小学数学“直觉性错误”现象及教学策略研究——以“数与代数”学习内容为例

□ 吴丽明

有幸拜读了《教学月刊·小学版（数学）》2018年第11期郑倩和郜舒竹两位老师的文章《数学学习中的直觉和误解》，颇受启发。笔者在教学实践中也经常遇到这类错误。下面试图用“数与代数”领域中某些典型的直觉性错误案例，展开对学生心理思维的诊断分析，并提出防止这类错误发生的教学策略。

一、“数字凑整去尾”导致直觉性计算错误分析及建议

【案例分析】

“数字凑整去尾”指的是在计算整数、小数加减法时，数据的尾数相加正好能凑成“10”，相减正好得“0”。我们来看学生的一个错例（如图1）。此题来自于五上年级小数四则计算，出错率为20%（全班30名学生）。为了弄清原委，笔者对出错的学生进行了访谈，回答出奇地一致：“我没仔细看，一看到两个5刚好凑10一起相加，就加了。”

图1

学生的说法给了这类直觉性错误“合理性”，当学生面对能够“凑整或去尾”的计算题时，数字起到了诱导作用，在学生的大脑中会调度出“凑整”或“去尾”的表象，进而用这些表象进行思维，做出破坏计算规则的判断。“凑整去尾”比规则刺激强烈，从而导致学生对“规则”的熟视无睹，“直觉”就告知错误答案。

【教学策略】引导反思，从认知到元认知

从案例中可以看出，“数字特征”诱导及心理准备不足是此类错误产生的主要原因，为纠正与防止这类错误的发生，笔者采用了以下三种教学策略：题组训练—对比反思—举一反三。

1.题组训练。这类“数字诱导”性直觉错误往往在题量少或者单独出现的时候不容易错，所以，事先铺设“题组”，将“凑整去尾”计算题型放置在题组中出现，让学生从集体的高频出错率中主动发现差异，引起心理注意。比如案例中的（2.5+5）×4，看似很简单的题目错误率却很高，当笔者把错题投影出现的时候，学生自己都很“惊讶”。

2.对比反思。对比反思是指让学生通过对比，反思计算过程的正确与错误。比如针对上面案例中的错误，笔者设计了如下导语，让学生明白根源。

师：2.5+5有六位同学算成了3，但在3+0.3这题上却没有出现同样的错误。为什么同样的题型，偏偏就这题错了呢？你是怎么想的呢？

生：（恍然大悟）5和5正好凑整，自然而然就加了，上当了，而另外一道3和3不凑整，就不会这样去想了。

这样的对比反思过程，有利于学生对不同类型的计算题运用正确的计算策略。

3.举一反三。让学生通过这个错例，去思考分析哪些题目也可能会犯同样的错误，以起到举一反三的防止作用。针对上面的案例，教师继续引导学生思考，平时还有哪些计算也是数字干扰你出错呢？通过回顾，学生举出了不少错例，如：3.2-2=3,0.11-0.1=0.1，0.16÷4=0.4，等等。这说明此时学生已经有了主动监控思维的准备，当再次面对数字诱导时，自然就能避免直觉产生的错误。

二、“整数固有观念”导致直觉性认识错误分析及建议

【案例分析】

图2

四则运算中整数固有观念“总数÷份数=每份数，‘每份数’肯定小于‘总数’”就是较为典型的“整数观念”直觉认识，下题（如图2）是一个直觉错例（浙教版五年级上册）：用面积除以总吨数，出错率为13.3%（全班30名学生）。访谈中笔者问学生：“你本来列的数量关系是对的，怎么又划去了呢？”学生回答：“算了以后发现结果比9.9吨还大了，觉得‘每份数’肯定要比‘总数’小，所以我就想是不是要反过来除。”

学生的说法揭示了错误的“合理性”，“整数固有观念”除法里“每份数”一定比“总数”要小，当出现“每公顷的数量”比“总吨数”还大的时候就认为数量关系错了。

【教学策略】预见“错误”，从直觉到“自觉”

从案例中可以看出，对“整数固有观念”的错误认知是产生此类错误的根本原因。为了纠正观念，防止错误，教师要有充分预见，教学时可采用“条件互逆—辩论说理—类比寻源”的策略。

1.条件互逆。对于给定的两个条件A和B，经常同时提出两个互为“被除数和除数”的问题。笔者对教材中的练习进行加工，如“在占地0.025公顷的果园里，有125棵苹果树，平均每棵树占地多少平方米”这一题，可以增加一个条件互逆问题“平均每平方米种苹果树多少棵”。虽然都是除法，但通过条件互逆，学生就会去想每一个除法结果的意义所在，弱化整数除法里“每份数比总数小”的观念。

2.辩论说理。“整数固有观念”被学生冲动地错误使用，还在于学生对算理和数量关系不明晰，缺少从意义上的深入思考，对此，笔者针对此案例中的错误进行了辩论说理的“补救”措施，通过争鸣，把“理”给越辩越明。

师：M同学将对改错，认为总吨数除以公顷数后的“每份数”一定小于总吨数。这种观点错在哪里？请你结合题意来说一说。

生：（从意义理解）因为被除数9.9吨是0.81（正确应为0.825）公顷土地的产量，也就是说1公顷不到就产了9.9吨，那么1公顷产多少，肯定要比9.9吨多。

生：地多了，产量肯定也大了，求出来多才对，少了肯定不对，不应该改。

通过辩论和理性思考，在一定程度上可以抑制固有观念的直觉冲动。

3.类比寻源。错例辨析后，继续让学生对“整数固有观念”进行寻思。教师提问：“还有哪些整数范围里的规律，在小数中运用好像不对了？”学生从错题本上陆续找出了“例证”。比如整数“乘法总是越乘越大，除法总是越除越小”，但是小数就不是这样，并举例0.8÷0.95和0.8的大小比较时，很容易认为除了就小了。通过小组讨论，最后学生用计算验证、画图示意等各种方法逐渐明了这个规律只有在除数是大于1时才会成立。

三、“计算及结果可能性”引起的直觉性判断错误分析及建议

【案例分析】

用所列算式“能否进行四则运算”“结果是否整除、除尽”等直觉来判断数量关系的对与错。此类错误年级越低越突出，新知学习之初更明显。请看以下一题。此题来自二上年级的题组测试对比。

第（一）组学校有两排房子，东边排有8个教室，比西边排教室少4个，西边排教室有几个？第（二）组学校有两排房子，东边排有8个教室，比西边排教室少10个，西边排教室有几个？

结果显示，数量关系相同的情况下，“数字能够进行四则运算”比不能任意进行计算的错误率高20%以上。

访谈时，笔者问学生：“右边这题也有‘少’字，怎么就发现是用‘加’呢？”学生回答：“一开始，我也是用减的，但是8-10不能减，所以想肯定不是减，再看了一下，是加。”

【教学策略】回归“原点”，化直觉为推理

此案例说明学生面对问题，不是根据数量关系来推理出算式，而是凭数字计算直觉做出推论，因此学会分析推理是关键。笔者在教学中据此实施“符号化—回归‘原点’分析—问题出发‘推理’”三大策略，收到一定成效。

2.回归“原点”分析。当学生出现错误后，每次都带领学生回归“概念”“关系”这一“原点”，不是简单地就错论错。针对案例中的题目，引导学生回归关键句“谁多谁少”这一“原点”上来。

师：求的是哪边的教室？

师：西边教室和谁比呢？是多还是少？

师：题目中不是有“少”字吗？怎么是“多”了？你怎么发现的？

师：你可以画个图给大家看看吗？到底哪边教室多，才符合题目意思？

……

如果每次分析错误，教师都能带领学生找到“原点”，从“原点”出发进行思考，久而久之，学生就会养成清晰的分析思路，从而避免用直觉解决问题。

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3.问题出发“推理”。在高年级，培养从问题出发的推理能力，是解决直觉性错误的有效手段。我们再来看一个学生解决平均速度中常见的直觉错例（浙教版五年级上册）。

对此，笔者带着学生展开一次“问题出发的推理”，破解直觉性理解错误。

师：要解决什么问题？根据速度、路程和时间的关系，数量关系应该是什么？

师：回到题中寻找我们需要的路程和时间，你发现了什么？

师：缺少路程、时间，怎么办？

师：两个都要假设吗？路程和时间，假设哪一个更好？

生：假设路程更好，因为上下坡的路程是一样的。

经过推理分析后，笔者把情境变换成“单价”“工效”，在后续测评时发现学生的解题正确率大大提高了，这说明学生已经从直觉判断回归到分析推理这一正确的轨道上来，不再凭直觉用“速度和除以2”计算。

“数与代数”领域的直觉错误现象存在于小学各个年级和各个知识学习阶段，如果我们能够不断地从学生的错误中进行反思，不断寻求解决问题的对策，那么学生的这种错误率一定会降低，也一定会促进他们更好地发展。