雨后静观“题”意思
——对一道高考题的再研究
2019-05-29山东省昌邑市教研室付世安
☉山东省昌邑市教研室 付世安
☉山东省单县第一中学 卫小国
一、试题呈现
（2017年全国Ⅰ卷理科第20题，下文简称第20题）已知椭圆，四点P（11，1），P（20，1），中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.
第20题内涵丰富、背景深邃，文［1］进行“一题多解、一题多变”，推广得出一般性质；文［2］改“斜率之和”为“斜率之积”略作论证.笔者研读，收获颇丰，却顿生疑惑：“斜率之积为定值”与“直线过定点”等价吗？性质是否为圆锥曲线的统一性质？笔者以斜率之积不为零且取圆锥曲线的右顶点为例，深入探究，终有所获，现成文以供研讨.
二、拓展研究
“斜率之积为定值”与“直线过定点”的充要条件的探究.
1.充要论证
命题1：设椭圆为椭圆的右顶点，直线l与椭圆相交于C，D两点，且kAC、kAD分别为直线AC、AD的斜率，则直线l过定点的充要条件是kAC·kAD为定值.
证明：假设斜率之积为定值λ，易知直线l斜率为0时不符合.设与椭圆联立，化简得（b2+
另一方面，设直线过x轴定点（n，0），即l：y=k（x-n），与椭圆联立，化简得：
综上所述，直线l过定点的充要条件是kAC·kAD为定值.
特别指出，若直线l与x轴交点的横坐标为时，可得于是有如下结论：
定理1：设椭圆为椭圆的右顶点，直线l与椭圆相交于C，D两点，且kAC、kAD分别为直线AC、AD的斜率，则直线l过x轴上定点的充要条件是为定值λ.
2.问题变式
斜率之积为定值与直线过定点的等价，在一般椭圆中是成立的.下面猜想在双曲线、抛物线中的情形，并论证.
命题2：设双曲线为双曲线的右顶点，直线l与双曲线相交于C，D两点，且kAC、kAD分别为直线AC、AD的斜率，则直线l过x轴上定点的充要条件是为定值λ.
证明：假设斜率之积为定值λ，易知设直线l斜率为0时不符合.设与双曲线联立，化简得
另一方面，设直线过x轴定点（n，0），即l：y=k（x-n），此时类比椭圆同理可证.
于是在圆锥曲线中可以推广至双曲线，而在抛物线中的结论略有不同，更显简洁.
命题3：抛物线y2=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，直线l与抛物线相交于C，D两点，且kOC、kOD分别为直线OC、OD的斜率，则直线l过定点的充要条件是kOC·kOD为定值λ.
证明：假设斜率之积为定值λ，易知直线l斜率为0时不符合.设l：y=kx+m，与抛物线y2=2px（p＞0）联立可得：k2x2+（2km-2p）x+m2=0.
另一方面，设直线过x轴定点（n，0），即l：y=k（x-n）与抛物线y2=2px（p＞0）联立可得k2x2-（2k2n+2p）x+k2n2=0，
于是有如下结论：
定理2：设抛物线y2=2px（p＞0），O为抛物线的顶点，直线l与抛物线相交于C，D两点，且kOC、kOD分别为直线OC、OD的斜率，则直线l过定点的充要条件是为定值λ.
三、命题应用
上述结论揭示了圆锥曲线内“斜率定积，线过定点”的优美性质，阐释了“化动为静，以静制动”的思想方法.而且借助变式，不难解答以下问题.
题1（人教B版选修2-1第73页教材习题）过抛物线的顶点O作互相垂直的弦OA和OB.
求证：弦AB与抛物线的对称轴相交于定点.
简解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0），根据kOA·kOB=-1，根据定理2，容易求得定点为（2p，0）.
题2（2013年卓越联盟自主招生考试）设椭圆的离心率为，斜率为k的直线l过点E（0，1）且与椭圆交于C，D两点.
（2）设A为椭圆的下顶点，kAC、kAD分别为直线AC、AD的斜率，证明：对任意的k，恒有kAC·kAD=-2.
简解：（2）类比椭圆命题定理1，当A为椭圆的下顶点时，直线l恒过y轴定点
把a2=6，b=2，yE=1代入得，λ=-2.命题得证.
题3（2018年浙江教育评价联盟）设椭圆=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，长轴长为4.
（1）略.
（2）设过点F1的直线l与椭圆交于C，D两点，试问是否存在x轴上定点M，使得MC，MD的斜率之积为定值？若存在，求出定值与定点；若不存在，说明理由.
简解：椭圆直线CD交x轴于定点（-1，0）.
当M为椭圆右顶点（2，0）时，有
此时，定点为（-2，0），MC，MD的斜率之积为
