例说两角和与差的正切公式的“四会用”

■胡乐游

两角和与差的正切公式是三角恒等变换中的重要公式，同学们接受并理解这些公式并不难，关键是如何熟练应用。下面就来具体分析一下两角和与差的正切公式的“四会用”，希望对同学们的学习能有所帮助。

一、会正用

正用公式即从和角、差角到单角的应用，要做到准确运用公式。

例1若，且α，β都是锐角，则α+β的值为（ ）。

解：因为且α+β＜π，所以应选A。

点评

解答此类试题的一般步骤是，先求出α+β的某一三角函数值，再利用两角和的正切公式求解。

跟踪练习1：已知，tanβ=-2，且0°＜α＜90°，90°＜β＜180°，则α+β的值为（ ）。

A.135° B.45°

C.90° D.180°

提示：因为-1，且0°＜α＜90°，90°＜β＜180°，90°＜α+β＜270°，所以α+β=135°。应选A。

二、会逆用

解题过程中同学们习惯于正用公式，但对于有些问题，若能逆用公式，往往能使问题巧妙、简捷地得到解答。

例2计算的值。

解：原式

点评

逆用公式是指从右往左使用公式，即单角向复角转化。往往伴随有常数三角化的运用。

跟踪练习2：计算的值。

提 示：22°）=tan 45°=1。

三、会变用

例3求tan12°+tan33°+tan12°·tan 33°的值。

解：原式=tan（12°+33°）·（1-tan12°·tan 33°）+tan12°tan33°=tan45°（1-tan 12°·tan 33°）+tan12°tan33°=1-tan 12°tan 33°+tan 12°tan 33°=1。

点评

本题灵活地利用了两角和的正切公式的变形式，即tanα+tanβ=tan（α+β）·（1-tanαtanβ），使问题得以顺利地解答。

跟踪练习3：已知α+β=45°，求（1+tanα）·（1+tanβ）的值。

提示：（1+tanα）·（1+tanβ）=1+tanα+tanβ+tanαtanβ=1+tan（α+β）·（1-tanαtanβ）+tanαtanβ=1+tan45°-tan 45°tanαtanβ+tanαtanβ=2。

评注：当，k∈Z 时，（1+tanα）·（1+tanβ）=2也成立。

四、会巧用

有些题从表面上看是不能运用两角和与差的正切公式的，但如果大家发现了式子中角与角之间的关系，也可灵活地运用正切公式来求解。

例4求的值。

解：因为所以所以原式

点评

跟踪练习4：已知非零实数a，b满足的值。

提示令则 tanθ=所以

编者注：同学们在解答三角恒等变换问题的过程中，要注意三角公式的内在联系，掌握公式应用的常规思路和基本技巧，要善于利用公式的正用、逆用、变用和巧用来进行解题。