由一次习题课教学片断引起的思考

☉江苏省南通市通州区教师发展中心 王惠清

习题课该如何上？这是我们每一位数学老师都应该思考的问题.在一次区级调研活动中，笔者关注到某年轻教师的一堂习题讲授课，现就其在“完美解法”“优秀解法”的教学上作出自己的思考.

师（边板书）：前段时间出现了这样一道有关数列方面的考题，今天我们就围绕这一考题进行以下探讨.

题目 在等差数列{an}中，当且仅当n=6时，Sn有最大值，则使Sn＞0的n的最大值为______.

师：我们班的52名同学在此题的得分情况上很不乐观：40名同学一分未得；7名同学得了部分分数；5名同学空白未答.

师：借助抛物线的图像来解决此题就显得特别直观且完美了，大家看一下老师的完美解法：

①当对称轴n=5.5时，如图1，由对称性知，S11=S0=0，当对称轴向右微移时有S11＞0且S12＜0.

图1

图2

②当对称轴n=6.5时，如图2，由对称性知，S13=S0=0，当对称轴向左微移时有S12＞0且S13＜0.

综合①②可得，若使Sn＞0的n的最大值为11或12.

点评：这是借助二次函数图像解决问题的方法，解题时取两个极端点作为对称轴，并在抛物线的对称轴左移、右移时对图像的变化进行观察，体会出S11＞0且S12＜0或S12＞0且S13＜0并得出结论.该班执教老师在课后对学生进行了问卷调查，学生对这一“完美解法”“优秀解法”的掌握情况并未达到教师的预期，很多学生在该方法的理解与接受上表现得很吃力，教师未作铺垫就作出了过原点的图3的情形，教师在这一过程中又是怎样进行思考的呢？ 假如首项a1＜0，则S1=a1＜0，此时的图像很可能即为图4所示的不过原点的情形，假如正是图4所示的情形，那么S11、S12、S13的正、负又该怎样判断呢？教师所展示的这一解法确实直观且准确，但在解题的过程中似乎总有什么环节显得并不那么顺畅.

图3

图4

笔者在之后所进行的教研活动中有意识地提及了这一问题，大多数同事在此题的解法上持有相同的想法，很多同事对于此题是否存在更易理解的解法上并未作出深刻的思考.笔者深知该教师的解法确实堪称完美，但该问题背后所隐藏的深层知识并未得到应有的挖掘与思考，于是笔者便对该题中所隐含的深层问题作一次由难到易的探究.

探究1：基于二次函数Sn的图像对对称轴在不同位置上引起的Sn的变化进行观察与分析，并由此得出结论，这是模仿上述“完美解法”作出的思考，但显然更完整.

图5

图6

②当对称轴n′靠近区间（5.5，6.5）的左端点时，由n′=得a＞-5d＞0，因此S=a＞0，又S=0（虚拟值），1110令对称轴n′=5.6，Sn的图像如图6所示，其虚拟零点为n=0和n=11.2，因此S0=S11.2=0，又Sn在区间（5.6，+∞）上单调递减，因此S11＞S11.2=0且S12＜S11.2=0，所以使Sn＞0的n的最大值为11.

图7

③当对称轴n′靠近区间（5.5，6.5）的右端点时，由得首项-5d＜a＜-6d，则1S1=a1＞0，又S0=0（虚拟值），令对称轴n′=6.4，Sn的图像如图7所示，Sn的虚拟零点为n=0和n=12.8，因此S0=S12.8=0，又Sn在区间（6.4，+∞）上单调递减，因此S12＞S12.8=0且S13＜S12.8=0，所以使Sn＞0的n的最大值为12.

综合①②③可知，使Sn＞0的n的最大值为11或12.

点评：这一解法相对烦琐，但显然对学生的抽象概括能力、运算能力、思维能力都能起到很好的锻炼作用.

探究2：着眼于对称轴进行分类讨论，根据其位置对Sn的正负变化进行判断.

①当对称轴5.5＜n′=k≤6时，有60.5＜11k≤66且66＜12k≤72，因此S11＞0且S12≤0，此时使Sn＞0的n的最大值为11；

②当对称轴6＜n′=k＜6.5时，有72＜12k＜78且78＜13k＜84.5，因此S12＞0且S13＜0，此时使Sn＞0的n的最大值为12.

综合①②可知，使Sn＞0的n的最大值为11或12.

点评：这一解法虽然比探究1中的解法更为简洁，但对于解题者的思维能力和逻辑推理能力却提出了更高的要求，学生运用此法解题时大多无法达到最终目标.

探究3：着眼于对称轴落实函数解法，构造数列“和”函数，并对“和”函数的性质进行研究，最终通过构造不等式对n的取值范围进行确定.

点评：这是一种思维量、计算量都不大且易于操作的解法，是适合广大学生的主流解法.

探究4：根据题意对数列的正负分界项进行确定可得an＞0且an+1≤0（或an≥0且an+1＜0），根据等差数列的性质ap+aq=am+an进行等价转换，可得Sn＞0且Sn+1≤0（或Sn≥0且Sn+1＜0）.

分析：当且仅当n=6时，S6取得最大值，则公差d＜0，同时a1＞0，a2＞0，a3＞0，a4＞0，a5＞0，a6＞0且a7＜0.

①若a6+a7＞0时，有且所以S＞0的n的最大值为n12；

②若a6+a7≤0时，有且，所以使S＞0的n的最大值n为11.

综合①②可知，使Sn＞0的n的最大值为11或12.

点评：这一解法更为简洁，但对解题者的知识储备要求较高，如ai＞0（i=1，2，3，4，5，6）且a7＜0，另外还要求解题者对等差数列性质的等价转换熟练掌握，否则解题就比较困难了.

上述四种探究正好是从四个角度对该题进行解读，探究1实际上是对该执教老师“完美解法”的模仿，只不过相比而言更为深入且全面，问题的本质也在探究1的解读中获得了很好的揭示，学生也更容易接受.探究2则是在探究1解法基础上进行优化，着眼于“和式Sn”并对S11、S12、S13的正负进行了逐步的判断.在探究2的解法上进行优化与整合所得的探究3存在着显著的优点，分步判断的正负得以省略，通过解不等式kdn＞0得以锁定自变量n的范围.从探究3的角度出发并借助等差数列的性质，得到了探究4中的解法，这一解法更为新颖.对这四种解法进行比较不难发现，探究3、探究4中的解法相对更为简短，解题书写更为容易且清晰，很多学生也更加倾向于这两种解法.

体会：解决“当n为何值时，使Sn的值最大或最小”或“使Sn＞0（Sn＜0）的n的值最大或最小为多少”一类问题时，通性通法往往是在“完美解法”不足之处的思考上获得的，对“完美解法”进行去粗存精、整合优化的深入探究往往能够得到更好的解题效果.F