例谈注重“联系”的高中数学公开课教学

☉浙江省临海市大田中学 黄 柯

各级各类的公开课能够有效地促进教师的专业成长，本文结合公开课教学的两个方面谈谈公开课教学在促教促研上的巨大作用和意义，思考如何通过注重“联系”的课堂教学引导学生在联系中进行对比、分析与反思并最终生成智慧.

一、联系“旧课”并探查教学深加工的空间

区域教研的目标之一就是让教师以公开课为实践园地来推动教学优化，承载着对教研主题进行实践性诠释任务的公开课教学是数学教学研讨的基础.因此，授课教师首先应该做的便是根据主题回顾“旧课”并对教学深加工的空间进行探查，实实在在地解决教学中的问题与困惑，然后推动教学优化.

案例1：两角和与差的余弦.

教学片段1：促进认知

众生：一脸困惑的表情.

师：看来这是一个新问题，那么大家能否对两角差的余弦的一般结论进行猜想与表述呢？

学生给出了“cos（α-β）=cosα-cosβ”之类的猜想，用α和β的三角函数来表示cos（α-β）是主基调，笔者对学生的猜想及时进行了肯定并引导学生联系反例对猜想进行了否定.学生虽然对具体的公式不甚明了，但却表现出了极大的探究兴趣.不仅如此，学生对cosθ能否用α和β的三角函数来表示也进行了思考，笔者及时作出了在单位圆中两次计算任意两单位向量的数量积的引导：在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角α和角β并使其终边分别与单位圆相交于A、B两点，则A、B两点的坐标如何？向量的坐标如何？假如把向量的夹角记作θ，大家是否能从向量的数量积定义与坐标表示来求得呢？

学生很快得出cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ，问题也就转化成了角θ、α、β之间关系的探究，这是一个一般性问题.

教学片段2：解决一般性问题

师：cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ我们得到了，不过角θ、α、β之间的关系是怎样呢？大家能否结合教材内容对这一问题进行初步的解决呢？

生1：画出单位圆并设α=75°，β=15°，可得α-β=θ.

师：很好，从无“圆”到有“圆”的发现很不错，不过大家对于θ、α、β之间的猜想有没有错呢？

生2：错的，比如当α=15°，β=75°时，α-β=-θ.

师：换成其他特殊角会怎样呢？比如α=80°，β=10°或α=10°，β=80°呢？

生3：角α、β的终边状态在实质上并没有不同，因此仍有α-β=θ或α-β=-θ.

师：会不会是巧合？是否可以从终边相同的角的集合的角度进行新的思考呢？是否有其他的可能？

生4：当α=370°，β=80°时，有α-β=360°-θ；当α=80°，β=370°时，有α-β=-360°+θ.

生5：还有α=440°，β=10°或α=10°，β=440°的情况，当α=440°，β=10°时，α-β=360°+θ；当α=10°，β=440°时，α-β=-360°-θ.

师：很好，大家能否从以上特殊化的探索中归纳猜想出角θ、α、β之间的关系呢？

生6：α-β=k·360°±θ，k∈Z.

师：很棒，你的猜想是对的，教材后面的习题也能使大家感受到这种一般化分类的方法，大家对于“余弦函数是周期为2π的偶函数”应该也能理解了，那么是不是只要考虑0≤α-β≤π这一种情况呢？

生7：诱导公式有cos（α-β）=cos（k·360°±θ）=cosθ，这是余弦函数周期性与奇偶性的反映，当0≤α-β≤π时，α-β即为向量的夹角θ.教材中表述的余弦函数是周期为2π的偶函数，且只需考虑0≤α-β≤π这一情况就是这个意思.

设计意图：这是围绕课程资源的教学交流活动，降低了提问的起点，且从方法论的角度上引导学生解决一般化问题的探究，并令学生在特殊化的探索中获得了结论，课堂思维含量充足，恰到好处的课堂留白也让学生活跃起来.

二、联系“同课”并探查“异构”之处

不同教学思维的碰撞和对比往往能够更好地发现“同”中的“异”，也能将教师对教材的不同理解与处理方法充分地展现出来.

案例2：两角和与差的余弦.

王第成老师曾经就“两角和与差的余弦”的教学做过思考，他的教学和案例1中的教学片段2在变换特殊量的“序”上并不相同.王第成老师的解决思路如下：根据向量的终点所在象限的不同，固定向量sin67°），（cos110°，sin110°），（cos260°，sin260°），这与案例1的教学片段2中的α-β=-θ、α-β=-360°+θ是相当的，这种随意的特殊化往往容易令学生获得错误的结论；依托课本内容的教学片段2从“随意的特殊化”中发现了问题与可能的解决途径，接着从α、β的大小以及终边相同的角的集合的角度变换对应向量中的角来引导学生体会本质的“序”，顺利建立“系统的特殊化”并归纳出一般化的结论：α-β=k·360°±θ，k∈Z.有学生在王第成老师的教学中这样回答：不等于，不过由诱导公式可得到向量的夹角的余弦值与cos（α-β）是相等的.笔者认为，对于学生的这一回答，教师应作出以下引导：一定不等于？向量的夹角和α-β之间的关系是怎样的？引导学生结合特殊向量来完善“随意的特殊化”，并建立“系统的特殊化”，最终获得一般化的结论：α-β=k·360°±θ，k∈Z.这也是让学生看到了过程的补充化说明.

三、联系“异课”并探究“同构”教学规律

教师对教材、教学设计、教学过程、学生活动等多个环节的有效反思与监控能令其课堂教学效果不断提高，笔者曾认真考察过三位省级优课评比一等奖授课教师的课堂教学，三位老师的教学内容分别为数系的扩充、几何概型和对数，笔者发现三位老师的授课内容虽然不同，但在学生活动的思维疑惑处设计问题是其共同的特点，不仅如此，数学史的融入也使三位老师的课堂更加富有感染力.下面对这三位老师的课堂教学作浅要的分析.

师1将学生熟悉的负数、分数、无理数等问题在解方程的环节中一一呈现，将数系的历史发展规律在“做数学”中引入，使学生在回忆旧知的过程中获得了数系的扩充规律与办法.然后让学生在面临新问题时获得认知冲突：接受还是不接受方程x2+1=0无解呢？实数不够用的形势必然需要数集的扩充.实数集的扩充是怎样的呢？将意大利数学家卡尔丹解决“和为10的两部分乘积等于40”的问题适时引入，令学生理解虚数产生的必要性的同时也理解了新数i的引入的合理性.

师2首先将法国数学家拉普拉斯的画像进行了投影并口述了他的名言，在学生注意力都相当集中的时候以参赛抽签为例进行了教学的过渡，和教材中的呈现不同的是，师2对剪绳子、射箭等概率问题还进行了整体分析并对不同于古典概型的特点进行了归纳整理，使学生在过渡中获得认知冲突并对新问题的解决产生探究的欲望.课后对布丰试验的表述又令学生的求知欲望再次得到激发，德育教育也在无形中得到了渗透.

师3所设计的客观实际需求问题使学生在能够感知并挑战的数学活动中更加活跃，引发学生困惑与认知冲突的同时也令课堂教学活动更为生动.

问题一：光在某种介质中每经过1cm即会在强度上减弱成原来的一半，若最初的强度为1.

（1）经过2cm后的强度是多少？

（2）经过xcm后的强度y是多少？

（3）强度是0.125时，光经过了多少cm？

问题二：方程有解吗？等于多少？

师：大家认为这个方程有解吗？是不是唯一的？

生：根据指数函数的图像可以说明它是有解的，如图1，解为在函数中和函数值相对应的自变量x的值.

图1

师：很好，确实如此，有解且唯一.我们用以前学的知识根本求不出这个解，大家以前遇到过这样的困境吗？

师3及时给出了“分数问题”“平方根问题”并引导学生对前人发现的历史进行了追溯，这是为对数的生成所做的铺垫.不仅如此，师3在学生发现需要新的符号来表的解时又及时进行了跟进：太棒了，指所确定的，这种新形式的“数”早在400年以前便被创造出来，其创造者是苏格兰数学家纳皮尔.解决指数运算困境的同时所融入的数学史教育令学生对数学文化的价值再添印象.

总之，教师在公开课的设计与教学中应经历问题的确认、想法的形成、教学的设计、课堂的观察以及课后的评价反思等环节，这也是发展教育理解力、批判力、建构力的丰厚土壤.W