一类非线性反馈系统的自适应输出调节*

崔 雷，李其申，，储 珺

（1.南昌航空大学信息工程学院，南昌 330063；2.江西省图像处理与模式识别重点实验室，南昌 330063）

0 引言

为了维持闭环控制系统的稳定，设计一个有效的反馈控制器尤为重要，要求闭环系统的输出可以渐近地跟踪由外部系统产生的参考输入，且对于外部系统产生的干扰，它也能渐近地抑制，当产生参考输入和干扰的外部系统模型满足自治微分方程时，这就变成了输出调节问题。关于线性系统的输出调节问题，在20世纪七八十年代得到了充分细致的研究[1-2]。从20世纪90年代开始，研究者开始把焦点投向非线性系统的输出调节领域，并取得了一些重要的研究成果[3-12]。其中，文献[3]研究了一类非最小相位分线系统的鲁棒输出调节。文献[4]把模糊自适应控制引用到一类非线性不确定系统的输出调节。

文献[5]研究了一类不确定非线性系统的动态面输出调节。文献[6]把神经网络引用到非线性系统的输出调节问题。文献[7]研究了外部系统为非线性的输出调节问题。文献[8]研究了一类非线性输出反馈系统的自适应输出调节问题。

由于在上述文献中，外部系统的假设条件大多数都是线性的，非常不利于输出调节理论的发展和应用，文献[7-11]研究了具有非线性外部系统的非线性系统输出调节。文献[13]研究了两类MIMO非线性系统的自适应神经网络控制算法。而文献[14]研究了一类纯反馈非线性系统问题。关于严格反馈非线性系统的输出反馈控制问题，在文献[15]中作了详细介绍。然而，上述文献均要求系统具有稳定的零动态，也就是必须考虑非线性系统是最小相位的情况。

本文研究一类非线性外部系统，且相对阶数等于2的不确定非线性的最小相位系统[16]的全局鲁棒输出调节问题。由于非线性外部系统和非最小相位的假设条件同时在以下系统模型中出现，使得这一问题更为棘手，从而也更具有挑战性。本文将采用非线性内模的方法来设计、反馈控制、自适应理论和Lyapunov函数设计方法[17]等设计一个状态反馈控制器。

1 系统和问题描述

考虑式（1）描述的不确定非线性系统：

且满足a（0）=0的光滑函数。

系统式（1）中 f，g，q 是充分光滑的函数，且

问题描述：考虑非线性系统式（1）和非线性外部系统式（2），设计一个反馈控制器，使得对任意的初始状态和w，所得到的闭环系统的轨迹在时间t＞0是有界的，且使。

为了将式（1）的输出调节问题转化为增广系统的镇定问题，需要作如下假设：

由于解u（v，w）依赖于外部信号 v和w，所以u（v，w）是不能直接用于反馈控制的。那么需要设计一个不依赖v和w的非线性内模系统，渐进地提供一些关于u（v，w）的信息，来达到控制的目标。

2 非线性内模设计

假设2对非线性系统式（1）和式（2），存在一个式（4）所示的非线性系统：

且存在任意的矩阵A，B使得：

综上所述，可以设计一个如下形式的内模系统：

3 状态和输入变换

要使非线性系统式（1）和非线性外部系统式（2）的全局鲁棒输出调节问题转换为全局鲁棒稳定性问题，要对式（1）、式（2）和内模式（8）作式（9）所示的变换：

那么，根据式（1）的状态x和式（9）的x得到：

其中：

再根据式（1）的跟踪误差e可得：

那么可得：

其中：

由此可知，关于非线性系统式（1）和非线性外部系统式（2）的全局鲁棒输出问题转化为式（10）、式（12）、式（13）的全局鲁棒稳定性问题。

假设 4 存在一个在 z（0）=0 的光滑函数 z（e）和下列式子：

能够使得式子：

满足对任意取定的光滑函数c（e）＞0都有：

1）存在一个连续可微的正定函数Ve和两个K∞类的函数，使得：

由此可知：

其中：

这样，就将非线性系统式（1）和非线性外部系统式（2）的全局鲁棒问题转化为非线性系统式（16）、式（19）的全局稳定性问题。

4 反馈控制器设计

定理1对非线性系统式（1）和外部扰动系统式（2），通过设计非线性内模来估计外部未知扰动系统，利用Lyapunov函数和自适应理论推导出控制器式（22），使得系统全局稳定有界，且使得。

其中，Ve（e）是连续可微的，矩阵P是正定对称。

根据Lyapunov函数，可知V是一个无界且正定的函数。那么，对时间t求导得：

由式（18）可得：

由式（5）不等式可知：

可知：

对任意的实数t1，t2，选取适当的常实数ε，使得存在下列不等式：

则由式（27）得：

再把式（21）代入不等式（28）可得：

设：

则得到：

根据控制器式（22），可得：

令：

则由式（33）得到：

综上所述可知：V的导数是负定的，根据Lyapunov从而知道都是有界稳定的，再利用Barbalat引理，可知道。

证毕。

5 仿真实例

本部分内容用一个数值仿真例子来验证前面理论的有效性。

考虑式（35）所示的非线性系统：

其中，w为不确定参数。x，y为系统状态，u为控制输入，e为跟踪误差。v1，v2为干扰，由非线性外部系统生成。

根据式（3）可得：

那么，可以得到非线性内模：

可知满足假设2和假设3。

图1 跟踪误差e

图2 系统状态x，y

图3 控制输入u

图4 ζ的仿真图形

图5 内模η1估计外部系统v1

6 结论

针对一类不确定相对阶数为2的非线性系统式（1），在外部未知非线性扰动系统式（2）下，结合输出调节理论，提出了一种非线性内模，利用Lyapunov函数和自适应理论设计出反馈控制器，使得非线性系统式（1）全局状态渐近的有界稳定，且跟踪误差最终稳定。通过数值仿真可知，设计的控制器是有效的。