三角恒等变换之全方位突破
2019-06-19李立朝
■李立朝
三角函数是高中数学的重要内容,因此在高一阶段就要打下坚实的基础。三角函数离不开三角恒等变换,三角恒等变换的主要考查形式有:三角函数的求值、化简和证明。下面结合典型例题对这部分内容进行分析、梳理和指导。
一、三角函数的化简
三角函数的化简常见方法有:弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂与升幂。
例1cos 2β=____。
解法一:(从角入手,复角化单角)原式=(2 cos2β-1)=sin2αsin2β+cos2αcos2β-
解法二:(从名入手,异名化同名)原式=sin2αsin2β+ (1-sin2α) cos2β-
解法三:(从幂入手,利用降幂公式降幂)原式
评析:三角函数的化简要遵循“三看”原则,即一看角,二看名,三看式子的结构与特征。三角函数的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、半、互余、互补),寻找所求式与三角公式之间的共同点。
二、三角函数的求值
三角函数的求值问题,要注意善于利用联系的观点进行角的变换。
例2已知α,β为锐角,sin(α+,则cosβ=____。
解:由α为锐角,可得
故cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)·
三、三角恒等变换在三角函数性质中的应用
三角恒等变换与三角函数的性质紧密联系,掌握三角恒等变换也是学好三角函数性质的基础。
例3已知不等式对于恒成立,则实数m的取值范围是( )。
解:由题意可得在上恒成立。
评析:把恒成立问题转化为求函数的最值问题是解答本题的关键。求形如y=Asin(ω x+φ)的最值、单调性时,可将ω x+φ视为一个整体,换元后结合y=sinx的图像来解决。
编者注:高考对三角函数的考查一般都是通过三角恒等变换进行的。在平时的学习中,应立足课本,打好基础。通过公式之间的推导,理解公式的形成过程,掌握公式的本质和规律,形成清晰的知识结构,强化易混、易漏、易错点的反思、感悟和针对性训练。在解题时,要善于在条件和结论中建立联系,这样就能立足基础,发展能力,在考试中立于不败之地。