具有不对称非线性项平面系统周期解的存在性*(下)

2019-06-11马田田

首都师范大学学报（自然科学版） 2019年3期

关键词：易知等式常数

马田田

(首都师范大学，北京 100048)

4 主要引理的证明

x(t)=r(t)cosθ(t),y(t)=r(t)sinθ(t).

通过极坐标变换，系统(3.1)变形为

(3.2)

这里p1(t,r,θ)=p1(t,rcosθ,rsinθ),p2(t,r,θ)=p2(t,rcosθ,rsinθ). 令

(r(t),θ(t))=(r(t,r0,θ0),θ(t,r0,θ0))

表示系统(3.2)满足初始条件r(0,r0,θ0)=r0,θ(0,r0,θ0)=θ0的解，其中x0=r0cosθ0,y0=r0sinθ0.

接下来，引进旋转数的定义. 假设(x(t),y(t))是系统(3.1)的一个2π周期解，且对任意t∈[0,2π]，有x(t)2+y(t)2≠0, 其相应的极坐标表示为(r(t),θ(t)). 定义 (x(t),y(t))的旋转数为

4.1 引理3.4的证明

使得

和

x*=x(t*)=max{x(t)∶α≤x(t)≤β}.

因为x′(t*)=0, 所以f(y(t*))+λp1(t*,x(t*),y(t*))=0. 根据条件(h4), |f(y(t*))|≤M0. 由(h2)、(h3)可知存在d1>0使得|y(t*)|≤d1. 根据(h2)可知f(y)在区间[-d1,+∞)上是有下界的，而由(h3)可知f(y)在区间(-∞,d1]上是有上界的. 因此, 存在η>0使得

f(y)≥-η,y∈[-d1,+∞);f(y)≤η,y∈(-∞,d1].

(3.3)

下面估计t*-α. 选取常数M>M0(M0是条件(h4)中的常数).令

显然,M1>M0. 由(h1)可知存在d2>0使得

sgn(x)g(x)≥M1, |x|≥d2.

(3.4)

定义W+∶R2→R,

W+(x,y)=F(y)+G(x)+M(x-y).

记

W+(t)=F(y(t))+G(x(t))+M(x(t)-y(t)).

则有

若x(t)≥d2，y(t)≥-d1, 则由(h4), (3.3)和(3.4)可得

从而当(x(t),y(t))位于区域{(x,y)∈R2∶x≥d2,y≥-d1}中时，W+(t)是递增的. 取tα∈(α,t*)，tβ∈(t*,β)使得

x(tα)=d2,x(t)≥d2,t∈(tα,t*),

及

x(tβ)=d2,x(t)≥d2,t∈(t*,tβ).

因为y′(t)=-g(x(t))+λp2(t,x(t),y(t)), 所以由条件(h4)和(3.4)可知当t∈[tα,t*]时，有y′(t)≤0. 进而，y(t)≥y(t*)≥-d1,t∈[tα,t*]. 这样，当t∈[tα,t*]时, 有

W+(t)≤W+(t*).

因此，

F(y(t))+G(x(t))+M(x(t)-y(t))≤F(y(t*))+G(x*)+M(x*-y(t*)).

由于|y(t*)|≤d1, 故存在常数B1>0使得|F(y(t*))|≤B1. 进而可知

F(y(t))-My(t)≤[G(x*)-G(x(t))]+M[x*-x(t)]+B1+Md1.

(3.5)

(l+-ε)y-Mε≤f(y)≤(l++ε)y+Mε,y≥-d1,

及

(3.6)

由(3.5)和(3.6)可得当t∈[tα,t*]时, 有

(l+-ε)y2(t)-2(M+Mε)y(t)≤2[G(x*)-G(x(t))]+2M[x*-x(t)]+B2,

这里B2=2(Mε′+B1+Md1). 因此，可得

故当t∈[tα,t*]时, 有

y(t)≤

注意到x′(t)=f(y(t))+λp1(t,x(t),y(t)), 由(h4)可知当t∈[tα,t*]时, 有

(3.7)

由(h1)可以推出当x*→+∞时,

故有

+o(1).

取一个正常数K. 记

其中

若x∈[0,x*-K],则当x*充分大时, 有

G(x*)-G(x)+M(x*-x)≥G(x*)-G(x*-K)+MK=[g(ξ1)+M]K→+∞,x*→∞,

这里ξ1∈[x*-K,x*].因此，当x*→+∞时, 有

若x∈[x*-K,x*], 则有

G(x*)-G(x)+M(x*-x)=[G(x*)+Mx*]-[G(x)+Mx]=[g(ξ2)+M](x*-x)≥μ(x*)(x*-x),

其中ξ2∈[x*-K,x*],μ(x*)=min{g(x)+M∶x*-K≤x≤x*}. 显然，μ(x*)→+∞,x*→+∞. 从而，可得

易知

根据Ji(i=1,2)的渐近性可知当时x*→+∞, 有

(3.8)

由[6]中的引理4和条件(τ0)可得

(3.9)

由(3.7)，(3.8)和(3.9)可知当x(t*)→+∞时, 有

接下来估计tα-α. 因为0≤x(t)≤d2,α≤t≤tα,故由引理3.2可知当x*→+∞时, 有min{y(t)|α≤t≤tα}→+∞, 进而，cα=min{f(y(t))|α≤t≤tα}→+∞.

对等式x′(t)=f(y(t))+λp1(t,x(t),y(t))两边在区间[α,tα]上取积分，可得

因此，

(cα-M0)(tα-α)≤d2.

于是，当x*→+∞时, 有

tα-α=o(1).

这样，就证明了当x*→+∞时, 有

下面估计β-t*.定义函数W-∶R2→R,

W-(x,y)=F(y)+G(x)+M(x+y).

令

W-(t)=F(y(t))+G(x(t))+M(x(t)+y(t)).

则有

若x(t)≥d2，y(t)≤d1, 则由(h4),(3.3)和 (3.4)可得

由此可知当(x(t),y(t))位于区域{(x,y)∈R2∶x≥d2,y≤d1}中时，W-(t)是递减的. 应用估计t*-α的方法，可以推得

因此，当x*→+∞时, 有

应用同样的方法可以推得

故有

令ε→0, 可得

4.2 引理3.5的证明

沿用证明引理3.5时的记号, 先估计β-α. 定义U+∶R2→R,

U+(x,y)=F(y)+G(x)-M(x-y).

令

U+(t)=F(y(t))+G(x(t))-M(x(t)-y(t)).

若x(t)≥d2，y(t)≥-d1,则由(h4),(3.3) 和 (3.4) 可得

≤(M+M0)η+(M0-M)g(x(t))+2MM0≤0.

因此，当(x(t),y(t))位于区域{(x,y)∈R2∶x≥d2,y≥-d1}中时，U+(t)是递减的. 从而，当t∈[tα,t*]时,

U+(t)≥U+(t*).

由此可知当t∈[tα,t*]时，

F(y(t))+G(x(t))-M(x(t)-y(t))≥F(y(t*))+G(x*)-M(x*-y(t*)).

(3.10)

根据引理3.5的证明可知存在一个常数B1>0使得|F(y(t*))|≤B1. 由(3.10)可得

F(y(t))+My(t)≥(G(x*)-G(x(t)))-M(x*-x(t))-M1,t∈[tα,t*],

(3.11)

这里M1=B1+Md1. 对充分小的0<ε0使得当y≥-d1时,

(l+-ε)y-Mε≤f(y)≤(l++ε)y+Mε.

(3.12)

进而，存在M2>0使得当y≥-d1时,

(3.13)

于是，由(3.11)和(3.13) 可推出当t∈[tα,t*]时，

(l++ε)y2(t)+2(M+Mε)y(t)≥2(G(x*)-G(x(t)))-2M(x*-x(t))-2(M1+M2).

故有

(3.14)

G(x*)-G(x(t))-M(x*-x(t))

=[G(x*)-Mx*]-[G(x(t))-Mx(t)]

≥[G(x*)-Mx*]-[G(x*-L)-M(x*-L)]

=[G(x*)-G(x*-L)]-ML

=[g(ξ)-M]L→+∞, 当x*→+∞,

(3.15)

这里ξ∈[x*-L,x*]. 因此，存在常数C1>0使得当x*≥C1并且x(t)∈[d2,x*-L]时,

(3.16)

由(3.14)和(3.16)可知当x(t)∈[d2,x*-L]时, 有

因为x′(t)=f(y(t))+λp1(t,x(t),y(t)),所以由 (3.12)可推得

令t1∈[tα,t*]使得x(t1)=x*-L.则可得

由(3.15)和[6]中引理4可知当x*→+∞时, 有

因此，当x*→+∞时, 得到

(3.17)

接下来，估计t*-t1. 对等式x′(t)=f(y(t))+λp1(t,x(t),y(t))两边在区间[t1,t*]积分可得

故有

另一方面，由(3.12)可知

从而，

(3.18)

对等式y′(t)=-g(x(t))+λp2(t,x(t),y(t))两边在区间[t,t*](t∈[t1,t*])上积分, 可得

这里ν(x*)=min{g(x)|x∈[x*-L,x*]}. 显然，当x*→+∞时，ν(x*)→+∞. 因此，

(3.19)

根据(3.18)和(3.19)可知当x*→+∞时,

t*-t1=o(1).

结合(3.17)可得

由引理3.5的证明可知tα-α=o(1),x*→+∞. 因此，得到当x*→+∞时, 有

为了估计β-t*, 引进另一个函数U-∶R2→R,

U-(x,y)=F(y)+G(x)-M(x+y).

令

U-(t)=F(y(t))+G(x(t))-M(x(t)+y(t)).

若x(t)≥d2,y(t)≤d1,则由(h4), (3.3)和(3.4)可得

-η(M0+M)+g(x(t))(M-M0)-2M0M≥0.

由此可知当(x(t),y(t))位于区域{(x,y)∈R2∶x≥d2,y≤d1}中时，U-(t)是递增的. 应用估计t*-α的方法, 可以得到当x*→+∞时, 有

因此，

类似地，可以推得

于是, 当x*→+∞时, 有

5 定理1.1的证明

只需验证连续性定理2.1的4个条件都满足即可，分4步进行验证.

(1) 存在常数D>0使得若(x(t),y(t))是系统

x′=f(y),y′=-g(x)

(4.1)

的任意2π周期解，则有

x2(t)+y2(t)≤D2,t∈[0,2π].

事实上, 系统(4.1)的首次积分可以表示为

Γc∶F(y)+G(x)=c,

这里F(y),G(x)是在第三节中定义的函数,c是一个任意常数. 易知当c>0充分大时,Γc一条围绕原点的星型闭曲线. 对充分大的c, 用(xc(t),yc(t))表示系统(4.1)位于曲线Γc的周期解，其最小周期记为T(c). 由引理3.5和引理 3.6的证明 (λ=0的情形)可知对任意充分小的ε(0<ε0, 有