二次函数在高中数学中的应用
2019-06-18周长霞靳建设
周长霞 靳建设
【摘 要】二次函数不仅是初中数学的重中之重，同时二次函数与高中知识的交汇也是高考的重点和难点之一。二次函数在函数概念与性质的引入、指数与对数函数的复合函数、三角函数、一元二次不等式、数列等多个知识点中都扮演着重要的角色。
【关键词】二次函数；高中数学；初中数学
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）10-0163-02
能顺利考入高中的学生初中阶段通常都较为优异，但在进入高中学习一段时间后，他们普遍会感觉到高中数学更难以理解和学习，就连他们曾经熟悉的二次函数都变得陌生，产生心理落差，导致成绩产生起伏。其实，二次函数不仅是初中数学的重点，在高中数学中也举足轻重的作用，它不仅初期对函数概念引入及性质学习的过程会用到，且在指数与对数函数、三角函数、一元二次不等式、数列等知识点中也都至关重要。笔者在研读了部分初高中教学衔接教材之后很受启发，结合高中数学教学，探讨的二次函数在高中数学中的应用。
1 利用二次函数图象引入函数概念和性质——形象直观
高中数学中，函数的概念是这样阐述的：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：A→B为从集合A到集合B的一个函数。函数的概念描述繁芜抽象，高一学生对此定义理解较慢，如果辅以他们熟悉的二次函数图象便会更为直观。若再举几个反例，效果更佳。除此之外，在讲到函数的单调性和奇偶性的时候，二次函数的图象也是不可多得的经典例子。
2 利用二次函数解决对数函数的复合问题——化繁为简
对于常见的对数函数中有关定义域、值域以及单调性问题，学生能够比较熟练地解决，但对数函数常和其它函数（特别是与二次函数复合）同时出现，解决这类比较复杂的问题，关键是抓住其基本性质，将问题化繁为简。在考虑这类复合函数问题的时候，要仔细分析内外层函数的定义域和值域，尤其是复合后的定义域和值域的变化。
例1：设不等式2（log）2+9（log）+9≤0的解集为A，求当∈A时函数=（log2）（log2）的最值。
解析：由条件可求出，则=（log2-1）（log2-3）就可以看成关于log2的二次函数，令t=log2，则。
此时要注意新函数的定义域，∵2≤≤8，
∴≤log2≤3，即≤t≤3，
进而求得，。
例2：已知函数；
（1）若定义域为R，求t的取值范围。（2）若值域为R，求t的取值范围。
解析：这是一个由对数函数与二次函数复合而成的“对数型函数”的问题，由对数函数及二次函数的图象与性质不难得到。前者是当取任意实数时，二次函数的值恒为正数，故应有△<0；而后者是要求在复合函数的定义域内，二次函数的值域是，故应有△≥0.在处理这类问题时，我们要抓住关键，将问题转化到熟悉的形式进行解决。答案：（1）。（2）或。
3 利用二次函数解决特殊三角函数式——拨云见日
三角函数是初等函数中的一类，公式繁多，应用灵活，往往令学生挠头。但若能将一些特殊三角函数式与二次函数结合，就会峰回路转，找到思路。
例3：求函数的最值。
分析：本题可设再借助关系将也用t表示，从而可将原函数转化为关于的二次函数求最值
问题。
4 利用二次函数的图象解一元二次不等式问题——信手拈来
一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的关系就如同孪生兄弟，二次函数图象的开口与交点决定了一元二次方程的根，也决定了一元二次不等式的解集。
例4：对于任意实数，不等式都成立，试求m的取值范围。
解：由题意得不等式组：
解得m>5，即对于任意实数，当m>5时，原不等式都成立。
評析：通过二次函数图象可知，函数开口向上并且与x轴没有交点，由此可根据二次函数的判别式解决此题。
5 巧用二次函数图象讨论等差数列求和问题——深入浅出
数列是一类定义在正整数集或它的有限子集上的特殊函数，同时数列和函数的结合也是当今高考命题的重点与热点，其中等差数列作为高考高频考点常常需要用
到二次函数知识。如等差数列前n项和公式，经过化简得Sn=，
此公式可以看做n的二次函数（当d≠0时），且常数项为0，故此式可以写成=，在等差数列前n项和有关问题很难入手时，我们就可以尝试联系二次函数的性质与图象，使问题轻松解决。
例5：设等差数列的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0，请问S1，S2…Sn中哪一个值最大，并说明理由。
解：因为是关于几何的二次函数，d<0，S12>0，S13<0，Sn=的图象如图1所示，抛物线过（0，0）点，不妨设另一交点为（m，0），则12 例6：在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，公差d≠0，m≠n.若Sm=Sn，则Sm+n=____ 解：由=可知： Sn是关于n的二次式，且无常数项， 令=，则=0，而， 即，则=为此二次函数的对称轴（图2），所以，即Sm+n=0. 注：此题虽然解题思路较多，但是我们从中不难发现，利用二次函数图象的对称性解题最为直观简便。 本文通过对二次函数与其他知识综合应用的论述，利用了二次函数的图像和性质，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，促进学生提高对数学的兴趣，开拓学生的解题思路，训练学生掌握解题方法，同时培养学生的形象思维与空间想象能力。
