盘点三角函数常用求值策略

■孙海峰

三角函数求值问题是同学们学习和考试中经常遇到的一类重要题型，因此掌握一些常用的求值策略，能帮助同学们更快、更准确地解决问题，下面就来具体分析一下。

一、公式的逆用

例1求下列式子的值。

（1）sin 52°cos 83°+cos 52°cos 7°。

解：（1）原式=sin52°cos 83°+cos 52°·

（2）原式=tan（20°+40°）·（1-tan20°·

点拨：解决此类问题，需在熟练记忆三角函数公式的基础上，注意观察所求式子的结构，联想相应公式，经过恰当化简变形，利用公式来解决。

跟踪练习1：求下列式子的值。

（1）sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°。

（3）cos 42°cos 18°-cos 48°cos 72°。

提示：（1）原式=cos 80°cos 60°cos 40°·

（2）原式=tan（75°-15°）·（1+tan75°·

（3）原式=cos 42°cos 18°-sin 42°sin 18°=

二、切化弦

例2求cos 50°·的值。

解：原式

点拨：在化简三角函数式的过程中，如果出现既含正弦、余弦，又含正切、余切的情况，鉴于正弦、余弦的性质多于正切、余切的，通常会将正切、余切化成正弦、余弦，这种数学思想方法简称“切化弦”。

跟踪练习2：求的值。

提示：原式

三、利用公式（sinx±cosx）2=1±2 sinx·cosx=1±sin 2x

例3已知，且x∈（0，π），则sinx-cosx的值为（ ）。

解：由，两边平方可得解得因为所以

又因为x∈（0，π），且sin 2x=2 sinx·，所以sinx＞0，cosx＜0，所以sinx-cosx＞0。

点拨：sinx+cosx，sinx-cosx，2 sinx·cosx这三个式子借助公式（sinx±cosx）2=1±2 sinxcosx=1±sin2x，可以“知一求二”。但应注意的是，开方时，应根据已知条件确定角的范围，对结果的正、负号进行正确取舍。

跟踪练习3：已知，且，则cosα-sinα的值为（ ）。

提示：因为（cosα-sinα）2=1-2 sinα·，所以又因为所以cosα＜0，sinα＞0，所以cosα-sinα＜0。所以cosα-sinα=应选C。

四、拆角

例4求下列式子的值。

解：（1）原式=

点拨：注意先观察题目中角之间的关系、角和特殊角（比如30°、45°、60°、90°）之间的关系，再用特殊角和一部分角表示另外一些角，即所谓的“拆角”，这样角的数量就会变少，问题得到简化，进而得到解决，这个过程蕴含数学中的消元思想。

跟踪练习4：已知则的值为______。

提示：因为所以

感悟与提高

1.求 sin（θ+75°）+cos（θ+45°）-cos（θ+15°）的值。

2.已知x是锐角，若sin2x+cos2x=，求tan 2x的值。

参考答案

1.提示：原式 =sin[（θ+15°）+60°]+sin（θ+15°）cos 60°+cos（θ+15°）sin 60°+cos（θ+15°）cos 30°-sin（θ+15°）sin 30°-

2.提示：由，两边平方得因为2x∈（0，π），所以sin 2x＞0，cos 2x＜0。

（法1）因为 （sin2x-cos2x）2=1-，所以sin2x-cos2x=又因为sin2x-cos2x＞0，所以

（法 2）因 为 2 sin 2xcos 2x=，所以，解得或又因为，且2x∈（0，π），所以sin2x＞0，cos2x＜0，所以|sin2x|＜|cos 2x|，即 sin 2x＜ -cos 2x。所以故

编者注：在解决三角函数化简求值的问题时，应在牢固记忆公式的基础上，注意观察所求式子的结构，联想相应公式并应用公式解决问题。同时，要求我们有较强的目标意识，灵活巧妙地进行拆角，逐渐代换消元，进而快而准地解决问题。