等时曲线是摆线的证明

邢家省， 杨义川， 王拥军

(1.北京航空航天大学数学与系统科学学院, 北京100191;2. 数学、信息与行为教育部重点实验室, 北京100191)

引言

等时曲线问题是历史上著名的问题。摆线是一条等时曲线[1-2]，这个性质已被发现。然而，具有等时性的曲线一定是摆线吗？文献[1-5]中对此均无涉及，本文试图解决这一问题。利用文献[1-5]中质点沿光滑曲线从一定高度下滑所需时间的计算公式，将该问题转化为一个积分方程求解的问题。对等时常数的积分方程，利用拉普拉斯变换方法[6-8]和广义积分的计算[9-21]给出了求解方法，得到了积分方程解的解析表达式，然后归结为一个常微分方程的求解问题。通过求解常微分方程，得到等时曲线解的解析表达式，这正是摆线的方程形式，从而给出了具有等时性的曲线一定是摆线的证明过程，由此对等时曲线的问题给予了完整的解决。

1 质点沿光滑轨道下滑所需的时间公式

建立xOy坐标标系，Ox轴正向水平向右，Oy轴竖直向上。设A点坐标为(x1,y1)，B点坐标为(x2,y2)，x1

设曲线L经过A点和B点，其方程为y=y(x)，或者为x=x(y)。质点沿曲线L由点A无摩擦地滑动到点B，所需的时间是[1-4]：

(1)

(2)

设曲线L的最低点在Ox轴上，质点在曲线L上高度为h的点处从静止开始下滑到最低点处所需时间为[1-4]：

(3)

式(3)导致出现积分方程的问题[1]。

文献[2]中指出摆线具有等时性，那么，具有等时性的曲线一定是摆线吗？现对此问题给予肯定解答。

2 积分方程的拉普拉斯变换求解方法

(4)

积分方程的问题[1]具体转化为给定函数T(h)，寻找函数f(y)，使得满足方程(4)。现对等时曲线问题给予求解，即对T(h)为常数T时进行求解。

积分方程为：

(5)

式(5)两边作拉普拉斯变换，利用拉普拉斯变换的卷积性质[6-8]，可得到：

(6)

利用广义积分的计算[9-21]，易知：

所以有

于是:

由拉普拉斯变换的逆变换[6-8]，得到：

故积分方程(5)的解为：

3 有限区间上积分方程的求解

对有限区间上的积分方程，文献[22]中给出了如下结果的证明。

证明(i)

当0

由于当0

证明(ii)

对于0

利用(i)的结果，可得：

再令：

于是可以证明[22]：

h(x)=g(x)，0

现计算：

因：

于是有：

故有：

于是，定理1的结果得证。

现利用定理1，给出等时曲线引出的积分方程的求解。

设H>0为某一常数，实际的等时曲线问题归结为如下的积分方程问题：

(7)

积分方程的问题[1]是给定函数T(h)，寻找函数f(y)，使得满足方程(7)。

现对等时曲线问题给予求解，即对T(h)为常数T时进行求解。

积分方程为：

(8)

对式(8)两边在[0,x]上积分，得到：

经过积分交换次序和分部积分，可得：

(9)

利用定理1的结果，可得：

于是有：

(10)

这就是积分方程(8)的解。

4 等时曲线是倒摆线的证明

在等时曲线情况下， 利用积分方程(8)的解和式(10)，成立如下的常微分方程：

(11)

(12)

采用文献[2]中的方法，对式(12)给出直接自然的解法过程如下：

令w=ccosθ，则有：

令t=2θ，则有：

这正是倒摆线的方程形式，由此得到等时曲线是倒摆线[1-6]的证明，对等时曲线的问题给予了完整的解决。

5 摆线具有等时性的验证

文献 [2]中对倒摆线具有等时性给出了计算验证。

考查一质点沿曲线L由点(x(θ0),y(θ0))处无摩擦地滑动到点(x(π),y(π))处，所需的滑动时间为T。质点沿曲线L滑动到最低端所需的时间是：

将曲线L的参数方程代入，则得：