如何解决二面角的相关问题

龙新荣

摘要：二面角的问题是高考中常见的内容，直接求二面角的度数或求二面角的某个三角函数值，或证明两个平面垂直等等，我们都知道求二面角的基本方法有定义法、垂面法、三垂线法，但在具体题目中我们很难找到两个平面所成的二面角的平面角，现在让我们看看在解题中怎样解决这类问题。

关键词：二面角 平面角 ⊥（垂直）

在求两个平面所成的二面角时，我们习惯性的的立马在脑子里就想着找到二面角的平面，结越陷越深，时间浪费很多，猛然回头才发现原来是这样。

例如，如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB.

（1）求二面角A?PD?C的平面角的度数；

（2）求二面角B?PA?D的平面角的度数；

（3）求二面角B?PA?C的平面角的度数.

分析：于我的个人经验（1）题就想怎样在线段PD上找一点作A-PD-C的平面角，结果弄了很长时间那个点很难确定，想了好久，我们也很容易得到CD⊥PD，但AD根本不会和PD垂直，突然发现这两个平面所成的二面角是个特殊的直二面角，只要推出平面PAD垂直于平面PDC即可；对于（2）、（3）我们不难发现他们的二面角的平面角在图形上直接能找到，第（2）∠BAD就是B-PA-D的平面角，∠BAC就是B-PA-C的平面角，这样问题就快速的解决了！

解：（1）∵PA⊥平面ABCD

∴PA⊥CD，又∵四边形ABCD是正方形

∴AD⊥CD，又∵PA，AD 平面PAD，且PA∩AD=D

∴CD⊥平面PAD，CD 平面PCD

∴平面PCD⊥平面PAD

∴二面角A-PD-C是直二面角

（2）PA⊥平面ABCD

∴BA⊥PA，DA⊥PA，∴∠BAP是二面角B-PA-D的平面角

又∵∠BAP=90°

∴二面角B-PA-D=90°

（3）由（2）知∠BAC是二面角B-PA-C的平面角=45°

有些题目中虽然二面角在图形中已存在但需要我们经过证明才能确定二面角的平面角，而且证明过程还比较麻烦。

例如，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，∠DAB=60°，三角形PAD为正三角形垂直平面ABCD， G为AD的中点，

求二面角A-BC-P 的大小。

分析：此题二面角的平面角就是∠PBG二面角

的平面角，它是平面ABCD和平面PBC所成的二面角

的平面角，但是要推出∠PBG二面角A-BC-P的平面

不容易。

解：∵三角形PAD為正三角形，G为AD中点，

∴PG⊥AD，又∵四边形ABCD为菱形

∴BC⊥PG

∵∠DAB=60°，菱形边长为a

∴GB =（ a） +a -2× a×acos60°

∴GB= a

AG +BG =AB ，∴三角形ABG为直角三角形，即BG⊥AD

又∵PG，BG 平面PGB，且PG∩BG=B

∴AD⊥平面PGB，即BC⊥平面PBG

∴∠PBG是二面角A-BC-P的平面角

又∵平面PAD⊥平面ABCD，PG⊥AD

∴PG⊥GB，△PGB为直角三角形。PG=BG

∴A-BC-P=45°

有时在题目的图形中并没有给出二面角的平面角，这时需要我们自己去构造二面角的平面角，怎样去构造平面角的二面角就比较困难了，在两个半平面内看看两个半平面是不是有公共底的等腰三角形，如果是则作这条公共底的中线或高或者作两三角形点角的平分线就可以构造出二面角的平面角，从而使问题得以解决！如下面的题：

例1.如图所示，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置，使CD=AC，求二面角C?BD?A的余弦值.

解：取AB中点O，连接OD、OC，取BD的中点E，连接CE、OE.

则有OD⊥AB，OC⊥AB，即∠COD是二面角C?AB?D的平面角.

设AC=a，则OC=OD=22a.

又CD=AD=AC，∴CD=a，

∴△COD是直角三角形，即∠COD=90°∴OC⊥平面ABD

∵△BCD为正三角形，∴CE⊥BD.

又△BOD为等腰直角三角形，∴OE⊥BD.

∴∠OEC为二面角C?BD?A的平面角.

又∵OC⊥平面ABD，∴OC⊥OE.

∴△COE为直角三角形.

∵BC=a，则CE=32a，OE=12a.

∴cos∠OEC=OECE=33.

例2.已知Rt △ABC，斜边BC?α，点A?α，AO⊥α，O为垂足，∠ABC=30°，∠ACO=45°，求二面角A?BC?O的大小.

解析：如图所示，在平面α内，过O作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.

设OC=a，∵AO⊥α，BC?α，

∴AO⊥BC.又∵AO∩OD=O，

∴BC⊥平面AOD.

而AD?平面AOD，

∴AD⊥BC，∴∠ADO是二面角A?BC?O的平面角.

由AO⊥α，OB?α，OC?α知AO⊥OB，AO⊥OC.

又∠ABO=30°，∠ACO=45°，

∴AO=a，AC=2a，AB=2a.

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，

∴BC=AC2+AB2=6a，

∴AD=AB·ACBC=2a·2a6a=233a.

在Rt△AOD中，sin∠ADO=AOAD=a233a=32.

∴∠ADO=60°，即二面角A?BC?O的大小是60 °.

求二面角的大小关键是作出二面角，作二面角的平面角的方法：

1.（定义法） 在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.

2.（垂直法） 过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.

3.（垂线法） 过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角.

在解题时我们要会在立体图形中灵活寻找二面角的平面角，利用线面的垂直关系，线线垂直，勾股定理及逆定理，来寻求垂直关系，找到二面角的平面角，从而解决问题！