2018 年高考三角恒等变换问题聚焦

■刘大鸣（特级教师）

2018年高考三角恒等变换围绕“三角函数的定义、三角函数的求值、方程组观念的应用、合理的凑角和辅助角公式”等展开的，凸显三角恒等变换的工具性。

聚焦1：三角函数的定义

例1（2018年高考北京卷）如图1，在平面直角坐标系中是圆O：x2+y2=1上的四段弧，点P在其中一段上，角α以O x为始边，O P为终边，若tanα＜cosα＜sinα，则点P所在的圆弧是（ ）。

图1

解：由图可知，有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦线，有向线段A T为正切线。当点P在上时，cosα=x＞sinα=y，A错误。当点P在上时，cosα=x，，tanα＞sinα＞cosα，B错误。当点P在上时，cosα=x，sinα=，sinα＞cosα＞tanα，C正确。点P在上时，tanα＞0，sinα＜0，cosα＜0，D错误。应选C。

反思：本题主要考查单位圆中三角函数的定义。

变式训练1：已知角θ的终边经过点则的值为____。

提示：因为点在单位圆上，又在角θ的终边上，所以，可得

聚焦2：三角恒等变换中方程组观念的应用

例2（2018年高考新课标卷）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）=____。

解法1：两边平方求值。已知条件两边平方再相加，可得2+2（sinαcosβ+cosα·sinβ）=1，即sin（α+β）=

解法2：借助平方关系求值。由已知条件可得所以sin（α+β）=sinα·cosβ+cosαsinβ=sinα（1 -sinα）+cosα（ - cosα）=sinα-1。因 为 sin2β+cos2β=1，所以 （- cosα）2+（1 -sinα）2=1，可得故原式

解法3：利用同角关系平方消元求值。由题设可得cosβ=1-sinα，sinβ=-cosα，所以（1-sinα）2+（-cosα）2=1，即sinα=，所以cosβ=1-sinα

反思：上述三种解法凸显了三角恒等变换中“方程组观念的应用意识”。

变式训练2：已知sinα+sinβ=1，cosα，求cos（α-β）和cos（α+β）的值。

提示：由sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=两边平方相加可得sin2α+2 sinαsinβ+sin2β+cos2α+2 cosαcosβ+cos2β=4，即2+2 cos（α-β）=4，所以cos（α-β）=1。

已知条件两边平方相减可得cos2αsin2α+2 cosαcosβ-2 sinαsinβ+cos2βsin2β=2，即cos 2α+2 cos（α+β）+cos 2β=2，cos[（α+β）+（α-β）]+2 cos（α+β）+cos[（α+β）-（α-β）]=2，展开化简得cos（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）=1，据此可得

聚焦3：三角恒等变换中的“凑角”策略

例3（2018年高考江苏卷）已知α，β为锐角求cos 2α和tan（α-β）的值。

解：由可得，代入 sin2α+cos2α=1，可 得故由α，β为锐角，可得α+β∈ （0，π），所 以sin（α+β）=据此可得tan（α+β）=-2。

反思：给值求值问题的关键是找出已知式与待求式之间角的差异，从凑角入手求值。

变式训练3：已知，则tan（β-2α）=____。

提示：由已知条件可得1-cos 2α=sinα·cosα，利用公式化简可得2 tanα=1，即tanα所以tan（β-2α）=tan[（β-α）-α]=

聚焦4：三角函数的定义与三角恒等变换的交汇

例4（2018年高考全国新课标卷）已知角α的顶点为坐标原点O，始边与x轴的非负 半 轴 重 合，终 边 上 有 两 点A（1，a），B（2，b），且，则

解法1：由O，A，B三点共线可得，即b=2a。因为所以依据正切函数的定义可得，即因为b=2a，所以

解法2：因为，所以可得，即当时，可得，即，此时当时，可得故

反思：解答本题涉及到的知识点有共线的点的坐标关系，余弦的倍角公式，正切函数的定义式。

变式训练4：已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点若角β满足求cosβ的值。

提示：由题意可得由题设可得由β=（α+β）-α，可得或