三角恒等变换常见典型考题赏析

■张文伟

三角恒等变换是高中数学的重要内容之一，它是每年高考的必考知识点。近几年高考对三角恒等变换的考查难度有所降低，主要考查三角恒等变换中的公式应用问题、角的变换问题、求值与证明问题。下面举例解读这部分的典型考题，供大家学习与提高。

题型一：三角函数公式的应用问题

三角函数公式主要有两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。解题时，要注意三角函数公式的逆用和变形应用，如sinαsinβ+cos（α+β）=cosαcosβ，cosαsinβ+sin（α-β）=sinα·cosβ，tanα±tanβ=tan（α±β）·（1∓tanα·

例1若且 3 cos2α=，则sin 2α的值为（ ）。

解：由可 得由α∈可知cosα-sinα≠0，于是可得两边平方可得1+，即应选C。

跟踪训练1：在斜三角形A B C中，sinA，且则角A的值为（ ）。

提示：由题意可得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosB·sinC，等式两边同除以cosBcosC得tanB因为tan（B+C）=-1=-tanA，即tanA=1，所以应选A。

题型二：角的变换问题

三角函数公式中角的变换与名的变换是三角函数求值中的重要题型，要熟悉角的拆分与组合的技巧，要掌握半角与倍角的相互转化，如2α=（α+β）+（α-β），α=（α+β）-转化思想是实施三角变换的主导思想，三角恒等变形要弄清已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异，从中寻求联系，实现转化。

例2已知且则sinβ=____。

解：因为，且cosα所以α+β∈（0，π），

故sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）·

跟踪训练2：若α，β都是锐角，且cosα=则cosβ=____。

提示：因为α，β都是锐角，且，所以

故cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α

题型三：辅助角公式的应用问题

函数f（α）=acosα+bsinα（a，b为常数），可化为或其中φ由a，b的值唯一确定。利用辅助角公式可求三角函数的最值、单调区间、周期，这也是高考的常考题型。

例3已知函数f（x）=asin2x+bcos 2x，其中a，b∈R，a b≠0。若f（x）≤对一切x∈R恒成立，且0，则f（x）的单调递增区间是（ ）。

解：f（x）=asin 2x+bcos 2x=sin（2x+φ），其中φ由所确定。

跟踪训练3：已知则=（ ）。

提示：因为所以应选B。

题型四：三角函数的图像问题

高考对三角函数的图像与性质的应用问题的考查主要有五种命题角度：图像变换与函数性质；恒等变换与函数性质；三角函数图像与性质；三角函数性质与平面向量；三角函数性质与解三角形。

例4若将函数f（x）=sin（2x+φ）+的图像向左平移个单位长度，平移后的图像关于点对称，则 函 数g（x）=cos（x+φ）在上的最小值是（ ）。

解：因为f（x）=sin（2x+φ）+所以将函数f（x）的图像向左平移个单位长度后，得到函数的解析式为又该图像关于点对称，其对称中心在函数图像上，所以解得，即φ=kπ-由0＜φ＜π，可得，这时

跟踪训练4：函数的图像可由函数的图像至少向右平移____个单位长度得到。

提示：因为所以把的图像至少向右平移个单位长度可得到函数y的图像。

题型五：三角函数的化简问题

三角函数的化简是三角函数的基本题型之一，一般涉及诱导公式、两角和与差的公式、二倍角公式以及三角函数的恒等变形。三角函数的化简要遵循“三看”原则：一看角，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”等；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等。

例5化简

解

跟踪训练5：化简

提示

题型六：非特殊角的求值问题

三角函数给角求值问题的解题策略：一般所给角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数问题。此类问题也常通过代数变形（如正负项相消、分子分母相约等）的方式来求值。

例 6的值是____。

解

跟踪训练6：4 cos 50°-tan 40°=____。

提示：原式

题型七：给值求值问题

三角函数的给值求值问题的解题步骤：先化简所求式子或所给条件，再观察已知条件与所求式子之间的联系，最后将已知条件代入所求式子，化简求值。

例7已知实数若sin[2（α+γ）]=3 sin 2β，则m=（ ）。

解：设A=α+β+γ，B=α-β+γ，则2（α+γ）=A+B，2β=A-B。

因为sin[2（α+γ）]=3 sin2β，所以sin（A+B）=3 sin（A-B），即sinAcosB+cosAsinB=3（sinAcosB-cosAsinB），2 cosAsinB=sinAcosB，由此可得tanA=2 tanB。

跟踪训练7：已知则

提示

题型八：三角函数的给值求角问题

三角函数给值求角问题的解题策略：通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循以下原则：①已知正切函数值，选正切函数。②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是（0，π），选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好。

例8已知且，求β的值。

解：由，可得所以由可得故cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）

跟踪训练8：已知锐角α，β满足sinα=，则α+β等于（ ）。

提示：由且α，β为锐角，可知

故cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=因为0＜α+β＜π，所以应选C。

题型九：三角函数的性质问题

求解三角函数的奇偶性、周期性、单调性、最值等问题时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性的规律、三角函数的周期公式求解。

例9已 知 函 数f（x）=sin2ω x+的最小正周期为 π，则f（x）在 区 间上的值域为（ ）。

解：函数因为，所以ω=1，这时函数

跟踪训练9：已知函数的最大值为A，若存在实数x1，x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1-x2|的最小值为（ ）。

提示：因为sin 2019x+cos 2019x=，所以函数f（x）的最大值为A=2。

由题意可得|x1-x2|的最小值为所以A|x1-x2|的最小值为应选B。

题型十：三角函数与平面向量的交汇问题

平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题，其形式多样，解法灵活，极富思维性和挑战性。对于这类问题，若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理，可使解题过程得到简化，从而可以提高解题的速度。

例10已知向量，函数f（x）=m·n。

（1）求函数f（x）的最小正周期。

解：（1）由题意可得函数，所以函数f（x）的

跟踪训练10：设向量a=（cosα，-1），b=（2，sinα），若a⊥b，则（ ）。

提示：由a⊥b，可得a·b=2 cosαsinα=0，所以tanα=2。