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思维在交流中提升 素养在探究中发展
——一道解析几何模考题的多视角探求与思考

2019-05-25江苏省通州高级中学严振君

中学数学杂志 2019年7期
关键词:定值斜率题意

☉江苏省通州高级中学 严振君

解析几何是高中数学课程的核心内容,是高考考查的重点内容,是诸多数学思想方法的交汇点.解析几何的教学承载着发展学生直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模等数学学科核心素养的功能.如何提升学生解析几何的思维能力,发展学生的数学核心素养,是一线教师应该思考与研究的问题.笔者以一道解析几何模考题的多视角探求的课堂教学为例,谈谈在解析几何的解题教学上的些许思考.

一、原题呈现

图1

(1)若QF=2FP,求直线l的方程;

(2)设直线AP,BQ的斜率分别为k1,k2.是否存在常数λ,使得k1=λk2?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

二、基本情况

第(2)问的作答情况不太理想,主要体现在:审题欠深入,未能深刻挖掘题意;思路受局限,处理手段相对匮乏;计算能力差,解题半途而废.

笔者执教的是四星级重点高中物生组合班,学生基础较好,运算求解、逻辑推理等能力均具备一定水平.在日常教学中,笔者较好地贯彻了当地教育部门所倡导的“限时讲授、踊跃展示、交流合作”12字课堂教学指导方针,并且让学生能够积极展开小组交流,踊跃展示研究成果,课堂气氛十分活跃.

考虑到受考试时间等多重因素的影响,学生未能对第(2)问展开深入思考,故课前再留给学生一定的独立思考的时间,并结合批阅情况,对本题实施“一题一课”的教学尝试.

三、教学过程

1.解法探讨,思维在交流中提升

视角1 直译题意 顺势而下

师:本节课我们重点研究第(2)问,请生1阐述对题意的理解,并展示解题过程.(学生投影解题过程,同时讲解,本文摘录其部分解答过程.)

生1:假设存在常数λ,使得k1=λk2,利用题设中已知直线AP的斜率为k1,设直线AP的方程与椭圆方程联立,求得由假设k1=λk2,得,又因点P,F,Q三点共线,故kPF=kQF,即,整理得

即(4λk22+3)(3λ-1)=0,则

师:生1书写清晰工整,过程详细规范,值得大家学习.那么是否存在思维或表达不够严谨的地方?

生3:实际需对直线l斜率不存在的情形予以验证.生1对(4λk22+3)(3λ-1)=0的处理过于草率,应理解成:对任意直线BQ,即k2恒成立.

师:解题时要注意思维的严谨性.是否有同学就此解法提出不同的处理方式?

视角2 设而不求 各显神通

师:上述解法均是借助题设中已有直线的斜率k1,k2进行解题.生4指出本题目的实为寻求斜率k1和k2的关系,因而直接构建k1,k2的等式.还有不同的想法吗?

师:你是怎么想到的?从哪里得到启发?

生5:首先,根据“过右焦点F的直线l与椭圆C交于P,Q两点”的表述,感觉可以从直线l入手;其次,解析几何中“设而不求”是常规套路,理应尝试;再次,生1的解法的思维路线图为:,根据经验,可从③切入,逆向而行.

师:理解题意不能仅停留在文字表述层面上,应深刻挖掘题意.利用思维路线图探寻思路是解题的常规策略.但选择此法的同学遇到了一个“棘手”的问题.

师:对该目标式应如何处理?

生7:为什么不可以?我就是这么做的!

生7的突然质疑打断了其他同学的思绪,并且迫不及待地展示出解题过程:不妨取我在解题过程中保留了这个整体,计算过程并不复杂.

此时其他同学报以热烈的掌声,无一不被生7“敢算”的信念和“会算”的技巧所折服.

师:此法“简单粗暴”但作用明显.我们还得冷静思考,“暴力求解”的做法与“设而不求”的初衷似乎有所背离,可以“设而不求”吗?对于两根“不对称”的情形,是否可以转化为两根“对称”的情形呢?

学生又一次陷入沉思,大概两分钟之后,有学生提出自己的想法.

师:对于该目标式,同学们尝试过其他处理方法吗?

学生面露难色,或演算,或思考,一筹莫展,笔者适时予以提示.

师:刚才利用的是点P、Q都在直线l上统一同一点的横、纵坐标,有无其他统一横、纵坐标的办法?

生10洋洋得意,其他同学投来羡慕的目光.与此同时生10也不忘总结:应充分关注交点P,Q的双重身份,在抛物线中不是经常利用点在抛物线上吗?鉴于椭圆方程中x、y是双隐性的,因此对目标平方就变得理所当然和势在必行.其他同学恍然大悟,此时生11跃跃欲试.

生11:由题意,直线l的斜率不为0,设直线l:x=my+1,代入椭圆方程,得(4+3m2)y2+6my-9=0,则y1+y2=两式相比得

生11:直线l过焦点F(1,0),设l为x=my+1的形式,一则避免了讨论斜率不存在的情形,二则运算得以简化,三则思路变得更为顺畅,相对于设直线l:y=k(x-1)的形式优势明显.

面对如此简洁明了的解题过程,同学们表示惊叹.随着课堂教学的不断深入,同学们思如泉涌,争先恐后,意欲展示自己的想法.

视角3 打破平衡 设点求点

解析几何的课堂教学永远是“累”的,除了要构思出合理的解题路径外,复杂繁琐的计算也必不可少.课时已过大半,学生看我丝毫没有结束此题讲解的意思,都提起了精神.

师:生11提醒我们方法的选择和计算的繁简也是密切相关的.刚才我们集中精力在如何求证k1∶k2为定值上,那么我们继续思考,还有其他突破口吗?也可以将自己不成熟的想法提出来,大家共同探讨.

生12:我的出发点也是生1的思维路线图.我打破此路线图的平衡,抓住了点P、Q的一一对应关系,从直线PF入手,设点求点.在解题时,往往会形成初步的思维路线图,再尝试从图中的不同环节寻求突破口,评估优劣后,择优而从.此法具有一定的通性,尽管初用时计算较繁琐,但熟练掌握后五分钟之内便可完成.

视角4 定值问题 先猜后证

生13:本题初看是“存在性”问题,实则是“定值”问题,因此尝试“先猜后证”的策略.当直线l的斜率不存在时,可得.由题意可知,λ若存在则必为,下恒成立即可.设直线l:x=my+1由(见生11解题过程),可得于任意m恒成立.

视角5 善用结论 巧妙击破

当笔者欲对本题进行总结,留时间给学生整理思路和方法,并让学生重新计算时,生14提出了新的想法.

生14:与生5的想法一样,但“非对称”的目标难处理,如何转化是关键.联想到椭圆的第三定义:已知kPA·kPB为定值,要求是定值,即求kPB·kQB为定值.因为k2kPB=

教室里响起了热烈的掌声,同学们向生14投来赞许的目光.

看着同学们沉浸在从多个视角探求到各种解法的喜悦中,笔者抓紧追问:本节课我们从5个视角探求了本题的若干个解法.请同学们思考,本题的多种解法是偶然还是必然?通过对解法的探求有哪些收获?能否将本题结论拓展至更一般的情形?

2.拓展延伸,素养在探究中发展

为了使同学们能够互通有无,加深对题目的不同视角、不同方法的理解,笔者照常组织学生进行小组活动,并汇报探究成果.

小组1:要深刻理解题意,提取题设中的关键信息,善于从不同视角思考和解决问题.思维路线图在寻求解题思路时起着举足轻重的作用.从思维路线图的不同环节切入,解题的可行性和复杂性以及计算的难易程度会相去甚远.

小组2:生14的解法揭示了本题的本质,由于kPA·kPB均为定值,可确保是定值.

师:课后请同学们对本题不同视角的各种解法继续梳理,融会贯通,并将计算进行到底.对小组3提出的一般性结论予以完善并证明.

四、教后反思

解析几何教学中,要着力激发学生积极思考,引导学生将问题拓展,融会贯通,提升思维 能力,提高思维品质,增强解题效率,从而促进数学学科核心素养的发展.

现如今师生在课堂中通过互动生成知识的比重日益提升,如何实现师生多向且高效的互动是新的研究话题.新课标指出“教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上,积极探索有利于促进学生学习的多样化教学方式”“.一题一课”具备自主、探究、开放、多元等特征,“限时讲授、踊跃展示、交流合作”的课堂教学模式,让学生变为主体,教师成为组织者、引导者、参与者,从典型的核心问题出发,“借题发挥”,通过铺垫、类比、联想、变式、延伸等途径,引导学生独立思考,并自主探究问题规律,完善认知结构,递进思维层次,提升思维能力,达到“研一题,懂一类,通一片”的教学效果,实现课堂教学的本真高效.

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