生活中的指数函数

河南省林州市经济管理学校 李庆恩

指数函数在自然科学、经济生活、生物学等科学领域中有着广泛的应用。在教学中贯彻以人为本的教学理念，培养学生的数学应用意识和应用数学的职业能力，彰显职教特色。学生通过对指数运算的探索和实践，对应用数学产生了浓厚的学习兴趣。

教学重点：培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本节的重点。

数学知识储备：乘法 3 的2 倍写成 3×2=6

乘方 2×2×2=23=8

实验：有一张厚度是0.1mm 且足够大的纸，如果将它连续对折20 次，它有多厚?

分析：第一次对折厚度是0.1×2=0.2mm 第二次就是0.1×4=0.1×22mm，第三次就是0.1×8=0.1×23mm，每次厚度都是前一次的两倍，折20 次，厚度是0.1×220 mm，就是104857.6mm，是104.8576 m，假设1 层楼高3m，就是34.95 层楼那么高。这是指数的魅力！

一、应用于经济学

例：某市2008 年国内生产总值为20 亿元，计划在未来10 年内，平均每年按8%的增长率增长，预测该市2018 年的国内生产总值（精确到0.01 亿元）。

分析：国内生产总值每年按8%增长是指每一年的国内生产总值是前一年的(1+8%)倍。

则1 年后生产总值是20×1.08 亿元，2 年后生产总值是20×1.082亿元，3 年后生产总值是20×1.083亿元。

所以10 年后2018 年的国内生产总值为20×1.0810≈ 43.18（亿元）。

假想应用所学知识：如果你今年才25 岁，每年投资1.8 万元，坚持红利再投资，年收益率是10%，按复利计算，你25 年后（50 岁时）将拥有187 万元，35 年后（60 岁时）将拥有492 万元，你退休时就不用担心养老金的不足了。数学使人理智，数学使人聪明。

二、社会学应用

用来预测人口增长，早在1798 年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t 表示经过的时间，y0表示t=0 时的人口数，r 表示人口的年平均增长率，e ≈2.72，下表是1950～1959 年我国的人口数据资料：（单位：万人）

年份 1950 1951 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959人数 55196 56300 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207

按表中的增长趋势，求大约在哪一年我国人口将达到13 亿。

我国这一时期的人口增长函数模型为y=5.5196e0.0221t，(0 ≤ t≤10)。令y=13，则 13=5.5196e0.0221t，得到 t ≈39，即在1989 年我国人口将达到13 亿。实际上我国人口到2000 年才达到13 亿。学生由此认识到当时我国实行计划生育的必要性。

三、应用于生活

要想将衣服漂洗干净，借用数学知识，方显智慧和能力。

四、应用于生物学、医学

1.某种细胞分裂时，由一个分裂成2 个，2 个分裂成4 个……一直分裂下去。写出得到的细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式，试求细胞分裂20 次后的细胞个数。

分析：分裂一次，细胞个数是2=21，分裂二次是4=22，分裂三次是8=23，所以细胞个数y 与分裂次数n 之间的关系式是y=2n，细胞分裂20 次得到的细胞个数为220=1048576。答案彰显指数魅力。

2.为了检验X 射线的杀菌作用，用200 千伏的X 射线来照射细菌，每次照射6 分钟，照射次数记为t，共照射8 次，各次照射后所剩细菌数为y，统计如下：

t 1 2 3 4 5 6 7 8 y 355 197 142 104 56 36 21 15

试问：（1）如果照射10 次，细菌数是多少？

由上表得出细菌减少近似服从指数衰减模型，y=abx，a=547.03，b=0.636，x=10 时，y1≈6（个）。

（2）如果把细菌数控制在4 以下，至少照几次？

x=11 时，y2＜4，所以至少照11 次。

五、应用于考古学、环境保护

1.碳-14 的半衰期是5730 年，马王堆汉墓女尸出土时碳-14的残余量约占原始量的76.7%。试计算一下马王堆汉墓的大致年代。

分析：经1 个时间段5730 年碳-14 的残余量剩留50%，2 个5730 年剩留（50%）2，3 个5730 年剩留（50%）3，则设x 个5730年剩：（50%）x=76.7%，x=0.3827 个（5730 年）， 则马王堆汉墓的大致年代是0.3827×5730 ≈2193 年。指数知识的应用，让我们向前遥知远古，向后预测未来！

2.核泄漏。日本核泄漏放射性元素中就有碘-131，如果摄入过多的碘-131，会引起甲状腺疾病。放射性碘-131，半衰期8 天，具有挥发性，能够通过空气传送，危害范围比较广泛。以碘-131 为例，探讨它的危害性与时间的关系。

碘-131在环境中的剩留量符合指数衰减模型，经过10个八天后，它的残留量为1×0.510 ≈0.00098，八十天后碘-131 剩余量是原来的0.098%。数学告诉我们，危险总会过去，时间是制胜法宝。

将数学知识应用于生活生产，形成学生的职业能力，提升学生的智慧，是应用数学的乐趣。