对一类抛物线考题的多向探究

☉浙江省慈溪市浒山中学 岑孟庆

对一些典型题目需要进行深度“思考”与“二次创作”，挖掘出所潜在的教育功能、拓展功能和应用功能，使考生做一道题会一类题、会一串题，对于提高考生举一反三、触类旁通的数学素养是十分有意义的事情.下面以一道抛物线模考题为例加以说明.

一、考题呈现

例1已知抛物线C：y2=2x和点P（2，2），A、B是C上异于点P的两点，直线PA、PB的斜率kPA，kPB满足kPA+kPB=2，则直线AB过定点（ ）.

A.（1，0）B.（-1，0）C.（0，-1）D.（0，0）

所以直线AB过定点（0，-1）.故选C.

二、结论探究

结论1：P是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一定点，A，B是C上异于P的两点，直线PA，PB的斜率kPA，kPB满足kPA+kPB=λ（λ为常数，且λ≠0），且直线AB的斜率存在，则直线AB过定点

应用此结论对于“过抛物线C：y2=2px（p＞0）上一定点P（x0，y0）的两条直线PA，PB，与抛物线C交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率kPA，kPB之和为非零定值，则直线AB过定点”的一类问题便迎刃而解了.

三、纵向思考

上述各结论中，均有条件“λ≠0”，现在我们感兴趣的是若λ=0会有什么样的情形呢？

例2 已知抛物线C：y2=2x和点P（2，2），A、B是C上异于点P的两点，直线PA、PB的斜率kPA，kPB满足kPA+kPB=0，则直线AB的斜率为（ ）.

结论2：P是抛物线C：y2=2px（p＞0）上一定点，A，B是C上异于P的两点，直线PA，PB的斜率kPA，kPB满足kPA+kPB=0，则直线AB的斜率为定值

四、变向思考

上面研究的都是“斜率之和为定值”的情况，若将条件中的“之和”改为“之积”，是否也能出现定点结论呢？答案也是肯定的！

例3已知抛物线C：y2=2x和点P（2，2），A、B是C上异于点P的两点，直线PA、PB的斜率kPA，kPB满足kPA·kPB=2，则直线AB过定点（ ）.

五、类比思考

对于抛物线“斜率之和为非零定值”这一类试题可由上述的结论解决，那么对于椭圆、双曲线也常有类似的试题出现，那么是否也有一般的结论呢？答案是肯定的！

例4已知椭圆）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点，若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1，证明：l过定点.

解析：（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，所以由题设知C必经过P3，P4两点.

（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果直线l与x轴垂直，设l：x=t，由题设可知t≠0，且|t|＜2，可得解得t=2，不符合题意.

由题设可知Δ=16（4k2-m2+1）＞0.