基本不等式复习课三步曲

☉江苏省宜兴市阳羡高级中学 孙 玲

基本不等式在高考中属于C级要求，即要求学生熟练掌握，并能灵活应用.而在新授课时，如何灵活运用基本不等式解决有关问题，一直是学生的弱点与难点.因此，在基本不等式的复习课上，教师应该引导学生克服弱点与难点，并温故知新.为此，笔者设计了基本不等式复习课三步曲，供参考与斧正.

一、引导学生梳理知识，并完成基础训练

作为复习课，这一步必不可少，既起到“温故”的作用，又起到承上启下的作用.

（一）知识梳理

1.几个特殊的平均值

2.基本不等式

3.不等式的几个变形

4.利用基本不等式求最值问题

已知x＞0，y＞0，（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，x+y有最小值是；（简记：积定和最小）（2）如果和x+y是定值p，那么当且仅当x=y时，xy有最大值是（简记：和定积最大）

应用注意点：一正，两个未知数为正数；二定，两个未知数的积定或和定；三相等，当且仅当两个未知数（或整体）相等时取等号，注意定义域.

5.证明基本不等式的方法有分析法、综合法和比较法

点评：复习课必须围绕课题梳理知识点，梳理应做到全面且重要，应提取课本精华并加以深化.如果用不等式链来高度概括a+b，ab，a2+b2三个量之间的不等关系会更加简洁明了.

（二）基础训练

1.已知a，b∈R，a+b=1，则a2+b2的最小值为______.

4.用长为4a铁丝围成一个矩形，则矩形的面积最大值是______.

5.下列函数中，最小值是4的有______个.

点评：以上题目涵盖了基本不等式的简单运用、实际应用和运用基本不等式求最值时的条件，达到了夯实基本概念和基本知识的目的，而且大部分学生都能顺利解决.

二、通过例题引导学生进一步明确并掌握基本不等式的应用

例题讲解一直是复习课的主旋律，因此例题的选择十分重要，因为它是引导学生掌握知识并形成能力的载体，所以例题的选择必须典型，同时要注意进行适当变式，以培养学生思维的灵活性.

1.证明不等式

例1（1）已知a，b，c均为实数，求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；

变式1：已知a，b，c是不全相等的正数，求证

变式2：已知a，b，c是不全相等的正数，求证：lg

变式3：已知a＞b＞c，求证

点评：学会从不等式的特征分析，巧用基本不等式进行不等式的证明.注意轮换对称式的识别，并应用叠加或叠乘法解决问题，同时学会拆、凑等技巧来构建基本不等式.

2.求最值或取值范围

例2 已知正实数a，b满足ab=a+b+3，

（1）求a+b的最小值；（2）求ab的最小值；（3）求2a+b的取值范围.

变式4：已知实数x，y满足4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.

点评：解决双元代数式最值的两条解题途径：一是把a+b和ab看作两个量，利用基本不等式及其变形构建不等式，通过等式消元，解不等式即可求解；二是把a、b看作两个量，通过等式消元，构建函数关系，再利用基本不等式或函数的单调性解决问题，同时注意消元的等价性.

3.在实际问题中的应用

某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室.在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地.当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？

点评：学会根据题意列出相应的等量关系，并通过消元或构建不等式求最值.

图1

三、引导学生了解基本不等式的高考动态

学习的目的虽然不是为了高考，但对于每一位学生来说，高考不可回避.在复习课上，教师让学生了解基本不等式的高考命题趋势，或高考真题回顾，能激发学生的求知欲，并能让学生从“温故”走向“知新”.

1.最新考纲

（1）了解基本不等式的证明过程；

（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.

2.高考命题趋势

在高考中，对基本不等式的考查一般不以知识点的形式出现，而是考查它的“工具性”，即利用基本不等式解决有关最值问题与不等式问题，其常与其他知识综合在同一考题中，以此来考查不等式应用的综合性与灵活性.

3.高考真题

例3（2018年天津高考）已知a，b∈R，且a-3b+6=0，则的最小值为______.

解析：由a，b∈R，且a-3b+6=0得，3b=a+6，

上述解法采用了代入消元法，把两元最值问题转化为一元最值问题，然后再利用基本不等式求最值，这是求多元最值问题最基本的方法之一.

变式5：（2018年江苏卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为______.

解析：如图2，因为∠ABC=120°，且BD为∠ABC的平分线，

所以∠ABD=∠CBD=60°.

又因为角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BD=1，

由S△ABC=S△BDC+S△ABD得，

图2

故答案为：9.

点评：高考真题体现了高考命题的方向，不仅可以让学生感受基本不等式的高考要求，又能感受基本不等式应用中体现的数学思想，进而从高考的角度去理解基本不等式.

常言道：学无定法，教无定法.但有规律可循.笔者认为复习课也应遵循学生的认知规律，尤其是在高考的一