(即τ0≈σ0)以及韧性材质的剪切强度略高于其抗拉强度的半值(即τ0≈(0.5～0.577)σ0)[95]，比较可以满足有关条件关系的难易程度，得出：在扭转、剪切和弯曲载荷的作用下，脆性材质的多孔构件的孔棱多呈拉断破坏模式；韧性材质的多孔构件，当其材质的τ0为其σ0的半值或接近半值时，孔棱趋向于剪切断裂破坏，而当τ0超过其σ0的半值时，孔棱仍将趋向于拉断破坏[96-97]。可见，多孔构件在载荷作用下大多都是孔棱拉断的破坏模式，但有时也可能出现孔棱趋向于剪切断裂的破坏模式。

3.8 多孔材料疲劳性能

疲劳也是工程材料在使用过程中可能遇到的基本力学性能之一。作为一种用途广泛的功能结构材料[1-5]，泡沫金属也会遇到疲劳问题。该类材料具有大量孔隙、弹性内耗大、小能量冲击性能好，在能量不大的冲击和循环负荷下使用，能获得满意的结果[6,42]。由金属沉积法和渗流铸造法等工艺制备的高孔率网状泡沫金属，在很多情况下可以适应于上述用途。但在某些应用场合，会遇到疲劳(材料在大小或方向随时间而变化的交变应力作用下发生的失效[95])或类疲劳的问题：如在震动装置中，会受到震源的反复冲击；在高载场合使用多孔植入体，一个主要关注问题即是多孔基体对疲劳强度的影响；做电池多孔电极的基体，在活性物质灌注和充电过程中都会产生应力和疲劳[98]，引起基体网眼结点的机械破坏，影响电极长期使用过程中的容量衰减[99]。疲劳性能强烈地依赖于材料的塑性，从而也像塑性一样强烈地依赖于多孔体的孔率/相对密度[42]，而且多孔体在循环应力条件下的应用不断增多，故疲劳-孔率的关系变得相当重要[73]。

3.8.1 物理模型及数理关系

3.8.1.1 疲劳性能分析模型

将三维同性网状泡沫金属视为大量体心立方式结构的孔棱所形成的八面体孔隙单元集合[8]。无论多孔体所受载荷是循环拉压还是循环弯曲，总可归于其单元八面体在各自轴向的往复拉压(其中循环弯曲作用时多孔构件中性层两侧的单元八面体拉压正好相对)，即孔棱具有产生绕结点的来回偏转或具有这种趋势。而多孔体的反复扭转也由其内孔棱绕结点的往复偏转来实现，更是易于直接理解。因此，多孔体的循环负荷性能，最终可由孔棱所受的反复弯曲载荷来体现。在做疲劳性能比较时，对同工艺同材质的多孔体，可简单地统一考虑其均匀孔棱所受的弯曲作用，最终归结为该弯曲作用使孔棱产生的最大应力，即在同样的外加循环载荷作用下，同质孔棱产生的最大应力幅值越小，多孔体的疲劳性能越好。

3.8.1.2 表征疲劳性能的数理关系

(1)类应力疲劳(多孔材料整体所受外加循环载荷为应力幅控制)

通过疲劳性能分析模型基础上的分析推演，得出表征多孔材料类应力疲劳性能指标的疲劳因子(应力疲劳因子)为[100]：

Fσ=Kσ(1-θ)-m

(18)

式中：Fσ为应力疲劳因子；Kσ是材料常数。

无论是在弹性区还是在塑性区，Fσ都可以作为比较材料疲劳性能的指标，即在同一循环载荷作用下Fσ越大的泡沫金属越易产生疲劳。只要多孔体发生受应力幅控制的疲劳现象，其疲劳性能总可用Fσ作为比较性的表征，从而把疲劳性能与材料的孔率联系在一起。

(2)类应变疲劳(作用在多孔体上的外加循环载荷受应变幅控制)

通过在疲劳性能分析模型基础上的分析推演，得出表征多孔材料类应变疲劳性能指标的疲劳因子(应变疲劳因子)为[100]：

(19)

式中：Fε为应变疲劳因子；Kε为取决于多孔体制备工艺和材质的常数；d为多孔体中孔隙的等效圆孔直径。

无论是在弹性区还是在塑性区，Fε都可以作为比较多孔体疲劳性能的指标，即在同一循环载荷作用下Fσ越大的泡沫金属越易产生疲劳。只要多孔体发生受应变幅控制的疲劳现象，其疲劳性能总可用Fε来作为比较性的表征，从而把疲劳性能与材料的孔率联系在一起。

3.8.1.3 疲劳因子分析

(1)对类应力疲劳因子Fσ的分析

对于同工艺制备的同质多孔泡沫金属，在同等循环载荷的作用下，如果在弹性应变范围内其孔棱所受往复应力幅值σmax(大于疲劳极限)越大，则多孔体的疲劳损伤会越严重。根据文献[100]可知，外加载荷幅值一定，则Fσ越大的材料其孔棱受力幅值σmax越大，多孔体越易产生疲劳。所以，Fσ可作为衡量多孔体类应力疲劳性能高低的指标。

当金属孔棱应变进入塑性区，则同一循环载荷条件下多孔体的Fσ越大，其应变超出弹性极限的距离也就越远，即进入塑性区越深，故其疲劳性能会越差。因此，无论是在弹性区还是在塑性区内，Fσ都可以作为比较材料疲劳性能的指标。由表达式可看出，同工艺同材质制备的多孔体，孔率越高，Fσ值越大，越易产生类应力疲劳。

值得指出的是，由于Kσ为取决于多孔体制备工艺和材质的材料常数，与孔率无关，可见Fσ/Kσ能够起到与Fσ同样的疲劳表征作用。

(2)对类应变疲劳因子Fε的分析

当多孔金属的孔棱处于弹性应变区，最大应力幅与最大应变幅成比例，这时只要产生的最大应力幅大于对应致密金属的疲劳极限，就可以用式(19)表达的Fε来表征多孔体的类应变疲劳性能。

当多孔体孔棱的最大应变幅处于塑性区，应力和应变的关系就比较复杂。但对同一方法制备的同质多孔材料，Fε较大时其孔棱尺寸也较大[100]，从而使同样的循环应变作用产生的最大塑变幅度也较大，这时孔棱和整个多孔体较易疲劳。所以，Fε仍可衡量多孔体的类应变疲劳性能。

总之，只要多孔体发生类应变疲劳，其疲劳性能的相对优劣就总可用Fε来表征。Fε与孔率和孔径都有关系，当然还与材质和多孔体制备工艺有关。孔径越大、孔率越小，则Fε值越大，多孔体越易产生类应变疲劳。

3.8.2 模型理论分析

3.8.2.1 本模型理论的实用性

疲劳因子Fσ和Fσ是关于多孔材料不同类型疲劳性能的衡量指标。式(18)和式(19)把这两项指标与孔率联系在一起，从而得出了多孔材料疲劳与孔率的某种对应关系。但关系式并不是对疲劳性能具体量值的一种计算，而只是反映疲劳性能随孔率变化的一种趋势，可应用于判断疲劳性能随孔率的走向以及疲劳性能的相互比较等场合。文献[100]的实验数据表明，样品疲劳性能相对优劣的实验考核指标(Δρ/ρ)走向规律与对应模型指标(Fσ/Kσ或Fε/Kε)走向一致，这直接印证了模型理论的正确性和实用性。

3.8.2.2 某些环节的处理方式

根据本八面体模型理论的建构，无论是循环拉压载荷作用还是循环弯曲或循环扭转载荷作用，都可转化为多孔体内部孔隙单元的往复拉压问题。在多孔体承受应变幅一定的循环加载过程中，其总体上的反复变形幅度即为一定，此时多孔体内部孔棱的轴线运动幅度也一定。在这种情况下，孔棱越粗，意味着其表层产生的最大伸缩量越大，从而导致应力幅值也越高，故在同等循环载荷作用下多孔体越易疲劳。当然，如果多孔体承受的是应力幅一定的循环加载，则情况完全相反。此时若多孔体的孔棱越粗，则其截面弯曲模量越大，孔棱表层可产生的最大应力(正应力)就会越小，因而多孔体越不易产生疲劳。这些都体现在式(18)和式(19)中，并由相关实验结果所验证[100]。

此外，本工作之所以将泡沫金属的疲劳问题分为应力幅控制的类应力疲劳和应变幅控制的类应变疲劳两种情形，系因为这是工程材料可能遇到的最基本的两种循环载荷形式。当然，工程构件在实际使用过程中遇到的循环载荷形式可能远比这两种情况复杂，但分析研究可以以此为基础展开。

3.8.2.3 其他相关讨论

对于传统的粉末烧结多孔金属材料，孔率较低，孔隙孤立(孔隙是引起应力集中和产生疲劳裂纹源的场所)[42,73]。因此，人们趋于认为提高孔率将降低材料的疲劳性能。然而，却未曾发现疲劳和孔率关系的理论性研究报道，也未见到明确地对疲劳和孔率关系的数理描述。

后期发展的高孔率泡沫金属相对来说是一种新型的多孔材料。本工作对其疲劳-孔率关系的研究表明，对于受应力幅控制的循环载荷，多孔体的疲劳性损伤随孔率增大而增大；而相应的类应变疲劳性能却随孔率增大和孔径减小而变好。这些主要都是因为高孔率泡沫金属对传统的孔率较低的多孔材料而言，具有较独特的结构特征所致。

高孔率开孔泡沫金属的孔率高、孔径大、孔隙连通，它不再被视为引起应力集中的“缺陷”或“夹杂物”，而是一个广阔的“环境”。裂纹源的形成主要不在于孔隙，而在于孔棱本身所能产生的最大应力。当然，孔棱的表面状况和内部缺陷，如表面沟纹、内部夹杂物和亚孔(孔棱中存在的比主体孔隙小得多的微细孔隙)等，都会影响孔棱所能产生的最大应力，它们可以造成应力集中和形成裂纹源。但这些可分别纳入式(18)和式(19)的常数项Kσ和Kε之中，故该两式利用孔率孔径可方便地进行高孔率网状泡沫金属疲劳性能的比较。这对于不同应用场合的选材和设计是有利的。

疲劳破坏经历裂纹形成、扩展和瞬断3个阶段。疲劳裂纹源一般总是出现在应力最高的部位[101]。受弯曲或扭转后表层应力最高，故裂纹源大多在表面层的峰值应力处。本理论对Fσ和Fε的推演，正是建立在表层产生最大应力的前提下，因而其出发点具有合理性。

影响疲劳强度的因素很多[101-102]，包括材质、材料状态和工作条件。材质方面有化学成分、金相组织以及表面条件和内部缺陷等；材料状态方面有应力集中因素、尺寸因素、表面处理因素等，这两方面都可体现在Fσ和Fε表达式中的常数项Kσ和Kε上；至于工作条件的载荷特性、环境介质和使用温度等，只要保持一致，高孔率开口泡沫金属的疲劳性能就仍可用式(18)和式(19)表达的Fσ和Fε来比较。

3.8.3 相关工作对比分析

在泡沫体简单受力状态下，Gibson和Ashby的立方结构孔隙单元模型可以直接运用几何力学的方式进行相关分析，但他们没能根据该模型开展多孔材料的疲劳性能研究工作，这可能是其中某一或某些环节遇到了困难，比如孔隙单元中不同孔棱的受力分析综合处理等。其他较复杂的结构模型(如十四面体模型、FCC格子模型、菱形十二面体模型等)可能更接近泡沫体的真实结构，但也可能不便于通过简单的方式推演有关性能的关系表征，而需依靠数据模拟和计算软件才能实现计算功能。

本八面体孔隙单元模型的特点是构造相对简单，便于直接运用几何力学的方式进行相关的数理推演，并获得易于使用的数理关系，无须借助数据模拟和计算软件就能实现性能指标计算或性能对比计算。而且本模型理论在解决多孔材料一系列物理、力学性能问题方面是相承相依的，具有良好的连贯性和系统性。

本八面体模型理论对网状多孔金属材料疲劳性能的探讨，获得了多孔体的孔率和孔径等孔隙因素对该性能的直接表征，其中的孔率参量其实是开孔率。只是由于一般网状多孔金属产品的闭孔率相对很小，开孔率与总孔率近似相等，而总孔率的检测比开孔率还要简单、方便，因此上述表征关系中就直接使用了总孔率指标。

3.9 多孔材料比表面积

虽然多孔材料比表面积是一个结构性的参量，但在实际应用中具有与物理、力学性能指标同等重要的地位。在多孔材料的很多应用中，如消音降噪、热量交换、反应催化、电化学过程以及人工骨骼生物组织内生长等场合，都需要利用其内部孔隙的表面(即多孔体的内表面)，其使用性能强烈地依赖于孔隙表面(即孔棱/孔壁的表面)的结构形态和多孔体比表面积的大小[103-107]。该材料用于热交换和散热等热传递过程时，由于传导、对流、辐射三种方式的传热均与多孔体的内表面积有关[108]，多孔体的比表面积会对热传递效率产生重大影响；在声音吸收和消音降噪等能量衰减过程中，声波在多孔体内的反射、折射、吸收，以及声波引起介质振动而与孔隙表面产生摩擦生热等，也都与内表面直接相关，多孔体的比表面积大小会严重影响到声能的衰减程度[109]；在作为多孔态人工骨骼方面，多孔体的内表面积则涉及生物组织内生长时与人工骨的结合面等问题；此外，分离过滤时多孔体内表面的吸附作用，也会影响到分离过滤的效果等等。泡沫金属具有发达的表面和很强的表面作用，可制成高效能的传热换热装置、消音降噪装置和催化剂载体，也可制成高效电池电极基体和多种电化学过程电极等。在这些突出利用表面作用的场合，多孔材料的比表面积指标显得尤为重要，直接影响着多孔体的使用性能，故这项指标成为整个多孔部件的一个重要参量。

3.9.1 物理模型及数理关系

3.9.1.1 比表面积分析模型

为简化网状多孔材料比表面积的分析过程，可将其结构表征为由其孔棱规则地按立方体对角线方式连接而形成的大量正交密堆积的八面体孔隙单元集合。因为高孔率多孔体中孔棱结点所占空间相对很小，其表面积相对于孔棱的表面积也就很小。因此，多孔体内部孔隙的表面积，主要贡献来自孔棱，而结点贡献可近似地纳入到孔棱一并计算[110]。于是，一个单元八面体中各条孔棱表面积的总和，与包含这个单元八面体的立方体体积之比，即可表征整个多孔体的体积比表面积，较确切地说是有效体积比表面积。

3.9.1.2 比表面积数理关系

通过在比表面积分析模型基础上的分析推演，得出表征多孔材料体积比表面积的计算公式[110]：

(20)

式中：SV为多孔体的比表面积，cm2/cm3；KS为材料常数；d为多孔体的平均孔径，mm；n为多孔体孔隙结构形态的几何因子。

3.9.2 模型理论分析

3.9.2.1 本计算方法的适应性

本模型关系公式的理论部分基于高孔率多孔材料，故整个公式应该只适于高孔率范围，如可应用于电沉积法制备的网状泡沫金属和渗流法制备的开孔胞状泡沫金属等多孔产品。

孔率不变，多孔材料制品的比表面积随孔径增大而减小。而保持孔径不变，多孔材料制品的比表面积随孔率的提高先增大后减小，有一个极大值，对应于该极值的孔率值随多孔体的制备工艺和材质以及孔径值而异。

3.9.2.2 本计算方法的优越性

在多孔材料比表面积的获知方面，以往一般都是采用直接测试的方法，当然其中也会用到材料的其他一些参数。对于多孔材料比表面积的测试，目前采用的主要方法有气体吸附法(BET法)、流体透过法和压汞法等[5]。在一些场合，由于测量方法、测试设备以及材料取样等方面的限制，给测量工作带来很大的不便，有时则根本无能为力。而对多孔材料比表面积的理论计算，都是限于已知多孔体孔隙尺寸、孔棱尺寸(或孔壁厚度)和更多的结构参量为前提条件的方法[18-19]。在实践中，孔率和孔隙尺寸可通过一些比较简单的实验方法进行测试，特别是具有统计性质的简单方法，得出的结果也比较可靠；但孔棱尺寸或孔壁厚度等结构参量的问题则比较麻烦，利用孔率和孔径等易知易测或可测的少量指标来间接求算比表面积的研究，特别是其可较广泛地适应于不同工艺方式制备的不同结构多孔材料的研究，是一项具有实际意义的工作。本工作即是根据一般性多孔材料的简化结构处理结合有关实验数据，提出了通过孔率和孔径这两个指标来估算多孔材料比表面积的方法。该法利用多孔体的孔率和孔径等普通参量，可方便地计算不同结构多孔材料的比表面积，并可用于对多孔产品比表面积不能或不便直接测试的场合。

运用本模型理论关于多孔材料比表面积的计算公式，可方便地考察和分析生产工艺条件对多孔产品比表面积的影响[111]。多孔材料的比表面积与孔率和孔径等均有关系。而生产中一般只能控制各指标的范围，难以得到孔率和孔径都完全相同的产品。因此，要比较不同工艺条件对产品比表面积的影响及影响程度，就很难直接利用实验所测数据来进行。借助于式(20)就可解决这一问题。当然，还有研究者也提出了关于泡沫金属比表面积的其他计算方法[18-19]，但所需参量不易测量获得多孔产品的对应真实值。

按公式(20)，基于某一材质和某种工艺，只要确定式中Ks和n中的任何一个量，另一个量即可体现不同工艺条件对所得多孔材料比表面积的影响状况。由公式可以看出，SV对指数项n较为敏感，即n有较小变化时SV就可能作较大变化，SV相差不很大时n的差别就不会明显，从而难于比较。因此，在本工作中采用确定n值而比较Ks值的作法，此时对应K值较大的工艺条件即有利于获得较大的比表面积。

4 结束语

多孔材料优异的综合性能赋予了其丰富的用途。近些年来，多孔材料在各方面的研究都得到了快速的发展。不但其制备工艺技术在不断改进并不断创新，而且其物理、力学性能研究也在不断推进并越来越紧密地与实际应用相结合。材料的研制及其性能研究的最终目标都是材料的实际应用，而应用的前提则是其性能指标达到预期的要求，因此其性能指标的预先估算和性能关系的研究就具有重要的意义。

文中各数理关系源于八面体分析模型。由于该模型是对三维网状多孔体进行抽象简化而得到的结构-性能分析模型，因此结果可以表征所有三维网状的高孔率泡沫金属，而不限于八面体孔隙结构的多孔材料。此外，基于网状多孔材料结构特征条件下的本模型理论，其性能研究适用范围限于较高的孔率区间。规模化电沉积工艺等方法获得的产品实际孔率范围一般在80%以上，多超过90%。因此，本八面体模型理论具有广泛的实践背景以及良好的实用价值。

多孔材料是由固相和通过固相形成的孔隙所组成的复合体，其应用无一例外地要利用其孔隙。因此，多孔材料最基本的参量应是直接表征其孔隙性状的指标即其孔隙因素，如孔率、孔径、孔形、比表面积等。其中孔率指标又是这些参量中最基本的主要指标，因为它对多孔材料力学、物理和化学等方面性能的影响最为显著。当然，多孔材料的性能也在某种程度上依赖于孔隙形貌、孔隙尺寸及其分布，但一般远不如孔率这一参量那样突出。因此，在研究该类材料的物理、力学性能时，首先就是要考虑其孔率指标对这些性能指标的影响；研究这些性能与材料孔隙因素的数理关系，主要研究其与孔率参量的关系规律。在本文中，介绍和讨论了多孔材料的电阻率、拉伸强度、伸长率、弹性模量、双向拉伸、多向拉压、弯曲载荷、扭转载荷、剪切载荷、疲劳载荷以及比表面积等性能指标与孔率参量的数理关系，以期对多孔材料制品性能指标进行一个粗略的估算和评判，为多孔材料实际应用选材和设计提供初步参考。

作为一种多孔材料，泡沫金属以电性能、热性能、声性能等物理指标优良而获得诸多的功能应用，并且由于体密度低、比强度高、比刚度大、热导率优、导电性佳、吸能性好等特点而在结构用途方面也可供选择。力学性能与电、热、声等物理性能的结合，为泡沫金属的工程应用开创了广阔的前景。为了进一步优化多孔材料在不同领域和各个方面的应用，尤其是功能-结构一体化应用，进一步拓宽多孔材料可能的应用范畴，对其结构指标和性能指标的综合优化组合开展更深入的研究将具有十分重要的意义。