基于数学核心素养导向下的课堂教学方式—— 谈谈变式教学对学生数学运算及推理探究能力的培养

☉福建省福州华侨中学 覃光勋

☉湖北省武汉市第49中学 周 镜

在数学的课堂教学中，学生往往埋没于数学的题海、教师的讲解之中.教师讲得多，学生做得多，久而久之，学生逐渐失去学习的兴趣，丧失发现问题、提出问题、解决问题的能力，仅仅成为解题的机器，从而缺乏探究能力.利用变式方法采用一题多解、一题多变的课堂数学探究形式，引导学生积极探索，不但能提高学生的学习兴趣，而且对于提高学生的运算能力、优化解题思路、增强逻辑推理能力都有很大的好处.本文就抛物线一节作如下说明.

一、变式教学，揭示基本性质

例1斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长.

学生容易给出解答：由题意，可求出直线方程，与抛物线方程联立，可求出A、B两点的坐标，利用两点间的距离公式，求出线段AB的长为8.

教师给出下列变式，进一步揭示直线与圆锥曲线的关系：

变式一：若直线AB的斜率为k，则线段AB的长为多少？（揭示弦长公式，求弦长的实质是根与系数的关系的应用）

变式二：若过抛物线y2=2px（p＞0）焦点的直线交抛物线于

变式三：倾斜角为θ的直线过抛物线y2=2px（p＞0）的

变式四：例1中，若弦长|AB|=8，求直线的斜率k；

变式五：例1中，若弦长|AB|不超过8，求直线倾斜角θ的取值范围.

通过以上变式教学，对问题进行迁移，学生不仅全面掌握与圆锥曲线弦长有关问题的解法，而且增强了学生的创新意识和应变能力.

二、变式教学，抓住本质特征

例2已知抛物线y=x2，动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值.

解：设，AB的中点为M（x，y），抛物

图1

因为|AF|+|BF|≥|AB|=2，（当且仅当AB过点F时，|AF|+|BF|=2）所以所以点M纵坐标的最小值为

这道题利用数形结合的思想，充分应用抛物线的定义，解答过程简洁明快，似乎问题已得到完美解决.但将问题作如下改变呢？

变式：例2中的动弦AB的长为求AB中点纵坐标的最小值.

分析：乍一看，似乎和例2类似.实际上，抛物线y=x2的通径长为1，而通径为抛物线过焦点的弦中弦长最短的.动弦的长为显然，动弦AB不可能过抛物线的焦点，即等号不能取得，当然也就不能再用例2的解法了.

显然，例2也可用此法解答.通过变式教学，让学生从“变”中发现“不变”的本质，从“不变”中探索“变”的规律，从而优化学生的思维品质，培养学生发现问题和解决问题的能力与素养.

三、变式教学，发散学生思维

例3已知M为抛物线x=y2上的动点，定点A（1，0），求|MA|的最小值.

解：设M（x，y）（x≥0），

变式一：M为抛物线y2=4ax（a＞0）上的动点，当M到A（1，0）的距离|MA|最小时，M的位置为M0，若|M0A|＜1，求a的取值范围.

解：设M（x，y）（x≥0），

变式二：在一轴截面为抛物线型的酒杯中，放入一半径为r的玻璃球，抛物线的方程设为x2=2py（p＞0），当r在什么范围内时，玻璃球会触及到酒杯底部？

解法一：因为圆心在y轴的正半轴上，所以设圆的方程为x2+（y-r）2=r2.

则y1=0或y2=2r-2p.

由题意，圆与抛物线有且只有一个交点，且交点为原点.

所以2r-2p≤0.所以0＜r≤p.

解法二：由题意知圆心C（0，r），

则C与抛物线上的点的距离的最小时，抛物线上的点为原点.

设M（x，y）为抛物线上任意一点，则

（1）若r-p≤0，即0＜r≤p，则当y=0时，|MC|2min=r2.

（2）若r-p＞0，即r＞p，则当y=r-p时，|MC|2min=2pr-p2.

令2pr-p2=r2，所以r=p（舍去）.

所以0＜r≤p.

变式一也可用解法一来求解，视作圆（x-1）2+y2=1与抛物线y2=4ax有且只有一个交点，且交点为原点.

例3也可用此法.这种变式教学，逐步加大难度，分散难点，注重运算过程，让学生感受到成功的喜悦，加强学生学习的信心，提高学生学习的兴趣，同时也培养学生严密的数学思维.

在重视基础知识、基本能力的同时，恰当地进行变式教学、变式练习，优化课堂教学，多角度思考问题，是一种再创造性的学习过程，是培养学生运算能力、推理探究能力和实施研究性学习的重要途径.

总之，数学的魅力就在于“变”，有“变”才有“活”，在这当中，设计适当的变式，可以给学生提供一座桥，让学生在已知的水平和未知的水平之间自然过渡，这里的最近发展区要把握好.“变式”能避免学生反复的练习同一题型，避免学生在低层次之间反复的重复，从而使学生的思维能力得到更宽、更广、更深的培养，使学生的数学核心素养得到有效的渗透.