目标导向 关注本质 促进学生深度思考——以“等腰三角形”课例研究为例

(泗门镇初级中学,浙江 余姚 315470)

核心素养是当前基础教育理论与实践研究的重点，数学核心素养的培养已成为当前数学课程改革的热点话题.史宁中教授认为核心素养是后天习得的，与特定的情境有关[1]，这一属性决定了核心素养的培养依赖于学生自己的深度思考，而核心素养一旦形成又会有力地支持深度思考，促进学生高阶思维的发展，两者是相互加强的良性循环关系[2].因此，教师需要从教学活动的设计与实施中探索促进学生深度思考的手段，其中“目标导向”和“关注本质”是两个关键点.下面以浙教版《数学(八年级上册)》第2.2节“等腰三角形”的教学为例，探讨如何在基于“目标导向”和“关注本质”基础上引导学生进行深度思考.

1 基于“目标导向”和“关注本质”的数学深度思考设计解读

1.1 着眼于关注本质，促进学生数学深度思考

本节内容是在学习了三角形初步知识的基础上进行的，是进一步学习直角三角形、四边形等内容的重要基础，具有承上启下的作用.细读教材内容可以发现，本节内容可由巧设由来、挖掘内涵、问题解决、适度拓展这4个环节组成.如何在课堂教学活动中落实学生的数学深度思考呢？笔者认为数学的深度思考首先是数学的，因此需要体现数学的本质，即要创设特定的情境，通过有效提问让学生有充分的机会重演数学家们的思考过程，并进行知识的建构，旨在体现数学思维的本质特征(对数学特征的抽象、分类等)，从而避免非本质属性的泛化.

具体地，在“巧设由来”环节中，通过“在正方形网格中任意画三角形，之后尝试调整某一个顶点的位置，让其成为一个等腰三角形”这一数学活动，突出等腰三角形概念的本质：两边相等.

在“挖掘内涵”环节中,通过让学生折叠纸片，经历“操作—观察—猜想—论证”这一基本过程，突出了等腰三角形对称性的本质：轴对称性.同时借助纸片上的网格线，让对称轴的获得显得自然，强化学生对等腰三角形具有轴对称性的认同感.

在“问题解决”环节中,通过以问题串的形式，经历“找、判、思”这3个层次，驱动学生互动思辨、深度思考，突出如何找对称点的本质：构造等腰三角形(或共端点的两条相等的线段).

在“适度拓展”环节中，通过设置一个与本节课开头相呼应的问题：对找到的所有等腰三角形分类，以此为任务驱动学生深度思考，突出等腰三角形分类的本质：当等腰三角形的底边或者顶角不确定时，需要分类，可从边、角这两个角度分类；接下来，通过对“给定的一个格点所形成的三角形是不是等腰三角形”这一问题的研讨，突出找一个点与已知两点形成等腰三角形的本质：作一条中垂线及画两条圆弧.

1.2 着眼于目标导向，促进学生数学深度思考

本次授课对象的学生来自于农村初中八年级普通班，有一定的自主学习能力与良好的学习习惯，学生对等腰三角形已有初步认识，但很多学生还停留在感性认识阶段，需要有理性的高度；同时这一阶段对等腰三角形还没有开展性质的探究，合情推理也没能引起足够的重视，因此部分学生对等腰三角形的认识及相关运用仅停留在直觉层面，以致于学生对等腰三角形的轴对称性的获得过程、运用及拓展还是有困难的.基于这一现状，教师该如何在课堂教学活动中落实数学深度思考呢？笔者认为数学的深度思考其次是要有明确的目标导向.本节课让学生经历“溯源之旅—本质之践—探究之法—思维之巅”等系列探究活动，关注学生的现有能力，以符合学生认识规律的目标为导向，通过适切的问题驱动学生数学深度思考，让学生经历知识的发生、发展和形成过程，逐级展开，让学生在“做”和“思考”中形成数学能力、数学观点和数学素养.

具体地，在“溯源之旅”环节中，基于学生在小学阶段已经认识了等腰三角形，但小学阶段接触的等腰三角形还停留在感性认识阶段，因此，本环节以从理性的角度认识等腰三角形的概念为目标导向.

在“本质之践”环节中，基于几何直观，学生自然会沿顶角的角平分线折叠，容易发现等腰三角形具有轴对称性.另外由于沿底角的角平分线折叠会出现不重合的情况，干扰学生对等腰三角形具有轴对称性的认知.因此，本环节以让学生经历等腰三角形轴对称性的获得过程、明确等腰三角形具有轴对称性、发展合情推理能力为目标导向，不用去尝试探究沿底角的角平分线折叠的情况；同时基于演绎推理过程的复杂性，采用了文本阅读，意在建立严谨的思维方式.

在“探究之法”环节中,基于学生在利用等腰三角形的对称性作对称点时，往往凭直觉作图，且思路容易受限，因此，本环节以能利用等腰三角形的轴对称性作对称点及明确作图依据，并能运用等腰三角形的性质进行简单地演绎、推理、论证为目标导向.

在“思维之巅”环节中，基于让有能力的学生得到更好的发展，从而促进学生深度思考、形成数学能力，本环节以让学生经历问题解决这一数学活动，体会分类讨论、转化等数学思想方法，积累数学基本活动经验为目标导向.

2 基于“目标导向”和“关注本质”的数学深度思考教学过程

2.1 巧设由来，引发数学深度思考的溯源之旅

问题1如图1，在单位长度为1的8×8正方形网格中，BC=6，请你任意取一点A，联结AB,AC，记作△ABC(△ABC是格点三角形，其顶点均在小正方形的顶点上).

图1 图2

师：你是怎么取的？对于你所画的三角形，有哪些认识？

生1：我取了第6列第4行的点A(如图2)，对于△ABC，3个内角和是180°.

师(追问)：从边方面考虑呢？

生1：任意两边之和大于第三边.

师：你能尝试调整顶点A的位置使△ABC成为一个等腰三角形吗？说说你的方法.

生2：我上来操作，让它在点A1处(如图3).

图3

师(追问)：你能说说△A1BC是等腰三角形的理由吗？

生2：有两条边相等的三角形是等腰三角形.

师(追问)：你指的是哪两条边？

生2：A1B=A1C.

师(追问)：这两条边为什么相等？

生2：可以通过构造全等三角形证得.

师：很不错，我们把有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

评注该环节以“从理性的角度认识等腰三角形的概念”为目标导向，摒弃了“从实物中抽象出等腰三角形”来导入这一感性认识过程，采用在正方形网格中先任意画三角形，然后画特殊的等腰三角形，进而导出等腰三角形的概念.这样处理的理由是让学生参与画等腰三角形这一数学活动的过程，意在让学生对等腰三角形的认识从感性上升到理性，这样设计自然、简约但不失厚重，让“三角形”和“等腰三角形”产生关联，关注了知识的逻辑性，经历了知识的形成过程，有效地突出了等腰三角形概念的本质，有利于学生对数学知识的理解和掌握，并为后面开展等腰三角形的轴对称性及分类讨论作了思维的铺垫.

2.2 探究内涵，凸显数学深度思考的本质之践

问题2问题1中剪下来的等腰△A1BC纸片，在折叠过程中你有什么发现？在纸片上画出折痕，顶点处标上字母，并说说你所画的折痕有什么特点？

生3：我在折叠过程中，发现等腰△A1BC是轴对称图形.

师(追问)：说说你的理由.

生3：在折叠时，发现等腰三角形折痕两侧的部分互相重合.

师(追问)：你是怎样折的？

生3：沿着等腰三角形的高线折.

师(追问)：哪条边上的高？

生3：等腰三角形底边上的高线.

师(追问)：对于这条折痕还有补充的吗？

生3：它也是等腰三角形底边上的中线.

师(追问)：还有吗？

生3：也是等腰三角形顶角的角平分线.

师：谁能说说原因吗？

生4：因为前面已经发现折痕两侧的部分互相重合，由共折痕的两个三角形全等就可以推得.

师：不错.你能把刚才的发现总结一下吗？

生4：等腰三角形是轴对称图形，它的折痕既是等腰三角形底边上的高线、中线，也是顶角的角平分线.

师(追问)：等腰三角形的对称轴是什么呢？

生4：等腰三角形的对称轴是底边上的高线所在的直线，也可以是底边上的中线所在的直线，也可以是顶角的角平分线所在的直线.

评注该环节以让学生经历等腰三角形轴对称性的获得过程、明确等腰三角形具有轴对称性为目标导向，摈弃了“沿任意一角的角平分线折叠，让学生在折叠时发现只有沿顶角的角平分线折叠时才能重合，而沿底角的角平分线折叠时不重合”.这样处理的理由是基于这一数学活动承载的功能让学生明确等腰三角形是轴对称图形，而任意角折叠的设置会干扰学生的认知，发现等腰三角形不对称了.因此，本环节采用直接折叠纸片，让学生凭借几何直观经历等腰三角形轴对称性的探索过程，通过合情推理发现等腰三角形是轴对称图形，再借助纸片上的网格线，让学生自然联想，意识到对称轴是等腰三角形底边上的高线、中线所在直线，也是顶角的角平分线所在直线，感受知识产生的背景和形成过程，强化学生的认同感，有效地突出等腰三角形对称性的本质：轴对称性.

问题3请学生们阅读教材第54页第二段，思考以下两个问题，并在文中标注关键词.

思考1轴对称图形是怎么说明的？

图4

思考2如图4，要说明△A1BC沿A1D折叠后，A1D两侧的△A1BD与△A1CD能够重合,关键要说明什么？具体是怎么说明的？

生5：一个图形沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，就能说明它是轴对称图形.

生6：A1D两侧的△A1BD与△A1CD能够重合,关键要说明沿A1D折叠后点B与点C重合.

师(追问)：点B与点C重合是怎么说明的？

生6：先说明射线A1B与A1C重合，又因为A1B=A1C，所以点B与点C重合.

评注该环节以发展学生的演绎推理能力、建立严谨的思维方式为目标导向，让学生通过合情推理发现的结论，用演绎推理的方法加以说明，遵循“操作—观察—猜想—论证”这一基本过程，关注猜想的完善，感受数学思维的严谨，让学生形成数学的理性精神，同时让学生体会研究几何图形的一般方法.但基于这个演绎推理的过程学生很难形成思路，因此采用了文本阅读，以问题为任务驱动学生思考，在学法上进行指导，挖掘隐含的知识本质，促进学生数学深度思考.

2.3 问题解决，体验数学深度思考的探究之法

问题4在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线.

思考1点B关于AD的对称点是什么？为什么？

生7：点C，因为等腰三角形是轴对称图形，直线AD是它的对称轴.

生8：点B沿AD折叠后与点C重合.

思考2用刻度尺在AB，AC上分别量取AE=2，AF=2，点E，F关于AD对称吗？为什么？

生9：联结EF，因为AE=AF，所以△DEF是等腰三角形.由于△DEF是一个轴对称图形，因此点E，F关于AD对称(如图5).

(教师请学生们自行折叠进行验证.)

图5 图6

思考3如图6，若点M在AB上且AM=k(其中k是常数)，点N在AC上，当AN满足什么条件时，点M,N关于AD对称？

生10：当AN=AM=k时，点M,N关于AD对称.

思考4请学生们尝试用多种方法作出点M关于AD的对称点，并说明理由(作图工具不限).

(学生先独立思考，3分钟后4人一小组交流，达成共识，派小组成员点评.)

生11：我们小组有3种想法：1)和思考2一样，先用刻度尺量取AM的长，然后在AC上截取AN=AM得点N；2)过点M作MN⊥AD于点E,交AC于点N(如图7),通过证明△AME≌△ANE得AN=AM；3)以点A为圆心、AM长为半径画圆弧交AC于点N，可得AN=AM(如图8).

图7 图8

师：很不错，以上3种方法都很好地构造了相等的线段，进而产生等腰三角形，作出对称点.其他小组还有不同的想法吗？

生12：我们小组的想法是截取BM的长度，以点C为圆心、BM长为半径画圆弧交AC于点N(如图9).

图9 图10

生13：联结MC交AD于点F，联结BF,并延长BF交AC于点N(如图10).

(教师认同了生13的想法，简单分析后发现暂时还无法说理.)

师：学生们通过思考，发现了多种作对称点的方法，有一种方法暂时无法说理，有待学生们学完等腰三角形的性质后再来思考这种作法的理由.

图11

思考5如图11，若点M在AB的中点处，点N在AC的中点处时，联结MC，NB，请你猜想BN和CM的数量关系，并把你的猜想以命题的形式进行表述.

生14：等腰三角形两条腰上的中线相等.

师(追问)：这个猜想是否正确？你如何说明？

生15：因为△ABN≌△ACM

师：能否从对称性角度来说明？

生16：因为AB=AC，所以点B与点C关于AD对称，又因为点M,N分别是AB,AC的中点，所以AM=AN，即点N与点M也关于AD对称，故MC=NB.

评注该环节以能利用等腰三角形的轴对称性作对称点及明确作图依据、并能运用等腰三角形性质进行简单的演绎推理论证为目标导向.学生在利用等腰三角形的对称性作对称点时，往往能想到作垂线，但不太清楚其原因，且思路受限.为了让学生了解利用等腰三角形的对称性作对称点的依据，本环节对教材内容优化整合，以问题串的形式，通过找、判、思这3个层次，驱动学生互动思辨、深度思考，有效地突破了找对称点的本质：构造等腰三角形(或共端点的两条相等的线段)即可，达到认识、理解、感悟、深化的目的.同时又提供足够的思考时间和空间，让学生合作交流、充分探讨，形成多种思考方法，虽然有一种方法暂时无法演绎证明，但学生在解决问题的过程中获得了解题经验，体验了数学的魅力.

2.4 适度拓展，提升数学深度思考的思维之巅

问题5请你在单位长度为1的8×8正方形网格中找出所有的格点C，使得△ABC是格点等腰三角形(每个顶点都是格点的等腰三角形)，并理清找到的每一个等腰三角形的腰和底边分别是什么.

(教师让学生独立思考，2分钟后请学生上黑板来描点.)

生17：如图12，共找到了8个等腰三角形.

图12图13

生18：我认为还有两个点A9,A10(如图13).

师：请学生观察所找到的等腰三角形，BC在等腰三角形中一定作为底边吗？若不是，你认为哪些等腰三角形不是，并说说这些等腰三角形的底边又是什么呢？

生19：在△A9BC中，BC作为腰，此时底边是A9C;在△A10BC中，BC作为腰，此时底边是A10B.

师：能不能把找到的所有等腰三角形分分类？并说说你的分类标准是什么？

生20：我把这些等腰三角形分成两类，即以BC是腰还是底边进行分类.

生21：我把这些等腰三角形分成3类，即以BC是底边为一类，AC是底边为一类，AB是底边为一类.

生22：我把这些等腰三角形分成3类，即以AB,AC是腰为一类，AB,BC是腰为一类，AC,BC是腰为一类.

师：能从角的方面进行分类吗？

生23：我把这些等腰三角形分成3类，即以∠BAC是顶角为一类，∠ABC是顶角为一类，∠ACB是顶角为一类.

师：很好，当等腰三角形的底边或者顶角不确定时，需要分类，这里的分类标准不唯一，学生们可以结合实际选择合适的分类标准进行分类.

师：到此为止，老师还有一个疑问，除了刚才找到的10个格点等腰三角形外，还有没有其他的格点等腰三角形？

图14

(学生们陷入沉思，满是疑问.)

师：如图14，格点A11所形成的△A11BC是不是等腰三角形？说说你的理由.

生24：不是，因为这个三角形的两边不相等.

师(追问)：能具体说说吗？

生24：很容易发现A11B≠A11C.

师(追问)：两边不相等就一定不是等腰三角形了吗？

生24：A11C≠BC，A11B与BC好像也不相等.

师(追问)：你怎么知道A11B≠BC？

(学生们又陷入沉思.)

师：借助作图工具能解决吗？

生25：用刻度尺量量看就可以.

生26：我觉得可以借助圆规，先截取BC的长，以点B为圆心、BC的长为半径画圆弧，看看有没有经过点A11(如图15).

图15图16

师：你的想法真不错，很好地解决了这个问题.现在正方形网格上还有这样一些格点A12,A13,A14,A15(如图16)，请你判断它们与点B,C所形成的三角形是不是等腰三角形？

(学生用圆规逐一判断发现都不是等腰三角形.)

师：刚才老师的疑问你能解决了吗？

生27：分别以点B，C为圆心、BC为半径画圆弧，看圆弧有没有经过格点，我发现在8×8网格中只有10个格点C，使△ABC是格点等腰三角形.

师：已知一条边，要找一个点形成等腰三角形，请问这个点该怎么去找呢？若不太明白，请你再把上面所有能形成等腰三角形的格点有序地描出，或许你会有所发现.

生28：作一条中垂线，还有画两条圆弧.

评注该环节以让学生经历问题解决这一数学活动，体会分类讨论、转化等数学思想方法，积累数学基本活动经验为目标导向.通过设置一个与本节课开头相呼应的问题，让学生综合运用所学的等腰三角形概念和性质去解决问题.通过对找到的所有等腰三角形进行分类，让学生形成分类意识，明确何时需要分类、怎么分类；通过对给定的一个格点所形成的三角形是不是等腰三角形这一问题进行研讨，让学生形成如何找一个点与已知两点形成等腰三角形的思维能力，让知识有逻辑地生长、联结，有效地突破了找一个点与已知两点形成等腰三角形的本质：作一条中垂线及画两条圆弧.同时，学生在这一环节中经历思考、交流、评价、试错等过程，获得朴素而广泛、深厚而灵动、能迁移且可生长的思考品质，让数学核心素养得到有效落实.

3 基于“目标导向”和“关注本质”的数学深度思考教学反思

3.1 教学目标：为学生的数学深度思考提供方向

数学深度思考不等于超出学生实际认知水平的高难度思考.因此，在教学活动开展前，执教者要在充分理解教材、理解学生、理解教学的基础上，明确学生在这节课上要获得什么、可能的困惑是什么，从而制定出准确的教学目标.在目标的指引下，执教者才能明确在教学活动实施中需要从事哪些核心的认知活动，才能把握好思考的深度和广度，为学生的数学深度思考指明方向.本节课是在充分了解学情的基础上，各个环节中所设计的数学活动都基于目标的要求，给学生搭建了拾级而上的思维台阶，有了明确的需要达成的核心任务，就能保证学生在课堂中学习该学的、值得学的内容，能够把有限的课堂学习时间用在达成重点目标上，保障了学生深度思考的有效开展.

3.2 教学活动：为学生的数学深度思考提供载体

必须承认学生以其自身的知识体系以及思维经验无法有效地建构出复杂的数学知识体系，更谈不上思维层面的深度思考.因此，教学活动实施中的有效问题作为一种催化剂，是促进学生深度思考的载体.基于目标导向下的有价值的问题，能让学生在情境交互中激活原有的认知结构，能引领学生的思维向纵深发展，使课堂在思辨中曲径通幽，促进学生对知识本质的深刻探究，从而一步步走向基于理解、善思的深度思考状态.本节课在实施中，各个数学活动的开展依赖于合理的问题引导，如：作对称点这一环节中设置了找、判、思这3个层次的系列问题，适度拓展中设置了“对给定的一个格点所形成的三角形是不是等腰三角形”这一问题等，这样处理就能以问题为载体帮助学生进入逐渐深入的学习思考状态，主动建构知识体系；同时，有效及时的追问以及问题与问题之间的跨度为学生思维的多样性提供了可能，促进学生思维的发展，让数学深度思考得以落实.

3.3 教学本质：为学生的数学深度思考提供根基

数学的本质都是精简朴实的，根源都是自然而富有直观的内涵.很多问题外在呈现纷繁芜杂，但内核的东西往往简单明了.因此，在教学活动实施中，只有把握数学的本质，才能为数学深度思考提供根基.数学的本质必须要让学生经历知识的发生、发展和形成的过程，在恰当的问题情境中产生认知冲突，引起学生深度思考的出现和发展，其核心价值不仅仅是建构知识体系，更在于让问题的内核从学生的心底里生长出来，获得对问题的感悟.本节课中，在教学目标的指引下，通过有效的问题驱动和及时合理的追问，各个数学活动凸显了具有数学学科本质特征的深度，如：等腰三角形概念的本质、利用等腰三角形的对称性找对称点的本质、找一个点与已知两点形成等腰三角形的本质等，都被建构起来，各个环节承载的功能被落实，引发新的深度思考，让数学思维自然生长.

总之，每一堂课都有特定的学习内容及学习目标，课堂教学设计只有基于特定的内容和目标，以恰当的问题为载体，有侧重、有逻辑地开展课堂教学，同时努力丰富知识发生、发展和形成的过程，凸显问题的本质，只有这样才能更好地促进学生深度思考，才能更好地落实“发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力的形成”，才能给学生带来更多智慧与思维的启迪[3].