“ABBABB……”和“AABAAB……”的规律是一样的吗*——小学数学“找规律”的教育价值是什么

□ 章勤琼

图1选自一本数学绘本，是“找规律”的相关内容，图中有几种不同的物体，这些物体都有一定的规律，比如花是“ABBABB……”型规律，石头是“AABAAB……”型规律，而下面左边房子中的冰淇淋和中间的糖果是“ABAB……”型规律，右边房子中则是“ABC”型规律。但有一个问题让老师们感到疑惑，“图中花和石头的规律是一样的吗？”

图1

有教师认为这里都是每三个一周期，每个周期中都有两种元素，但元素的个数不一样，所以规律不一样。而且，其中元素的顺序不一样，也就是前面提到的“ABB”型和“AAB”型。也有老师认为两者是一样的规律，只不过是从哪个元素开始而已，如果把“ABB”型的周期多写一写，就是“ABBABBABBABB……”从第二个开始看，那么就是“BBABBABBA……”很显然，这里的A和B只是用来区别元素不同，所以与“AAB”型是完全一样的。而从哪一个元素看并不是规律的本质，所以，其实是一样的。

那么，这两种不同型的规律能不能看成一样的？“找规律”的教育价值究竟是什么？我们应该对与此相关的数学概念进行一些梳理，进而可以对教学进行进一步的思考。

一、小学数学中研究的是“规律”还是“模式”？

“规律”并不只是一个数学词汇，其一般的释义为：“事物之间的内在的本质联系。这种联系不断重复出现，在一定条件下经常起作用，并且决定着事物必然向着某种趋向发展。规律是客观存在的，是不以人们的意志为转移的，但人们能够通过实践认识它、利用它。也叫法则。”[1]从中可以看出，“本质”“客观”“不以人们的意志为转移”是“规律”的基本属性。此外，“经常起作用”“决定着某种趋向发展”而且“通过实践认识它、利用它”，应当是“规律”的重要特征。如果以这样的标准来看图1，不论是花、石头，还是房间中的布置，都不能真正称为“规律”，因为很显然，这些摆法都有很强的随意性，并不是“客观”的，而且带有很强的“人为性”的成分，绝非“不以人们的意志为转移”。[2]那从另外一个角度来看，如果我们认为图中的这些物体都已按照一定的“顺序”摆放完毕，而且不再改变，这不就已转化成“客观事实”了吗？从规律的基本属性来看的确如此，但如果从规律的重要特征这一点来看，如果图1中的这些真的成了客观规律，这些“规律”是否有助于我们更有效地去从事实践活动，并预测某种趋向发展呢？很显然，并不具备这样的价值和意义。[3]

正如张奠宙提到的，在小学数学“找规律”的情境中，像“后面一个应是什么”这样的问题中的“应”字是不妥当的，这意味着找的规律只有一种，但事实上，我们还可以找到许多其他的规律，也完全可以说得通。“实际上，找规律问题是一个开放的问题。任何一个有限序列，都可以生成无限多种规律，认为只有一个规律，推断出‘必须是什么’和‘应该是什么’，把开放题封闭成只有唯一答案的题目，在数学上是不对的。”[4]因此，小学数学教学中的“规律”并不是真正科学意义上的“规律”，而“找规律”的教育价值也不应该是给出一个统一的答案。

有研究者认为，与“规律”相比，“模式”①模式对应的英语单词是pattern，在国外的数学教育研究中是一个非常重要的内容。应该是一个更为合适的词语。模式是指“某种事物的标准形式或使人可以照着做的标准样式”[5]，与“规律”相比，同样都是指一定的样式，但并不是客观的，因此也就有了更多的可能形式。那么，相比必须或者应该是什么，像“你觉得下面一个会是什么”这样的问题可能更合适。当然，在用词上是用“规律”或是“模式”并不重要。《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第一学段和第二学段“数与代数”领域中都有“探索规律”这一内容，既然是“探索”，就说明这里的“规律”并不唯一，可以是体现某些特征的可能“模式”，而这些“模式”可以进行一定程度上的抽象。

因此，再回到文章开头提到的那个问题，相比要回答“ABB”型和“AAB”型的规律是否一样，学生能否从一个排列中找出“ABB”型和“AAB”型的模式更有价值。

二、小学数学中“找规律”的教育价值

一般来说，“找规律”的教学中都要强调“一组”“不断”“重复”这几个关键点，并要求在找规律时将其中重复的每一组圈出来，突出“循环单位”或“循环组”，并指出“要让学生体会到这是规律的‘核心’，是认识规律的根本”，而且在教学时要通过“把什么作为一组？”“一组中的第一个数（或图形）是什么？”等问题反复让学生进行体会，形成深刻印象，进而把握规律。[6]

然而，如果仅仅是要让学生能找到某种类型的规律，或是能根据这些规律说出下一个元素是什么，是否需要在小学阶段的数学课中专门开设这样一节课？事实上，这样的一种能力似乎可以看成是人的一种直觉甚至本能。美国西北大学的研究人员在最新的一项研究中发现，三四个月大的婴儿就已经有看图找规律的能力。[7]由于生活经验的积累，一年级学生已经具备初步找简单图形和最简单数字排列规律的能力。而在教学之前的调查也表明，绝大部分学生都能正确填出（按照一定规律排列的图形）后面的图形。[8]那么，对于一、二年级学生而言，“找规律”这一内容的教育价值是什么？一般而言，都认为至少需要达成以下两点：首先，要让学生认识到规律性重复出现的事物无处不在，这是一种模式；其次，只有把握了变化中的规律，才能用“有限的、看得见的”事物预测“无限的、看不见的”事物，即只有把握规律，才能更好地做预测、做判断。[9]

除此之外，是否还有其他的内容呢？如图2，北师大版教材二年级下册中采用了以下处理方法，将主题由“找规律”变成了“‘重复’的奥妙”，并将教学的重点由所谓的“寻找规律”转移到了这样两个问题：（1）生活中有哪些重复出现的现象？（2）我们又应如何去表达所说的重复现象？[10]我们可以看出，在第一个问题中，很明显地将重心由寻找“客观规律”转移到了探索发现“重复模式”上，这种变化体现了“会用数学的眼光观察世界”。在第二个问题中，对重复现象的表达即对模式的抽象与提炼，这里体现了“会用数学的语言表达世界”。

图2

在笔者所听的一节课上，在学生说出图2的灯笼是按一大一小重复摆放，一共摆了四组之后，教师让学生用自己喜欢的方式将灯笼表示出来，也就是教材中的“表示规律”，如何表达重复现象。由图3的学生作品可以看到，至少出现了画图、文字、图形、字母、数字这样五种不同的表示方法。

图3

在画图的表示方法中，学生尝试先画出了第一组中一大一小两个灯笼，而在后面的三组中，以大圆和小圆分别代替大灯笼和小灯笼。说明学生理解了这是两个一组重复出现，而且在后面的表示中进行了适当的抽象。文字、字母、数字，虽然表示的方法不同，但学生都能看出是两个一组重复，而且在一组中都是一大一小这样的顺序。特别值得指出的是用图形表示的这位学生，看起来似乎没有表示出灯笼一大一小这个特征，但这种表示方法的抽象程度更高，更加体现出了“AB”型规律的本质。这里的大小灯笼只是作为重复的一组中不同元素的区别，大小并不是本质特征，因此用五角形和圆形进行表示，从本质上来看是完全一样的。虽然教师在课堂上并没有让学生将重复的一组圈出来，但从所有的表示方法都可看出学生是可以识别出怎样的一组是重复的。此外，还有一个值得注意的地方是，在字母和数字这两种表示方法中，学生分别表示出了五组和六组的重复，而事实上，图2中的灯笼只有四组的重复。学生能进行这样的表示，说明在对规律的理解上，完全可以看出这样的一组在后面是“不断重复”出现的。

所以，从这个环节的教学中可以看出，学生对于“找规律”需要特别强调的“一组”“重复”“不断”这样的三个关键点是完全可以理解的，而且能以适当的抽象方式进行表达。在这节课上比较遗憾的一点是，教师没有让学生进一步讨论，在图形的表示方法中没有体现出灯笼的大小这个特点，这样的表达是否可以？而在用字母和数字表示的方法中并不是四组，这样的表达是否可以？通过这样的讨论，可以让学生更加深入地理解重复规律的本质。

在这之后的教学活动中，教师让学生从图2中找到一个自己喜欢的重复现象，并表示出来，再让其他同学猜表示的可能是什么。如图4（图中的圈是教师在后面讲解的时候加上的），上面采用了两大两小的表示方法，但学生都能理解这里只是表示在一组中区别元素的方法，表示前两个和后两个不一样，并不一定真的要前面两个大，后面两个小。而在下面这个表示方法中，学生在图中找到了多种不同的现象，如旗帜、气球等。更为难得的是，有学生发现在花圃中，如果从第二栏花开始，虽然花的颜色不一样，但都是两栏花、一栏草，可以用这种方式表示。但如果从草开始，就是不一样的表示方法。事实上，这也在一定程度上回答了文章开头的问题，选择了不同的起点，同时看到了“AAB”型和“ABB”型这两种规律，这比直接判断两种规律是否一样要有价值得多。

图4

三、两点教学建议

第一，将教学重心从寻找既定的“客观规律”转移到探索可能的“重复模式”。小学数学中的“找规律”找的并不是“不以人们意志转移的客观存在的规律”。事实上，寻找客观存在的规律也不是“找规律”这一内容的教学目标所在。既然目标不能指向唯一形式的客观规律的寻找，那么在教学中就要让学生认识到需要去探索重复模式，而这种重复模式只是可能的形式，并不唯一，可以有不同的形式，从不同的角度看到不同的模式是数学抽象和数学化的重要内容。

第二，在教学中可以有以下几个重点内容：首先是发现重复的模式；其次是表达重复的模式；之后还需要从经由抽象之后表达出的模式中找到现实的模型。当然，在教学中还可以让学生进行模式的创造，感受有秩序的重复现象带来的数学美感。从创造这个角度来讲，创造“模式”也比创造“规律”更加合适。因为谈到规律，更有客观的意思，是不以人的意志为转移的，我们能做的只有发现并运用到实践中，而模式是指符合一定特征的样式，可以根据自己的需求和喜好进行适当的创造。