通用EIV模型的方差分量估计

戴理文，王胜平

(1.东华理工大学 测绘工程学院，江西 南昌 330013；2.流域生态与地理环境监测国家测绘地理信息局重点实验室，江西 南昌 330013)

总体最小二乘[1-4]是在最小二乘的基础上考虑系数矩阵误差平差的一种方法，是EIV(Errors-in-Variables)模型的严密估计方法，总体最小二乘方法得到广泛的发展，文献[5-7]研究一般权阵下的总体最小二乘的迭代算法；文献[8-10]研究附有约束条件的总体最小二乘方法；文献[11]针对EIV模型系数矩阵中存在随机元素与固定元素的情况，提出Partial EIV(Partial Error-in-Variables)模型，文献[12]分析总体最小二乘方法的研究进展，总结Partial EIV模型可以提高计算效率的优势；文献[13-14]分别研究不相关观测与相关观测时的解算方法；文献[15]推导附有不等式约束的Partial EIV模型解法；文献[16]推导附有相对权比的Partial EIV模型平差方法；相对于Partial EIV模型，文献[17]针对某些特定数据的结构，在经典通用平差模型的基础上考虑观测量系数矩阵与参数系数矩阵的随机误差，推导通用EIV模型的解算方法。

方差分量估计[18-20]又称随机模型的验后估计，由于随机模型不确定性进而对权进行修正的方法。文献[21]分析EIV模型的最小二乘方差分量估计方法；文献[22]引入权修正因子，推导Partial EIV模型的Helmert方差分量估计；文献[23]得到Partial EIV模型的非负最小二乘方差分量估计。文献[24]推导EIV模型的最小范数二次无偏估计，分析由参数估值偏差引起的方差分量估值的偏差，推导方差分量估值偏差的表达式；文献[25]推导概括函数平差模型的通用方差分量估计。

基于上述分析，本文以通用EIV模型为平差模型，对公式进行转换推导通用EIV模型的方差分量估计表达式，通过算例实验说明本文方法的可行性。

1 通用EIV函数模型及其解算

通用EIV模型是在经典通用平差模型的基础上考虑观测向量的系数矩阵与参数的系数矩阵，固定矩阵推广到随机矩阵，其函数模型形式为[17]

(B+EB)(y+ey)-(A+EA)x-w=0.

(1)

式中：B和EB为m×n的观测向量的系数矩阵及其改正数矩阵，y和ey为n×1的观测向量及其改正数误差，A和EA为m×u的参数的系数矩阵及其改正数矩阵，x为u×1待估参数，w为m×1常数向量。

将式(1)展开得：

By+Bey+(yT⊗Im)eB+EBey-

Ax-(xT⊗Im)eA-w=0.

(2)

上式等价于：

By-Ax+[YT⊗In-xT⊗ImB+EB]

(3)

写成附有参数的条件平差模型：

By-Ax+CV-w=0.

(4)

其中：

C=[yT⊗In-xT⊗InB+EB]，

vec表示矩阵拉直运算。

因此，通用EIV模型的随机模型：

(5)

式中：QB,QA,Qy分别为观测向量系数矩阵拉直向量、参数系数矩阵拉直向量及观测向量的协因数阵，σ2为单位权方差。

对通用EIV模型进行解算，其残差平方和最小为准则为：

(6)

构造拉格朗日极值函数为：

Φ=VTQ-1V+2λT(By-Ax+CV-w).

(7)

对待估量求一阶偏导并令其等于0。

(8)

(9)

(10)

由式(9)得：

(11)

将式(11)代入式(9)和(10)得：

(12)

将式(12)代入式(8)得：

(14)

(15)

由此可以得到观测值改正数为：

(16)

其中：

2 方差分量估计

考虑到平差前给定的权不准确，并且式(5)中三类数据定权时给定的单位权方差不相等，即其形式为：

我国的国土空间规划工作正处于探索阶段，在具体的执行过程中还存在着一定的问题。这就要求相关的政府部门积极借鉴国外好的经验，在“多规合一”的基础上对我国的空间规划体系进行优化与完善，从而促进我国的相关规划任务得以顺利推行，促进国土空间规划体系得到持续的发展。

(17)

根据协方差传播律可以得到Δ的方差为：

(18)

此时，p=3，若观测向量系数矩阵没有误差，eB=0，则p=2，同理，p值随着其它观测量的误差变化。

本文以最小二乘方差分量估计方法为例，进行公式推导， 根据式(2)及式(16)可得到：

因此有：

(19)

D(Δ)=E(ΔΔT)=E{RTf(RTf)T}=

(20)

存在向量t=RTf，可得到：

(21)

E{vh(ttT)}=E(yvh)=Avhσ,Wvh.

(22)

式中：σ为由方差分量组成的向量，Wvh为yvh的权阵：

文献[20]给出了vec与vh之间的关系，对任意一个对称矩阵G存在vec(G)=Dvh(G)，其中矩阵是列满秩矩阵且满足Wvh=DT(Wt⊗Wt)D，其中Wt表示向量t的权阵。

对式(22)进行最小二乘解算，其准则为：

(23)

进而得到方差分量估值的表达式为：

(24)

文献[20-21]通过转换，得到法矩阵N和列向量K的形式为：

(25)

其中：

计算得到方差分量估值。

3 算例分析

本文算例采用文献[21]中的直线拟合数据，其具体数据如表1所示。

表1 坐标观测值及相应的权值

由于通用EIV模型中涉及观测向量系数矩阵的误差，若假设观测向量系数矩阵没有误差时，直线拟合模型为：

(26)

[ξ1,ξ2]T为待估参数，直线拟合模型是常见的含有非随机元素与随机元素的模型，在使用Partial EIV模型进行解算时还需要给出向量h和固定矩阵B，由式(26)可知，向量h和矩阵B的形式为：

(27)

表2 不同方法的解算结果

图1 方差分量估值变化图

4 结果分析

1)考虑更具有一般性的通用EIV模型，在平差解算之后进行方差分量估计的公式推导，得到方差分量估计的一般表达式；

2)从表2可以看出，当不考虑通用EIV模型观测向量系数矩阵的误差时，该方法退化为普通EIV模型形式，解算得到的结果与已有文献结果相同，得到不同类观测数据的方差分量估值，不失一般性；

3)本文在将通用EIV模型转换为附有参数的条件平差模型再进行方差分量估计，其形式简单，更易理解。

5 结束语

在应用方面，某些特定数据在一定条件下更适用于通用EIV模型，其形式上类似与概括函数平差模型，不过此时是考虑所有可能含有观测向量的随机误差，其模型更具有适用性；在通用EIV模型平差解算的基础上，本文考虑方差分量估计的解算，进一步完善通用EIV模型的发展，算例实验说明通用EIV模型的一般性，得到与已有方法相同的参数估值与方差分量估值，进一步完善测量平差理论。