点的坐标与点到坐标轴的距离要注意互转

段卫华

摘要：在解答函数与几何图形相关联的综合问题时，常用的技巧是把图象上特殊点的坐标与点到两坐标轴之间的距离进行互转，以便实现几何与代数知识的综合运用.本文以求解反比例函数综合题为例进行说明.

关键词：点的坐标;点到坐标轴的距离;相互转化

在求解反比例函數综合题时，要结合图形、图象，把图象上特殊点的坐标与点到两坐标轴之间的距离进行互转，这是破解此类难题的关键所在.现举例说明如下：

例1[1] （2017年西工大附中模拟）如图1，反比例函数y=k/x的图象与矩形AOBC的边AC交于点E，且AE= 2CE，与另一边BC交于点D，连接DE.若S △CED=1，则后的值为______.

例3（2017年西安高新一中模拟）如图5，直线

y=一1/2x一1与反比例函数y=k/x的图象交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点G，若AB =AC，则k的值为__.

解 过点A作AD lx轴于点D，过点A作AEly轴于点E，交BC于点F，如图6所示.

因为 BC⊥x辅，所以AD//BC//y轴.

又因为AB =AC，所以CF= FB，AF⊥BC.

所以四边形ADBF为矩形.

则AD =BF = 1/2BC.

设点A的坐标为（x，y），则点C的纵坐标为2y，k=x·y=x/2·2y，即C点的横坐标为x/2'

又因为B、G两点分别是y=一1/2x一1与x轴y，轴的交点，则B（一2，0），G（0，-1）.即x=-4.

所以OG=1，BD= BO =2.

则△ADB≌△GOB.

所以OG =AD=1.

即点A的坐标为（-4，1）.所以k=-4.

例4（2017年陕师大附中模拟）如图7，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线y=k/x（x>0）上，将正方形ABCD沿x轴负方向平移m个单位后，点C恰好落在双曲线y=k/x（x>0）上，则m：______.

解 过点D作DE⊥x轴于点E，如图8所示.

因为A、B两点分别是y= -3x +3与x轴、y轴的交点，所以A（1，0），B（O，3）.

则OB =3，OA =1.

又因为四边形ABCD是正方形，

所以△ABOV≌△DAE.

则AE =3，DE=1.

所以点D的坐标为（4，1）.

则后：4.即双曲线为y=4/x（x>0）.

因为点D可看成是点A向右平移3个单位，再向上平移1个单位所得，所以点C的坐标可看成是点B向右平移3个单位，再向上平移1个单位所得[2]，即为（3，4）.

当正方形ABCD沿x轴负方向平移m个单位后，若点C恰好落在双曲线上，则此时点C的坐标应为（3一m，4），所以k=4 =4（3一m），则m=2.

综上，在解答反比例函数综合题时，要注意过适当的点作与x轴或y轴的垂线作为解题的辅助线，以便实现点的坐标与点到两坐标轴之间距离的相互转化.在解答中，还应注意借助反比例函数中系数k来作为解题的桥梁.

参考文献：

[I]武泽涛.2018年陕西中考试题研究·数学[M].西安：陕西科学技术出版社.2017.

[2]马复.义务教育教科书·数学·教师教学用书（八年级下册）[M].北京：北京师范大学出版社，2014.