积极引导探究，让数学教学更有效

☉江苏省扬州市邗江区瓜洲中学 沈 亮

从某个角度来说，数学教学就是教会学生如何学数学.教师讲学生听的这种教学模式虽然由来已久，但已经不能适应当前的教学形势.让学生变被动学习为主动学习，把学习的权利交还给学生，让学生主动探究，已经成为数学教学模式的主流.那么，教师应如何积极引导学生探究，让数学教学变得更有效呢？在此，笔者谈谈在数学课堂教学中渗透探究性学习的一些体会，供同行参考.

一、在新授课的概念教学中引导探究性学习

数学学习一般是从概念与定义开始.在这些概念与定义的教学中，由数学概念与定义的产生，该如何得到概念与定义？又该如何理解这个概念与定义呢？这些都由教师一人承担，而学生只是默默地听，默默地记，长此以往的后果就是学生的思维能力不断下降，甚至萎缩，学生学习的积极性荡然无存.

如，在《双曲线》教学中，部分教师这样展开教学：

我们已经知道，与两定点的距离的和为常数的点的轨迹通常是椭圆，那么与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？我们一起做个实验！（教师在黑板上演示）

工具：图钉，笔，拉链.

方法：将拉链拉开一部分，在拉开的两边上各选取一点，分别固定在F1，F2上，点F1到点F2的长为2c（c＞0）.把笔尖放在M处，随着拉链逐渐拉开或闭拢，笔尖就画出一条曲线.

请大家想一想：这条曲线是满足什么条件的点的集合？（引出下面问题）

平面上与两定点的距离的差的绝对值为非零常数的动点的轨迹是什么？

教师讲解：设这两个定点分别为F1与F2，动点为P，非零常数为2a，则有||PF1|-|PF2||=2a，

（1）在0＜2a＜|F1F2|条件下：|PF1|-|PF2|=2a时为双曲线的一支（含F2的一支）；|PF2|-|PF1|=2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）.

（2）当2a=|F1F2|时，||PF1|-|PF2||=2a表示两条射线.

（3）当2a＞|F1F2|时，||PF1|-|PF2||=2a不表示任何图形.

教师引导：在双曲线的定义中应当注意2a=||MF1|-|MF2||＜|F1F2|=2c这一条件.例如：平面内一点M到两定点F1（-4，0），F2（4，0）的距离差是6时，点M的轨迹是双曲线的右支，当差等于8时，点M的轨迹是两条射线，当差大于8时无轨迹，这几种情形都不是双曲线.理解双曲线应注意理解定义中的条件.

上述教法，从数学知识的角度来看，无可挑剔，而从引导学生学习的角度来看，有待商榷.因为在这个教学过程中，教师充其量就是一个表演者和解说员，学生都成了看客，不能够主动加入到探究双曲线概念的活动中来.那么如何让学生主动参与到探究活动中去呢？教师必须要创设探究情境.

例如在《双曲线》这节概念课中，教师应该让学生主动动手实验，通过画双曲线的实验活动，让学生自己总结双曲线的定义，并思考|PF1|，|PF2|与|F1F2|的数量关系.这样把问题抛向学生，学生自然会通过主动探究，来获知利用双曲线定义时的几个注意点.

笔者以为，要想让学生学会探究，教师应该从概念教学开始，积极创设探究情境，并积极引导学生主动探究.

二、在习题教学中引导学生探究性学习

习题教学既是数学教学的重要组成部分，也是引导学生探究性学习的主要环节之一.在教学过程中，教师可以从不同角度引导学生进行思考，从而诱发新问题，发展新思维，进而把学生引向探究境地.因此可以是对问题的变式进行探究，以问题串的形式出现，由浅入深，由简单到复杂，环环相扣，步步为营，让学生探究起来欲罢不能，也可以是一题多解式探究，让学生通过对多种解法的探究，感悟数学知识的内在联系，欣赏数学世界的无限风光.尤其是在高三复习课上，要让学生通过一题多解的方式来展现自我的探究能力.

如，在平面向量一轮复习中，笔者让学生以下面一题为载体，探究多种解法.

例题给定两个长度为1的平面向量，它们的夹角为120°.如图1所示，点C在以点O为圆心的圆弧

图1

经过学生集思广益，从多角度进行探究，竟然发现了7种解法，令人赞叹.

学生分别从特殊值法，坐标法，函数法，不等式法，利用数量积转化为方程问题等多个角度加以探究，最终获得7种解法.限于篇幅，本文选摘其中的两种思路来求解，以飨大家.

1.考虑向量的数量积的运算

所以x+y=2［cosα+cos（120°-α)］=2sin（α+30°）.

所以当α=60°时，（x+y）max=2.

解法2：（两边平方法）因为

所以x+y≤2，当且仅当x=y=1时取等号.

所以（x+y）max=2.

2.考虑平行四边形法则

解法3：过点C作CM∥OB交OA的延长线于点M，作CN∥OA交OB于点N，则四边形OMCN是平行四边形.由向量加法的平行四边形法则得：△OMC中，设∠AOC=α，则∠BOC=120°-α，且|OM|=x，|MC|=y.

图2

由正弦定理可得：

所以x+y=2sin（α+30°）.

所以当α=60°时，（x+y）max=2.

解法4：由余弦定理可得|MC|2-2|OM|·|MC|cos60°，

即1=x2+y2-xy=（x+y）2-3xy≥（x+y）2-3·

所以x+y≤2，当且仅当x=y=1时取等号.

所以（x+y）max=2.

从以上学生的探究过程中不难发现，只要教师因势利导，学生的数学能力必将得到极致的发挥.常言道：群众的力量是无穷的，让学生合作学习，通过探究，往往能起到1+1＞2的效果，也更能体现出探究性学习的价值.

三、在开放式问题的解决中引导探究性学习

数学问题具有严谨性的特点，虽然可以训练学生思维的严谨性，但数学问题更需要具有开放性的特点，因为开放式问题更能引导学生积极探究，主动创新.因此，在数学教学过程中，设计开放式问题，甚至答案不唯一，不确定的数学课题，是学生开展探究性学习的最有效的载体.在平时的教学中，可以让学生总结解题规律，总结某知识点的用途，甚至可以让学生研究历年高考题的题型分布，让学生从学习的初级阶段向高层次的探究阶段转化.

比如，在学习了函数单调性之后，笔者给学生布置了这样一道开放题：

函数单调性有哪些用途，试举例说明.

这是一个开放式探究性问题，学生经过合作探究，得到了如下成果（例题解答略）：

1.利用函数单调性解方程，如：解方程2x3+x=18；

5.利用函数单调性证明不等式，如：已知a，b，c∈R+，c＜a+b且c＞a-b，求证：

在数学教学过程中，创设数学开放式问题，既是培养学生探究能力的需要，也是培养学生数学核心素养的体现.

总之，选择适当的教学方法进行数学教学，引导学生进行探究性学习，是培养学生综合能力的重要环节，是教学改革的必然趋势，是培养学生数学核心素养的关键.