基于FOCUSS二次加权的DOA估计方法*

韩学兵，姜照君

（解放军95795部队，广西 桂林 541003）

0 引言

传统的DOA估计方法（如MUSIC方法、ESPRIT方法等），在信源不相干的前提下利用空间分解后的正交性构造出“针状”空间谱，若信源相干则会严重影响分辨和测向精度[1]。空间中信源个数有限且一般小于阵列传感器数量，符合空间“稀疏”定义，因此，稀疏重构算法可应用于DOA估计。由于稀疏空间中只有“0”或“1”的区别，而无需区分相干源或非相干源，也不会用到噪声空间和信号空间的正交特性，因此，在处理DOA估计问题时具有极强的稳健性；同时，稀疏重构方法只是在它认为信号可能存在的精确位置不断地聚集能量同时抑制无信号区域的能量，从而达到高分辨效果。

目前，可用于DOA估计的稀疏重构算法有很多，包括利用每步迭代中残差与采样矩阵的匹配运算后剪枝逼近最优解的贪婪算法（如OMP、CoSaMP[2]等）；用SVD方法将观测矩阵分解，在保持信号子空间维度的前提下对噪声子空间降维以降低运算量的-SVD方法[3]；以及在每步迭代中令加权范数最小的FOCUSS方法及其衍生算法[4-6]。贪婪算法虽然运算量低、实现简单，但是对信号模型传感矩阵的 RIP（Restricted Isometry Property）[7]性要求高，而且在稀疏项数量较少情况下才能保证较高的恢复成功率；采用最小范数原理的-SVD等方法，基于凸优化方法进行运算和重构，算法复杂、运算速度慢、运算硬件成本高等特性使之不适用于大规模计算；FOCUSS及其衍生算法类中，原始FOCUSS 方法[4]重构精度不高，TLS-FOCUSS 方法[5]不能用于MMV模型的DOA估计，SD-FOCUSS方法[6]不能对DOA模型中模型噪声进行有效建模而降低了估计性能。

本文研究了一种基于FOCUSS二次加权的DOA估计方法。该方法将传统的DOA估计模型构建为具有稀疏性的信号处理模型，对压缩传感/感知技术应用于DOA估计的方法进行拓展和改进，在信号处理的每次迭代运算中，利用FOCUSS方法求解出最小范数加权矩阵，并对输入信号进行初步重构；再利用初步重构数据进行改善性能的加权矩阵二次赋值并对输入信号再次重构，得到更加精确的信号重构结果，最后利用重构信号的行稀疏性与传感矩阵列向量之间的映射关系进行DOA估计。

1 DOA估计信号模型

为将DOA估计表述为一个稀疏重构问题，还需对式（1）等价变换，构建出满足稀疏表示的信号模型。为此，构建为一个包含所有位置信息的冗余字典矩阵，其中为全域方位角的采样向量，且；并构建稀疏向量，其中 x（n，l）的值为：

则式（1）可等价为

多快拍DOA估计的稀疏信号模型可表达为

2 基于FOCUSS二次加权的DOA估计

在贝叶斯理论观点中，X可认为是独立于噪声N的随机、具有行稀疏性的未知矩阵。在此假设下，可得到X的最大后验估计

其中，P（X|Y）表示在Y发生的条件下X发生的概率，P（Y|X）表示在X发生的条件下Y发生的概率，P（X）表示X发生的概率。假设噪声N中各元素是服从方差为σ2的高斯白噪声，则可知

综上可得X的最大后验估计为：

利用迭代松弛算法，可得到

利用矩阵求逆公式，可得到本次迭代的初步估计

根据上述加权原理，本文提出了一种具有显性表达式的加权方法，即在第k次迭代中，通过的值求取能改善估计性能的二次加权矩阵Wk。将按行取范数得到的，对 FOCUSS方法的加权矩阵赋值方式进行改进，按照各元素的幅值比重对加权矩阵Wk的对角元素进行赋值，即：

首先令Wk为N×N对角矩阵，然后令对角元素的值满足

得到二次加权矩阵后，在第k次迭代中对X进行二次估计，将步骤4）中的加权矩阵替换为新加权矩阵Wk，其估计公式为：

其中，Ak=AWk。

基于FOCUSS二次加权的DOA估计方法步骤如下：

基于FOCUSS二次加权的DOA估计方法初始化：Y，X0，A，σ，p，ε（预设收敛参数）1）计算，其中，；2）令，计算?；3）计算中前2K个幅度最大值对应的基坐标集；4）令Wk为N×N的对角矩阵，其对角元素满足：，令U为5）令，计算?；6）如果，算法结束；否则，迭代次数加 1，即 k=k+1，转到步骤 1）。

3 仿真算例

本节将用仿真实验证明基于FOCUSS二次加权的DOA估计方法，对比其他可用于DOA估计算法时的优越性。在每次仿真实验中，阵列是40阵元的标准线性阵列，观测快拍数为100；观测矩阵A中空间角度的网格划分方式为-90°∶0.1°∶90°；信源为2个相干信源，入射角分别为6.05°和-6.31°；信号源幅度都设置为 1；信噪比（SNR）为 1/σ2；独立蒙特卡洛实验次数为500次。

图1 各DOA估计方法分辨力比较

图2 各DOA估计方法RMSE比较

图1给出的是本文方法（RewFOCUSS）、RM-FOCUSS算法、-SVD方法应用于DOA估计，以及传统DOA估计的MUSIC方法，在进行角度估计时所得结果的分辨力对比。图1中对各估计结果的最强信号幅度都进行了归一化处理。可以看出，传统DOA估计的MUSIC方法分辨力是最差的，而稀疏重构算法应用于DOA估计时都可以达到超分辨的效果。

图2给出的是RewFOCUSS方法、RM-FOCUSS方法、-SVD方法、SD-FOCUSS方法应用于DOA估计时，得到的估计角与真实角之间的统计均方根误差（RMSE）曲线图。通过RMSE曲线对比可看出，RewFOCUSS方法和-SVD方法所得结果的RMSE较小，即估计精度更高；在不同信噪比条件下，-SVD方法的曲线更平稳，稳健性最好，RewFOCUSS方法次之。

表1 各类算法运行时间（ms）

表1给出了各算法在同等环境中的运行时间，仿真环境为：仿真软件为Matlab R2012a，计算机处理器为Intel Core i3-4170 3.70GHz，内存为4 GB。通过对比可看出，RM-FOCUSS方法速度最快；Rew-FOCUSS方法次之；由于-SVD方法的运算过程是基于凸优化算法完成的，运算量较大，运算过程最慢，所用时间约是RewFOCUSS方法的20倍。

通过本节仿真实验，可得出RewFOCUSS算法无论是在恢复精度、稳健性，还是运算速度方面，其性能都是较优的，其综合性能在同类算法中是最好的。

4 结论

为有效解决稀疏重构框架下的DOA估计问题，本文提出了基于FOCUSS二次加权的DOA估计方法，给出了该方法的数学推导过程和改进思路。该方法能通过对稀疏信号精确重构，能够高分辨估计出信源的入射角度，与其他稀疏重构方法相比，该方法的估计精度更高、更稳健，硬件运算成本更低，综合性能更好，因而在处理实际问题时更易实现、应用更广。