中值定理在证明题中的应用

上海电机学院文理学院 上海 201306

中值定理是《微积分》教学中的重点和难点。首先,中值定理本身内容比较多,也比较抽象。包括连续函数的介值定理,零点定理;包括微分中值定理里面的罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理;还包括积分中值定理。这些定理各有不同的条件和结论,但是它们有一个共同的特征。其结论均有相似的表述方式:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得某个等式成立。即涉及到“中值”的存在性。由此可见,中值定理在含有中值的等式的证明题中有着广泛的应用。

运用中值定理的证明题,是《微积分》解题中的一个难点。定理的选择,思路的确定,都需要逻辑严密的思考。在具体的解题过程中,需要注意几个方面,才能得出正确的解题思路。

一、关于函数的构建

运用中值定理,必然需要对某一个函数进行运作,而最后结论中涉及的那个运用了中值定理的函数不一定就是题设中给出的那个函数,因此,函数的构建是至关重要的一个步骤。比如,微分中值定理的结论,都是关于某个函数的导函数的一个等式。因此在运用微分中值定理的题目中,我们可以根据导函数的形式,去构建函数。

例1:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,则对于任意常数k,在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f'(ξ)=kf(ξ)。

分析:根据题设的条件涉及到端点值相等的信息,考虑罗尔定理。因此,把结论改写为f'(ξ)-kf(ξ)=0,等号左边应该与某个函数的导函数有关。根据此导函数的形式,构建函数F(x)=e-kx f(x)。

证明:考虑辅助函数F(x)=e-kx f(x),其中k为任意常数。则因为f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,所以F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的条件,所以在(a,b)内至少存在一点ξ,使得F'(ξ)=e-kξf'(ξ)-ke-kξf(ξ)=0。而e-kξ≠0,所以f'(ξ)=kf(ξ)。

例2:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)+ξf'(ξ)=

分析:根据题设的条件,考虑拉格朗日中值定理。又因为结论中出现的端点函数值形式为bf(b)与af(a),导函数形式为f(ξ)+ξf'(ξ),构建函数F(x)=xf(x)。

证明:考虑辅助函数F(x)=xf(x)。则f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,所以F(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理的条件,所以在(a,b)内至少存在一点ξ,使得F'(ξ)=。即f(ξ)+

例3:设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)内可导,且f(0)=0,若f(x)在[0,1]上不恒为零,则在(0,1)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)f'(ξ)>0。

二、关于区间的选择

运用中值定理,必然需要在某一个满足定理条件的区间上进行使用,因此,区间的选择也至关重要。既要与题设相关,又要满足使用条件,有时还会在不同的区间上反复使用。

例4:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内除唯一的一点以外都可导,则在(a,b)内存在点c,d,使得f(b)-f(a)=[kf'(c)+(1-k)f'(d)](b-a),其中k∈(0,1)。

分析:f(x)在[a,b]上不满足中值定理的条件,因此可以分为两个小区间,在满足条件的区间上分别使用拉格朗日中值定理。

证明:设f(x)在(a,b)内的不可导点为x0,在[a,x0]和[x0,b]上分别使用拉格朗日中值定理,则存在c∈(a,x0)和d∈(x0,b),使得f(x0)-f(a)=f'(c)(x0-a),f(b)-f(x0)=f'(d)(b-x0)。两式相加,得到

例5:设函数在[a,b]上三阶可导,且f‴(x)≠0,证明:f(x)在(a,b)内至多有三个零点。

分析:题目涉及到函数的零点,考虑罗尔定理。又由于涉及到不止两个零点,考虑在不同的区间上反复使用罗尔定理。

证明:用反证法。假设f(x)在(a,b)内有四个零点x1,x2,x3,x4,。对f(x)在[x1,x2],[x2,x3],[x3,x4]上分别运用罗尔定理,则存在ξ1∈[x1,x2],ξ2∈[x2,x3],ξ3∈[x3,x4],使得f'(ξ1)=0,f'(ξ2)=0,f'(ξ3)=0。再对f'(x)在[ξ1,ξ2],[ξ2,ξ3]上分别运用罗尔定理,则存在η1∈[ξ1,ξ2],η2∈[ξ2,ξ3],使得f″(η1)=0,f″(η2)=0。接着对f″(x)在[η1,η2]上运用罗尔定理,则存在ζ∈[η1,η2],使得f‴(ζ)=0,与f‴(x)≠0矛盾。所以f(x)在(a,b)内至多有三个零点。

三、关于定理的选择

中值定理有很多,虽然表达方式都有关于中值的等式,但是细究还是各有特点。比如介值定理,零点定理是关于函数本身的等式;微分中值定理是关于导函数的等式;积分中值定理是关于积分表达式的等式。仔细分析题设中的等式,可以帮助我们正确选择运用的定理。

例6:设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,。证明:(1)存在η∈(,1),使得f(η)=η。(2)对于任意常数k,存在ξ∈(0,η),使得f'(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1。

分析:题目(1)涉及到关于函数的等式f(η)-η=0,且有区间端点值的信息,考虑零点定理。题目(2)涉及到关于导函数的等式[f'(ξ)-1]-k[f(ξ)-ξ]=0,且有区间端点值的信息,考虑罗尔定理。

证明(2):考虑辅助函数G(x)=e-kx[f(x)-x]。则G(x)在[0,η]上连续,在(0,η)内可导,且G(0)=e0[f(0)-0]=0,G(η)=e-kη[f(η)-η]=0。由罗尔定理,存在ξ∈(0,η),使得G'(ξ)=e-kξ{[f'(ξ)-1]-k[f(ξ)-ξ]}=0。而e-kξ≠0,所以[f'(ξ)-1]-k[f(ξ)-ξ]=0。即f'(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1。

总之,运用中值定理进行证明,首先要熟练掌握各个定理的条件、结论。再根据题设的条件细加分析,注意以上提及的一些问题,这样才能举一反三,正确解题。