思维在交流中提升 素养在探究中发展——一道解析几何模考题的多视角探求与思考

☉江苏省通州高级中学 严振君

解析几何是高中数学课程的核心内容，是高考考查的重点内容，是诸多数学思想方法的交汇点．解析几何的教学承载着发展学生直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理和数学建模等数学学科核心素养的功能．如何提升学生解析几何的思维能力，发展学生的数学核心素养，是一线教师应该思考与研究的问题．笔者以一道解析几何模考题的多视角探求的课堂教学为例，谈谈在解析几何的解题教学上的些许思考．

一、原题呈现

图1

（1）若QF＝2FP，求直线l的方程；

（2）设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2．是否存在常数λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

二、基本情况

第（2）问的作答情况不太理想，主要体现在：审题欠深入，未能深刻挖掘题意；思路受局限，处理手段相对匮乏；计算能力差，解题半途而废．

笔者执教的是四星级重点高中物生组合班，学生基础较好，运算求解、逻辑推理等能力均具备一定水平．在日常教学中，笔者较好地贯彻了当地教育部门所倡导的“限时讲授、踊跃展示、交流合作”12字课堂教学指导方针，并且让学生能够积极展开小组交流，踊跃展示研究成果，课堂气氛十分活跃．

考虑到受考试时间等多重因素的影响，学生未能对第（2）问展开深入思考，故课前再留给学生一定的独立思考的时间，并结合批阅情况，对本题实施“一题一课”的教学尝试．

三、教学过程

1.解法探讨，思维在交流中提升

视角1 直译题意 顺势而下

师：本节课我们重点研究第（2）问，请生1阐述对题意的理解，并展示解题过程．（学生投影解题过程，同时讲解，本文摘录其部分解答过程.）

生1：假设存在常数λ，使得k1＝λk2，利用题设中已知直线AP的斜率为k1，设直线AP的方程与椭圆方程联立，求得由假设k1＝λk2，得，又因点P，F，Q三点共线，故kPF=kQF，即，整理得

即（4λk22+3）（3λ-1）=0，则

师：生1书写清晰工整，过程详细规范，值得大家学习．那么是否存在思维或表达不够严谨的地方？

生3：实际需对直线l斜率不存在的情形予以验证．生1对（4λk22+3）（3λ-1）=0的处理过于草率，应理解成：对任意直线BQ，即k2恒成立．

师：解题时要注意思维的严谨性．是否有同学就此解法提出不同的处理方式？

视角2 设而不求 各显神通

师：上述解法均是借助题设中已有直线的斜率k1，k2进行解题.生4指出本题目的实为寻求斜率k1和k2的关系，因而直接构建k1，k2的等式.还有不同的想法吗？

师：你是怎么想到的？从哪里得到启发？

生5：首先，根据“过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点”的表述，感觉可以从直线l入手；其次，解析几何中“设而不求”是常规套路，理应尝试；再次，生1的解法的思维路线图为：，根据经验，可从③切入，逆向而行.

师：理解题意不能仅停留在文字表述层面上，应深刻挖掘题意.利用思维路线图探寻思路是解题的常规策略.但选择此法的同学遇到了一个“棘手”的问题.

师：对该目标式应如何处理？

生7：为什么不可以？我就是这么做的！

生7的突然质疑打断了其他同学的思绪，并且迫不及待地展示出解题过程：不妨取我在解题过程中保留了这个整体，计算过程并不复杂.

此时其他同学报以热烈的掌声，无一不被生7“敢算”的信念和“会算”的技巧所折服.

师：此法“简单粗暴”但作用明显.我们还得冷静思考，“暴力求解”的做法与“设而不求”的初衷似乎有所背离，可以“设而不求”吗？对于两根“不对称”的情形，是否可以转化为两根“对称”的情形呢？

学生又一次陷入沉思，大概两分钟之后，有学生提出自己的想法.

师：对于该目标式，同学们尝试过其他处理方法吗？

学生面露难色，或演算，或思考，一筹莫展，笔者适时予以提示.

师：刚才利用的是点P、Q都在直线l上统一同一点的横、纵坐标，有无其他统一横、纵坐标的办法？

生10洋洋得意，其他同学投来羡慕的目光.与此同时生10也不忘总结：应充分关注交点P，Q的双重身份，在抛物线中不是经常利用点在抛物线上吗？鉴于椭圆方程中x、y是双隐性的，因此对目标平方就变得理所当然和势在必行.其他同学恍然大悟，此时生11跃跃欲试.

生11：由题意，直线l的斜率不为0，设直线l：x=my+1，代入椭圆方程，得（4+3m2）y2+6my-9=0，则y1+y2=两式相比得

生11：直线l过焦点F（1，0），设l为x＝my＋1的形式，一则避免了讨论斜率不存在的情形，二则运算得以简化，三则思路变得更为顺畅，相对于设直线l：y=k（x-1）的形式优势明显．

面对如此简洁明了的解题过程，同学们表示惊叹．随着课堂教学的不断深入，同学们思如泉涌，争先恐后，意欲展示自己的想法．

视角3 打破平衡 设点求点

解析几何的课堂教学永远是“累”的，除了要构思出合理的解题路径外，复杂繁琐的计算也必不可少．课时已过大半，学生看我丝毫没有结束此题讲解的意思，都提起了精神．

师：生11提醒我们方法的选择和计算的繁简也是密切相关的．刚才我们集中精力在如何求证k1∶k2为定值上，那么我们继续思考，还有其他突破口吗？也可以将自己不成熟的想法提出来，大家共同探讨．

生12：我的出发点也是生1的思维路线图．我打破此路线图的平衡，抓住了点P、Q的一一对应关系，从直线PF入手，设点求点．在解题时，往往会形成初步的思维路线图，再尝试从图中的不同环节寻求突破口，评估优劣后，择优而从．此法具有一定的通性，尽管初用时计算较繁琐，但熟练掌握后五分钟之内便可完成．

视角4 定值问题 先猜后证

生13：本题初看是“存在性”问题，实则是“定值”问题，因此尝试“先猜后证”的策略．当直线l的斜率不存在时，可得．由题意可知，λ若存在则必为，下恒成立即可．设直线l：x＝my＋1由（见生11解题过程），可得于任意m恒成立．

视角5 善用结论 巧妙击破

当笔者欲对本题进行总结，留时间给学生整理思路和方法，并让学生重新计算时，生14提出了新的想法．

生14：与生5的想法一样，但“非对称”的目标难处理，如何转化是关键．联想到椭圆的第三定义：已知kPA·kPB为定值，要求是定值，即求kPB·kQB为定值.因为k2kPB=

教室里响起了热烈的掌声，同学们向生14投来赞许的目光．

看着同学们沉浸在从多个视角探求到各种解法的喜悦中，笔者抓紧追问：本节课我们从5个视角探求了本题的若干个解法．请同学们思考，本题的多种解法是偶然还是必然？通过对解法的探求有哪些收获？能否将本题结论拓展至更一般的情形？

2.拓展延伸，素养在探究中发展

为了使同学们能够互通有无，加深对题目的不同视角、不同方法的理解，笔者照常组织学生进行小组活动，并汇报探究成果．

小组1：要深刻理解题意，提取题设中的关键信息，善于从不同视角思考和解决问题．思维路线图在寻求解题思路时起着举足轻重的作用．从思维路线图的不同环节切入，解题的可行性和复杂性以及计算的难易程度会相去甚远．

小组2：生14的解法揭示了本题的本质，由于kPA·kPB均为定值，可确保是定值．

师：课后请同学们对本题不同视角的各种解法继续梳理，融会贯通，并将计算进行到底．对小组3提出的一般性结论予以完善并证明．

四、教后反思

解析几何教学中，要着力激发学生积极思考，引导学生将问题拓展，融会贯通，提升思维 能力，提高思维品质，增强解题效率，从而促进数学学科核心素养的发展．

现如今师生在课堂中通过互动生成知识的比重日益提升，如何实现师生多向且高效的互动是新的研究话题．新课标指出“教师要把教学活动的重心放在促进学生学会学习上，积极探索有利于促进学生学习的多样化教学方式”“．一题一课”具备自主、探究、开放、多元等特征，“限时讲授、踊跃展示、交流合作”的课堂教学模式，让学生变为主体，教师成为组织者、引导者、参与者，从典型的核心问题出发，“借题发挥”，通过铺垫、类比、联想、变式、延伸等途径，引导学生独立思考，并自主探究问题规律，完善认知结构，递进思维层次，提升思维能力，达到“研一题，懂一类，通一片”的教学效果，实现课堂教学的本真高效．